结构化教学“通元”可“识微”*——以初中数学“一元一次不等式”教学为例

何君青 高 健

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“新课标”）指出要探索大单元教学，积极开展主题化、项目式学习等综合性教学活动，促进学生举一反三、融会贯通，加强知识间的内在关联，促进知识结构化。这里的结构化指的不仅是内容、形式上的变化，更多的是从学科本质和学生学习视角对相关内容的统整，此举能更好地体现学科内容的本质特征和学生学习的需要。下面，笔者结合苏科版数学七年级下册第十一章“一元一次不等式”教学的设计，阐述结构化教学的一些做法和思考。

一、教学分析

（一）教学理念

方程和不等式均是刻画数量关系的重要模型，方程用以表示数量间的相等关系，是含有未知数的等式；不等式用以表示数量间的不等关系，是含有未知数的不等关系式。两者相互联系、相互渗透、相互作用、相辅相成。因此，类比方程开展不等式的研究，无论是从实际问题抽象出不等关系、建立不等式（组）的概念，还是列不等式（组）、求解不等式（组），都合情合理。这样的学习方式既可以将方程学习的经验引入到不等式的学习中，又可以揭示两者知识与方法之间的内在联系，有助于学生构建知识框架、把握不等式（组）的本质特征。

类比是一种由特殊到特殊的推理方法，是由一种对象的研究迁移到另一对象的研究的有效策略。它是数学教学中重要的思想方法，是结构化教学的一种有效实施途径，能使研究的内容更具迁移性、深刻性，研究的策略更具一致性、整体性，已越来越受到教师的关注。

故而，本章以“结构化”的理念作为教学依据，充分利用方程的相关知识、研究方法和经验开展类比教学，在同中辨异的过程中寻找不等式的特殊之处，在异中求同的过程中凸显两者之间的关联，让学生形成清晰、有序的结构图谱。具体教学框架如图1所示。

（图1）

（二）具体设想

明确了本章的教学理念后，为了更好地开展“结构化”教学，将“类比”做得更充分，笔者将每一节内容中“类比”之处作了细致分析。具体说明如下表所示。（见表1）

表1 “一元一次不等式”教学内容分析

二、教学设计

有了每课时的具体设想，笔者设计了课堂上的主要环节。集中体现在概念生成、解法探索、应用操作三部分。在概念生成部分，主要类比方程相关的概念，建构不等式相关的概念，实现内容的统整；在解法探索部分，主要辨析解不等式与解方程的异同，从而获得解不等式的一般步骤，实现方法的一致；在应用操作部分，主要辨析用不等式解决问题与用方程解决问题时每步的联系与区别，从而提取用不等式解决问题的一般思路，实现应用的推广。

（一）概念生成：内容的统整

【设计1】在“生活中的不等式”一课中，笔者设计了如下一组问题。

问题1：像a≤100，x＞5.7，y＋2＜11.5，m2≥16 这样的式子，它们有什么共同的特征？说说看。

问题2：请再写出几个类似的式子。

问题3：上述式子和以前学习的等式有什么区别和联系？

问题4：如果给上述这类式子起个名字，可能会是什么？

【设计2】在“不等式的解集”一课中，笔者设计了如下一组问题。

问题1：还记得“方程的解”的定义是什么吗？

问题2：类比“方程的解”的定义，你能对“不等式的解”下个定义吗？

问题3：“方程的解”与“不等式的解”之间有什么区别和联系？说说看。

问题4：数学上，我们将“一个含有未知数的不等式的所有的解”合在一起，称为这个不等式的解集。那么，你觉得不等式的解与解集之间有什么关系呢？说说看。

【设计3】在“不等式的基本性质”一课中，笔者设计了如下一组问题。

问题1：还记得等式的基本性质吗？是什么？

问题2：类似的，猜一猜，不等式会有什么基本性质？

问题3：“等式的基本性质”与“不等式的基本性质”有什么区别和联系？说说看。

设计1 以生活的例子引入，让学生体会到生活中不等关系的大量存在，并利用数学表达式描绘不等关系。在与等式进行比较的过程中，归纳异同，学生能清晰地认识到两者的区别在于用了不同类型的关系符号（等号与不等号）连接两个代数式。

设计2 中，学生在辨析的过程中，可以感悟到一元一次方程解的确定性和一元一次不等式解的不确定性，因此一元一次不等式解集的概念自然引出。在辨析、比较方程解和不等式解、解集的过程中，学生能够充分体会到“方程可以看作是不等式的极端情况，不等式是方程范围的扩张”，更好地理解不等式解与方程解的关系，并体会到“不等式的解是其解集中的一个数值，而解集是所有解的统称”。

