几类度量聚合函数的研究

孙利军,赵 晨,李 钢

齐鲁工业大学(山东省科学院) 数学与人工智能学部,山东 济南 250353

近年来,随着云计算、物联网和信息技术的快速发展,高新技术给人们的日常生活带来了巨大的便捷,同时也产生了大量数据,人类进入了大数据时代。大数据时代下,如果对这些杂乱的数据进行编码并通过聚合函数聚合后,就会形成大量有用的信息数据,这些有价值的信息数据可以极大推动社会的发展。

把一些不同来源的信息聚合成一个具有代表性数值的过程称为信息聚合,描述信息聚合过程的数学模型称为信息聚合模型(也称为聚合函数)。在任何聚合过程中,根据具体情况选择合适的聚合函数非常重要。因此,在聚合过程中都会施加约束,要求聚合的输出结果与输入数据具有相同的属性。近些年来,很多学者研究了度量(距离)的聚合问题。Mordal等[1]研究了度量聚合在系统评估方面的应用;Ulan等[2]研究了加权度量聚合在深度学习中缺陷预测方面的应用;Martín等[3]研究了拟度量聚合函数在不动点领域的相关应用。

度量的概念在应用研究中发挥着重要作用,常用的如欧式距离广泛应用于主成分分析[4]、图像边缘检测[5]和种群动态控制[6];切比雪夫距离广泛应用在图像分割[7]、多目标优化算法研究[8]和神经网络[9];非对称距离已成为计算机科学和生物信息学领域的有效工具[10]。因此,研究度量的聚合问题十分有意义。

1981年,Borsík和 Doboš首次深入研究度量聚合函数的相关问题[11]。Mayor等[12]提出了度量保留函数的概念,并利用顺从性、次可加性等对其进行了刻画;Pradera等[13]研究了伪度量聚合函数的相关概念和结论;Mayor等[10]引入了拟度量聚合函数和拟度量保留函数的相关概念并通过单调性和次可加等性质进行刻画。由于(伪、拟)度量应用非常广泛,而且性质十分相近,因此研究这几类(广义)度量聚合函数之间的联系尤为重要。本文结构如下：第一节介绍了度量聚合的相关概念,第二节首先研究几类(广义)度量聚合函数和保留函数之间关系,然后分析不同(广义)度量聚合(保留)函数之间联系,最后通过结构图直观呈现。

1 预备知识

本节中,回顾一下所使用的一般概念和相关结论。作为预备知识,将引入广义度量和多元实函数次可加性和顺从性等相关概念。

定义1[14]：设X为一个集合,一个映射d：X×X→R+=[0,∞)。对于任意x,y,z∈X,满足：

(1)d(x,x)=0;

(2)d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z);

则称d为集合X的广义度量,(X,d)为广义度量空间。

注1：(1)若定义1条件(1)替换为d(x,y)≥0,且d(x,y)=0⟺x=y,而且d进一步满足d(x,y)=d(y,x),则称d为集合X的度量。

(2)若定义1映射d进一步满足d(x,y)=d(y,x),则称d为集合X的伪度量。

(3)若定义1条件(1)替换为d(x,y)=d(y,x)=0⟺x=y,则称d为集合X的拟度量。

度量和伪度量的区别在于伪度量容许对于相异的元素x,y∈X,有d(x,y)=0。度量与拟度量的区别在于拟度量不满足对称性。

定义3[11]：函数F： [0,∞)n→[0,∞)满足：

2 几类广义度量聚合函数的研究

广义度量广泛应用于神经网络、生物信息学以及计算机科学中。本节针对几类广义度量聚合(保留)函数展开研究。

2.1 广义度量聚合(保留)函数

首先给出广义度量保留函数[12]的定义,它与广义度量聚合函数有密切的联系。

命题1：令n∈N(非负整数集合),如果函数F： [0,∞)n→[0,∞)是单调的、顺从的和次可加的,则F为n维广义度量保留函数。

下面给出广义度量聚合函数[12]的概念。

定义7：对于一族定义在任意非空集合X的广义度量{d1,…,dn},如果合成的d=F(d1,…,dn)：X2→[0,∞)是一个广义度量,则称函数F：[0,∞)n→[0,∞)是一个n维广义度量聚合函数。其中F(d1,…,dn)(x,y)=F(d1(x,y),…,dn(x,y)),x,y∈X。

