利用一元一次方程解行程问题的方法归纳总结

邬建霞

【摘要】行程问题是初中数学中的常见问题，其难度差别较大，问题种类多，因为行程问题涉及起点、终点、方向及交通方式等多个条件，任何条件的改变都有可能造成解题方法的不同，而且有些数量关系复杂且隐蔽，不容易发现，因此如何灵活地解行程问题是初中数学的难点之一.本文将常见的行程问题归纳为四种类型，分析介绍其解题方法并分别进行举例说明，以期望帮助学生对利用一元一次方程解行程问题有更全面的了解.

【关键词】初中数学；一元一次方程；行程问题

1 直线型追及问题

这里的“直线型”是指非封闭线路.“追及”是指同向运动，有前有后，前者慢，后者快，后者追前者.

等量关系：追及时，快者比慢者多走一个初始路程差.“初始路程差”是指快者出发时，两人相距的路程.通常列方程用到的等量关系为快者所走的路程=慢者所走的路程+两人初始路程差；快者所走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程.

例1 小明和小红约定一起去操场打羽毛球，两人都步行从教室出发，并且沿同一路线走，教室距离操场1800米.小红先出发，步行的速度是30米/分，小明比小红晚出发10分钟，比小红早20分钟到达图书馆.

（1）求小明步行的速度；

（2）求小红出发多长时间后小明追上小红（要求列方程解答）.

解 （1）1800÷1800÷30－10－20=60，

因此小明的速度为60米/分.

（2）设小红出发x分钟后小明追上小红，则此时小明出发x－10分钟，

根据题意有30x=60x－10，

解得x=20，

因此小红出发20分钟后小明追上小红.

2 环形相遇问题

人在圆、椭圆、多边形等封闭线路上的运动问题，若是相向而行，则为相遇问题.

同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，两者合走了1圈.等量关系：从出发到相遇所用时间=环形周长/两者速度和.第n次相遇时，两者合走了n圈.

不同起点、同时出发的追及或相遇问题，也有类似的等量关系.但要注意，第一次相遇时多走的或合走的路程不是整圈.

例2 小明和小红约定一起在足球场跑步，已知小红的跑步速度为2米/秒，小明的跑步速度为3米/秒，他们沿着400米的环形跑道从同一处背向出发.6秒后，一只小狗从小红处以6米/秒的速度向小明跑，遇到小明后，又从小明处以每秒6米的速度向小红跑，如此往返.请问在小红和小明第一次相遇时，小狗共跑了多少米？

解 设小明和小红跑了x秒后第一次相遇，则小狗跑了x－6秒，

根据题意有2x+3x=400，

解得x=80，

则小狗跑的时间为x－6=80－6=74秒，

所以小狗共跑了6×74=444米.

3 航行问题

航行问题也叫航海问题、流水问题，也包括飞机的飞行问题.船在江河里航行时除了本身的静进速度外，还受到流水的速度的影响，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程就是航行问题.

航行问题有以下两个基本公式：顺水速度=船速+水速，即v_顺=v_船+v_水；逆水速度=船速-水速，即v_逆=v_船－v_水.将这两式相加或相减，还可得到v_船=（v_顺+v_逆）/2，v_水=（v_顺－v_逆）/2.

这里，船速是指船在静水中的速度，顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船的速度（注意单位名称要统一）.

例3 A、B两码头相距120千米，水速为2千米/时，从A码头到B码头为顺水航行.当甲、乙两船同时从A、B两码头相向而行，两船3小时相遇；当甲、乙两船同时从A码头向B码头出发，1小时后，甲船比船多航行20千米.

（1）求甲、乙两船在静水中的速度；

（2）当甲、乙两船分别从A、B两码头同向顺流而下，甲船出发时不慎将一漂浮物掉入水中，当甲船到漂浮物的距离是到乙船距离的2倍时，求甲船从A码头出发行驶了多长时间.

解 （1）设甲船在静水中的速度是x千米/时，则乙船在静水中的速度是x－20千米/时.

依题意有3x+2+x－20－2=120，

解得x=30，则x－20=10，

因此甲船在静水中的速度是30千米/时，乙船在静水中的速度是10千米/时.

（2）设甲船从A码头出发行驶了y小时，

①如图1，当甲船未追上乙船时，由“甲船到漂浮物的距离是到乙船距离的2倍”，

可得30y=2（AB+BC－AD），

可列方程为30y=2（120+12y－32y），

解得y=24/7.

②如图2，当甲船超过乙船时，由“甲船到漂浮物的距离是到乙船距离的2倍”，

可得30y=2（AB+BC－EF），

可列方程为30y=2（120+12y－2y），

解得y=24，

因此甲船从A码头出发行驶了24/7或24小时.

4 火车过桥问题

这是一类车过桥、车过隧道的问题.相关的概念有车长、桥长（隧道长）车速等，问题类似“车完全在桥上（或隧道里）的时间，车从上桥到完全离开桥的时间”等.

火车过桥问题中重要的是弄清相关的“路程”是什么.火车过完桥走的路程是指从车头上桥开始，到车尾离桥这段时间内火车行驶的路程.而火车完全位于桥上的时间，是指车头和车尾都在桥上的时间，即从车尾上桥开始，到车头离桥这段时间.

例4 有一座过江的铁路桥长1000米，有一列火车从开始上桥到完全过桥共用了60秒，而这辆火车整列车厢完全在桥上的时間为40秒，求火车的速度和长度.

解 设火车的速度为x米/秒，则火车的长度可表示为（60x－1000）米，车长又可以表示为（1000－40x）米，

因此根据题意有60x－1000=1000－40x，

解得x=20，则60x－1000=200，

所以火车的速度为20米/秒，火车的长度为200米.