平方反比有心力场中的3个抛体包络线及其证明

李忠相

(重庆市第一中学校 重庆 400030)

在几何学里,一个曲线族的包络线是跟该曲线族的每条线都至少一点相切的一条曲线.在很多物理问题中,也用到包络线的概念.

比如,在均匀重力场中,空中某一定点以相同速率向各个方向抛出物体,如果只考虑重力,物体运动轨迹均为抛物线,所有这些抛物线的包络线也是一条抛物线,如图1所示.若抛体初速度大小为v0,重力加速度为g,将抛出点记为坐标原点,水平向右为x轴正方向,竖直向上为y轴正方向,包络线的方程为

图1 均匀重力场中抛体轨迹及其包络线

(1)

这是大家熟知的结论,证明从略.下面介绍3个平方反比有心力场中的抛体包络线,并给出简洁的证明.

包络线1：平方反比引力场中,从定点同速率向同一平面内不同方向抛出物体的椭圆轨迹的包络线也为椭圆.

以地球(质量记为M、半径为R,万有引力常量为G)的引力场为例,在离地球表面h高度处的同一点以相同的速率u向各个方向抛出大量小物体,只要初始速率u不太大,这些小物体都绕地球做椭圆运动,这些椭圆轨迹的包络线也是椭圆,如图2所示.

图2 平方反比引力场中椭圆的包络线

证明:

易知,所有小物体具有相同的机械能,于是它们的轨迹具有相同的半长轴a,由椭圆轨迹的能量公式

(2)

(3)

小物体轨迹为椭圆要求初始速率u的范围为

(4)

显然,地心O为所有轨迹的一个公共焦点F1,若将抛出点记为A,由于抛出点是椭圆轨迹上的一点,它到两焦点的距离之和为2a,所以另一个焦点F2与A的距离r为

r=2a-(R+h)

(5)

所有可能的F2点在纸平面内构成一个圆,如图3中虚线圆所示.对于圆周上任意一个F2点对应的轨迹如图3中实线椭圆.在轨迹上的任何一点P,到A点和到O(F1)点的距离之和有

图3 轨迹分析图

(6)

式中第一个小于等于是因为三角形的一边小于另两边之和,当3段线段共线时取等于;第二个等于再次利用了椭圆上的点到两焦点距离之和为2a.当P点在AF2延长线上时取等于.上式表明,任意一个轨迹上任意一点到两个定点(A、O)的距离之和小于等于一个定值,也就是说所有轨迹上的所有点都在一个椭圆范围之内,这个边界椭圆就是所有轨迹的包络线,A点和O点就是这个椭圆的焦点.对于任一特定的轨迹,AF2连线上的P就是刚好处于包络上的点.于是可以写出这个包络线椭圆的半长轴a0、半焦距c0以及半短轴b0为

(7)

(8)

(9)

若以地心O为坐标原点,OA方向为y轴正方向,垂直于OA向右为x轴正方向,则包络线的方程为

(10)

包络线2：平方反比斥力场中,从定点同速率向同一平面内不同方向抛出物体的双曲线轨迹的包络线也为双曲线.

以固定点电荷(电荷量记为 +Q)的静电场为例,在离点电荷距离为d的同一点以相同的速率u向同一平面内各个方向发射质量为m、电荷量为+q的粒子,这些带电粒子的轨迹均为双曲线,这些双曲线的包络线也是双曲线,如图4所示.

图4 平方反比斥力场中双曲线的包络线

证明：

易知,所有带电粒子具有相同的能量,于是它们的轨迹具有相同的半实轴a,由双曲线轨迹的能量公式

(11)

得

(12)

显然,固定点电荷所在处为所有轨迹的一个公共焦点F1.如图5所示.

图5 平方反比斥力场中双曲线的包络线

将抛出点记为A,选择其中任意一根双曲线轨迹,过F1作轨迹的对称轴即为双曲线的实轴,实轴上存在另一个焦点F2,双曲线上的点到两焦点的距离之差为定值2a,则A点和F2之间的距离也为定值.即

(13)

所有可能的F2点在纸平面内构成一个圆,如图5中虚线圆所示.在轨迹上的任何一点P,到F1点和到A点的距离之差有

2a-(d-2a)=4a-d

(14)

式中第一个大于等于是因为三角形的一边小于另两边之和,当3段线段共线时取等于;第二个等于再次利用了双曲线上的点到两焦点距离之差为2a.当P点在AF2延长线上时取等于.上式表明,任意一个轨迹上任意一点到两个定点(A、F1)的距离之差大于等于一个定值,也就是说所有轨迹上的所有点都在一个双曲线的一支范围之内,这个边界双曲线就是所有轨迹的包络线,A点和F1点就是这个双曲线的焦点.对于任一特定的轨迹,AF2连线上的P就是刚好处于包络上的点.于是可以写出这个包络线双曲线的半实轴a0、半焦距c0以及半虚轴b0为

(15)

(16)

(17)

若以地心F1为坐标原点,F1A方向为x轴正方向,垂直于F1A向上为y轴正方向,则包络线的方程为

(18)

包络线3：平方反比斥力场中,从过力心的同一平面内远处同方向同速率不同瞄准距离入射物体的双曲线轨迹的包络线为抛物线.

以固定点电荷(电荷量记为 +Q)的静电场为例,如图6所示.

图6 平方反比斥力场中双曲线的包络线

在过点电荷的平面内从远处以相同的向右的速率u入射质量为m、电荷量为 +q的粒子,它们具有不同的瞄准距离b.这些带电粒子的轨迹均为双曲线,这些双曲线的包络线为抛物线.

证明：

易知,所有带电粒子具有相同的能量,于是它们的轨迹具有相同的半实轴a,由双曲线轨迹的能量公式

(19)

得

(20)

图7 轨迹分析图

(21)

式(21)右边

(22)

于是

(23)

即该双曲线轨迹上任一点到一定点的距离和到一定直线的距离大于等于零,当P点在AF2延长线时取等于.如果把轨迹的偏转角记为θ,由双曲线的基本性质有

(24)

(25)

(26)

这就是所有这些双曲线轨迹的包络线方程,其中a由式(20)确定.