注2：广义度量保留函数中合成的广义度量d=F(d1,…,dn)定义在不同集合的笛卡尔乘积上,而广义度量聚合函数合成的广义度量d=F(d1,…,dn)定义在任意非空集合中。

命题2：设F为n维广义度量聚合函数,则F满足以下性质：

(1)F(0,…,0)=0;

(2)对于任意一族广义度量d1,…,dn：X×X→R+,对于任意x,y,z∈X,

F(d1(x,z),…,dn(x,z))≤F(d1(x,y),…,dn(x,y))+F(d1(y,z),…,dn(y,z))。

2.2 度量聚合(保留)函数

首先给出n维度量聚合(保留)函数的相关结论。

命题3[12]：令n∈N,如果函数F：[0,∞)n→[0,∞)是单调的、顺从的和次可加的,则F为n维度量保留函数。

定理1[15]：令n∈N,函数F：[0,∞)n→[0,∞),下列叙述是等价的：

(1)F为n维度量保留函数。

(2)F满足以下性质：

1)F是顺从的;

命题4[12]：假定n∈N,函数F： [0,∞)n→[0,∞),则下列叙述成立：

(1)若F是单调的、顺从的和次可加的,则F是n维度量聚合函数。

(2)若F是正单调的、正次可加的,而且满足：

1)F(0,…,0)=0;

则函数F是n维度量聚合函数。

证明：根据命题4中n维度量聚合函数两种刻画方式,进行对比证明。设(d1,d2,…,dn)为定义在非空集合X的一族度量,证明d=F(d1,d2,…,dn)是一个定义在集合X的度量。

(1)假定F(d1,d2,…,dn)(x,y)=0,那么F(d1(x,y),d2(x,y),…,dn(x,y))=0。

1)若F是顺从的,则d1(x,y)=d2(x,y)=…=dn(x,y)=0,由于di是度量,因此x=y,由此可得,

F(d1,d2,…,dn)(x,y)=0⟺x=y。

2)若F满足命题4中条件1)和2),可得Min(d1(x,y),d2(x,y),…,dn(x,y))=0,因此存在一个k(1≤k≤n),使得dk(x,y)=0。由于dk是度量,因此x=y。进一步分析,F(d1,d2,…,dn)(x,x)=F(0,…,0)=0。因此得到,F(d1,d2,…,dn)(x,y)=0⟺x=y。

(2)根据度量的对称性,可得

(3)F(d1,d2,…,dn)的三角不等式性质：

1)F是单调的、次可加的：

由此可得,则d=F(d1,d2,…,dn)为定义在X的度量,函数F为n维度量聚合函数。

定理2[15]：令n∈N,函数F： [0,∞)n→[0,∞),下列叙述是等价的：

(1)F为n维度量聚合函数。

(2)F满足以下性质：

1)F(0,…,0)=0;

注3：定理1中顺从性质和定理2中1)和2)是有区别的。若函数F满足定理2中1)和2),那么它一定满足顺从性,反之不一定成立。

定理3：度量保留函数为度量聚合函数。

注4：度量聚合函数满足顺从性的扩展形式,因此度量聚合函数不一定是度量保留函数。下面通过例1进行验证。

例1函数F：[0,∞)n→[0,∞),具体表达式如下：

F满足定理2中条件(2),因此F为度量聚合函数。但是,F(1,0)=0。因此F不满足顺从性,F不是度量保留函数。

2.3 伪度量聚合(保留)函数

本小节给出n维伪度量聚合(保留)函数的相关结论。

定理4[13]：函数F： [0,∞)n→[0,∞)为伪度量保留函数,当且仅当F满足如下条件：

(1)F(0,…,0)=0;

F(d1(x1,z1),…,dn(xn,zn))≤F(d1(x1,y1),…,dn(xn,yn))+F(d1(y1,z1),…,dn(yn,zn));