设计3 中，学生通过类比尝试归纳不等式的基本性质，发现“不等式左右两边同时乘或除以一个负数，不等式的符号要改变”等性质，为后续解不等式提供了计算基础。上述三个设计牢牢紧扣概念产生背后的知识内容之间的密切关联，让学生加深理解的同时，更好地掌握了相应内涵。

（二）解法探索：方法的一致

【设计1】在“解一元一次不等式”第1 课时中，笔者设计了如下一组问题。

问题1：还记得解一元一次方程的步骤是什么吗？每一步的依据又是什么？

问题2：类似的，解一元一次不等式会经历哪些步骤？每一步的依据又是什么？

问题3：在解一元一次不等式时，每一步有什么要注意的呢？这与解一元一次方程的每一步相类似吗？

【设计2】在“一元一次不等式组”第1 课时中，笔者设计了如下一组问题。

问题1：明确了不等式组的解集的定义，想一想，解不等式组的步骤会是什么呢？

问题2：都是“组”，那么解一元一次不等式组的理念和解二元一次方程组的理念一致吗？

问题3：解一元一次不等式组的方法和解二元一次方程组的方法一致吗？有何区别？

既然方程和不等式有着密切的联系，那么解方程和解不等式应该也具备特殊的关系。设计1 借助解一元一次方程获得的经验，开展一元一次不等式解法的研究，帮助学生打通知识联系的壁垒，加深对一元一次不等式解法的理解，深刻体会到式子两边同时“变形”时不同的原因。

“二元一次方程组”“一元一次不等式组”的解，在本质上都有“公共”的含义，即要找到符合每一个方程或不等式的解。在解法的操作上，两者有着明显的区别，二元一次方程组需要方程“合作”求解，而一元一次不等式组则需各不等式先“单独”求解，后取公共部分得到解集。设计2 将两者对比研究，让学生更深刻地理解“组”的含义，也明确了虽然都是“组”，但解法不同，从而发展推理能力、应用意识。

（三）应用操作：应用的推广

在“用一元一次不等式解决问题”第1 课时中，笔者设计了如下一组问题。

问题1：用一元一次方程解决问题的步骤是什么？

问题2：类比一元一次方程，想一想用一元一次不等式解决问题会经历哪些步骤？

问题3：用一元一次不等式解决问题和用一元一次方程解决问题时，每一步有区别吗？有特别需要注意的地方吗？

上述设计从用一元一次方程解决问题的步骤入手，提炼出“设—列—解—答”四步骤。学生通过类比，归纳出用一元一次不等式解决问题的相同四步。上述过程中，教师要提醒学生注意的是：在用一元一次不等式解决问题设未知数时，“设”要呈现出一个范围，这与不等式的含义匹配；还要分清最后的结果是求具体的数值，如最大、最小值，还是求一个范围。

三、教学思考

从根本上说，很多数学内容具备统一性、整体性。因此在教学中，教师应当使学生真正感受到数学内容本身所具有的“结构性”——既有内涵的一致性，也有方法的一致性。这样的“结构化”学习有助于学生构建体系，正确认识数学的价值，深入理解数学的内容，形成应用数学解决问题的能力，从而更好地发展自身的认知能力。

本章教学的设计，充分揭示了方程与不等式，尤其是一元一次方程与一元一次不等式的知识内容和研究方法上的横纵联系。一方面，在生活中数量关系的统摄下，教师带领学生首先剖析方程与不等式的定义及相关概念、基本性质的共同之处，继而辨析两者在解法、应用等方面的不同之处。在异中求同、同中辨异中，学生感悟到知识学习的整体性和研究方法的一致性，形成了相对完整的知识结构和认知结构。另一方面，设计紧紧抓住“类比”这一方法，使得学生不同阶段的经验相互融合，思维不断扩展。学生在学习过程中透过现象看到本质，思考新问题与已学知识之间的联系，从而不断地去发现、去获得新知。

初中数学结构化教学核心的要义就是整体把握，由此及彼，以宏观的视角解决细微处的问题，即“通元”而“识微”，其中类比是一种重要的手段。通过类比，学生可以实现对知识内容的整体把握，贯通前后知识间的研究方法、研究策略，从而建立起对所学知识的本质理解，提炼出能够迁移的经验，最终实现核心素养的提升。