推论1：伪度量保留函数是次可加的。

证明：令di(xi,zi)=di(xi,yi)+di(yi,zi),xi,yi,zi∈[0,∞)n,i=1,2,…,n,则

F(d1(x1,z1),…,dn(xn,zn))=F(d1(x1,y1)+d1(y1,z1),…,dn(xn,yn)+dn(yn,zn)),

根据定理4,可得,

F(d1(x1,y1)+d1(y1,z1),…,dn(xn,yn)+dn(yn,zn))≤F(d1(x1,y1),…,dn(xn,yn))+F(d1(y1,z1),…,dn(yn,zn)),

因此,伪度量保留函数都是次可加的。

命题5[13]：如果函数F： [0,∞)n→[0,∞),F(0,…,0)=0,且满足下列条件之一：

(1)非递减的、次可加的;

(2)正单调的、正次可加的;

则F为伪度量聚合函数。

定理5：设函数F：[0,∞)n→[0,∞),则F是一个伪度量保留函数当且仅当F是伪度量聚合函数。

证明：由于伪度量容许对于相异的元素x,y∈X,使得d(x,y)=0,因此刻画伪度量聚合(保留)函数时,只需要函数F满足顺从性,不需要满足定理2中条件2),因此两者是等价的。

2.4 拟度量聚合(保留)函数

本小节给出拟度量聚合(保留)函数的相关结论。

定理6[15]：令n∈N,函数F： [0,∞)n→[0,∞),下列的叙述是等价的：

(1)F为n维拟度量保留函数;

(2)F是顺从的、次可加和单调的;

(3)F满足以下性质：

1)F是顺从的;

定理7[15]：令n∈N,函数F： [0,∞)n→[0,∞),下列的叙述是等价的：

(1)F是一个n维拟度量聚合函数。

(2)F满足以下性质：

1)F(0,…,0)=0;

(3)F满足以下性质：

1)F(0,…,0)=0;

3)F是单调的和次可加的。

注5：根据定理6和7,拟度量保留函数和拟度量聚合函数二者是不同的。

定理8：拟度量保留函数都为拟度量聚合函数。

证明：根据注3和定理6和7,可知结论成立。

注6：拟度量聚合函数不一定是拟度量保留函数(见例1)。

2.5 几类度量聚合(保留)函数的关系

本节通过各类聚合函数的相关性质,分析它们之间的关系,绘制它们的关系图(见图1和图2),并给出相关例子进行解释说明。

图1 几类度量聚合(保留)函数关系图

图2 几类度量聚合(保留)函数结构图

定理9：拟度量聚合函数一定是度量聚合函数。

注7：度量聚合函数不一定是单调的,而拟度量聚合函数一定满足单调性,因此度量聚合函数不一定是拟度量聚合函数(见例2)。

例2 设函数F：[0,∞)n→[0,∞)定义如下：

显然,F满足定理2,因此F是一个度量聚合函数。然而,F不满足定理7条件(2)中3)。

因此,F不是拟度量聚合函数。

定理10：拟度量保留函数都为度量保留函数。

证明：根据定理1和定理6,可知结论成立。

注8：度量保留函数不一定是拟度量保留函数(见例3)。

例3函数F：[0,∞)→[0,∞),已知F(0,0)=0,具体表达式如下：

其中,(a,b)≠(0,0),α(a,b)表示数组(a,b)中第一个不等于0的分量。

定理11：伪度量保留函数和度量保留函数是等价的。

例4 设函数F：[0,∞)n→[0,∞),具体表达式如下：

F(d1(x1,z1),…,dn(xn,zn))≤F(d1(x1,y1),…,dn(xn,yn))+F(d1(y1,z1),…,dn(yn,zn))。根据定理4,F为伪度量保留函数。

定理12：伪度量聚合函数为度量聚合函数。

证明：根据定理3,定理5和定理11,可知结论成立。

根据以上定理,绘制如图1、图2结构图：

3 结 论

本文描述了几类度量聚合、保留函数的相关概念及结论,给出彼此之间的关系：

(1)(伪、拟)度量保留函数都为(伪、拟)度量聚合函数;

(2)拟度量保留函数都为度量保留函数,反之不成立;

(3)伪度量聚合函数都为度量聚合函数;

(4)伪度量聚合函数、伪度量保留函数、度量保留函数三者等价。