促进数学新授课新知生成的课例研究

卢 勇

中学教学应进一步强化基础概念的教学，强调对于知识、概念的本质的深入理解，夯实学生的知识地基，使学生能够做到真懂会用，掌握进一步学习的工具。［1］中学教学要在培养学生的知识见识上下功夫，在数学知识方法应用的灵活性和创造性上下功夫，在培养关键能力上下功夫。［2］因此，在高中数学新授课教学中，教师要让学生明晰新知的来龙去脉，让新知的生成有理有据，在知识生成过程中，培养学生的理性思维。

学习即研究，数学学习应按研究的思维过程与思维方式展开，通过创设符合数学知识发生发展规律（数学的逻辑）和学生思维规律及认知特点（心理的逻辑）的系列化情境与问题，引导学生开展高质量的数学研究活动。这种以培养学生理性思维为目标的数学研究活动，要努力做到情境适切、方案科学、细节严谨、学以致用。

一、情境适切彰显研究的必要性

在教学活动中，教师应结合教学任务及其蕴含的数学学科核心素养设计合适的情境和问题，引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题，使用恰当的数学语言描述问题，用数学的思想、方法解决问题。设计合适的教学情境，提出合适的数学问题是有挑战性的，但也为教师的实践创新提供了平台。

教师依托具体的情境，提出学生力所能及又富于挑战性的问题，有助于学生理性思维的提升。教师提出的问题要具有以下特征：（1）目的明确，即所提出的问题要紧紧围绕当前的教学任务，使学生的注意力集中在教学任务上；（2）反映本质，即问题要直接反映所学新知识的本质特征，要能引导学生的思维指向教学任务；（3）简明易懂，即学生不会因为问题的字面意思难懂而发生理解困难；（4）系统连贯，问题应按数学知识的发生发展过程，以相应的数学思想方法为主线，组成一个循序渐进的、具有内在联系的问题体系。

案例1：“有限样本空间与随机事件”（情境创设部分）

师：如果抛一次硬币，观察正面向上的结果有几种可能？结果确定吗？如果重复抛100次，并统计它们的结果，又会出现什么现象？

教师播放一段由GeoGebra 制作的抛硬币100 次模拟试验动画，学生从中体会一次试验结果的偶然性和多次重复试验结果的规律性。

师：我们再来看一个更为有趣的情境。教师先介绍随机数与随机点构建的规则，有一个正三角形，三个顶点分别标作A1，A2，A3，准备一个骰子，只有1、2、3 三种点数，在正三角形内部任取一点，记作P0。第一步，抛掷骰子一次，1、2、3 中产生一个随机数i（i=1，2，3），连接P0Ai，取P0Ai的中点记作P1。第二步，再次抛掷骰子一次，1、2、3 中产生一个随机数i（i=1，2，3），连接P1Ai，取P1Ai的中点记作P2，以此类推，得到点P3，P4，…，Pn。这些点的产生具有随机性吗？你看出这些点的分布有什么规律性吗？

教师播放一段由Matlab编程制作的三千余个随机点分布规律的视频，学生惊奇地发现随机点的分布具有明显的规律性，呈著名的谢尔宾斯基三角形的形状。（如图1）

教师引导学生归纳总结以上现象的共同特征：就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性；但在大量重复观测下，结果又具有一定规律性的现象，我们称之为随机现象。

师：初中时，你们对随机事件的认识更多是一些感性的认识。高中阶段，我们将结合实例，从理性的角度刻画和研究随机现象。（引出本节课的课题“有限样本空间与随机事件”）

【设计意图】概率论是研究随机现象规律的数学分支，为人们提供了从不确定角度认识客观世界的思维模式和解决问题的方法。概率课程承担的主要育人任务是培养学生分析随机现象的能力。基于整体单元化教学的需要，本节课作为高中概率单元的起始课，兼具知识预备和单元导引的双重价值。上述教学片段教师分别选择熟悉和有趣的两个情境，引导学生归纳获得随机现象的共同特征，有利于提升学生进一步研究随机现象的好奇心，体会随机思想，明确研究对象。

二、方案科学彰显研究的合理性

数学学习的核心是思维方法的学习。但在教学实践中，不少课堂教学过程杂乱无序，没有贯穿课堂始终的教学主线，缺乏有结构的、逻辑关联、层层递进且能启迪学生思维的问题引领，教学随意性很大，“思维的教学”更是奢谈。教师应对数学知识的背景、抽象、推理过程进行“本源性”思考，设计科学的研究方案，用高观点、思想性去引领学生的学习，并在此基础上构建课堂教学主线，让学生在掌握数学知识的过程中，领悟思考方法进而学会学习。案例2：“斐波那契数列”（性质探究部分）

问题1：等差、等比数列的研究路径是什么？

问题2：你认为应该怎样研究斐波那契数列的项与和的性质？

【设计意图】从数列大单元的角度，让学生回顾等差数列、等比数列的研究过程，探寻数列研究的一般路径，为接下来研究斐波那契数列找准方向。

学生活动：自主探究斐波那契数列中的项的特征、项的性质、和的性质。

活动方式：小组讨论，合作探究，自主展示，小组纠错，自我完善。

【设计意图】一是让学生掌握研究的方法：特殊到一般，归纳证明猜想；二是从数列大单元的角度，熟练运用研究数列的一般方法：迭代法、定义法、累加法、错位相减法等探究斐波那契数列的性质；三是让学生感受相比等差、等比数列，斐波那契数列所具有的性质更加丰富，其推导和研究的路径也更为多样。

三、细节严谨彰显研究的完备性

细节决定成败。数学概念教学中应当安排概念的“精致过程”，对概念内涵进行“深加工”，对概念要素作具体界定，让学生在对概念的正例、反例作判断的过程中，更准确地把握概念的细节。［3］这样不仅能让学生深入理解当前知识，还能为学生以后的学习打下坚实的基础，更能培养学生思维缜密、严谨细致的理性精神。

案例3：“数列的概念及表示”（数列概念理解部分）

师：我们以数列1，2，4，8，16，…为例，来检验下同学们是否掌握了数列的有关概念。

问题1：该数列的首项是什么？对应的序号呢？2，4，8，16 对应的序号呢？序号n对应的就是第n项an，具体an是什么呢？

师：显然an=2n-1反映了这个数列的第n项与序号n之间的关系。一般地，如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式。

追问：如何求a101呢？你是如何认识符号“an”的？

【设计意图】在师生交流的基础上，学生认识到符号“an”既是“确定的”又是“任意的”，即an表示的是数列的第n项，同时作为通项公式an意味着对数列中的每一项都是适用的。

师：通过前面的分析，序号1 与数列中的项“1”对应，序号2 与数列中的项“2”对应，序号3与数列中的项“4”对应……这种对应关系同学们熟悉吗？之前的学习中同学们接触过吗？

为了分析IGBT的开路对电路造成的影响我们假设图2中的In方向为电流的正向,首先分析T1的开路故障(如图2所示)。当电流In为正方向时,T1发生了断路故障,为了保证Ln的电流连续性,电流In只能通过D1流向直流侧。那么由以上的分析可知在电流In为正向极性时,如果T1发生了断路故障并不会影响In。然而,当电流In的极性变成负极性时,电流In不再能够通过D1进行续流,那么必然会对In产生影响。综合单相PWM的开关指令,判断如下3种开关指令:(1010),(1001),(1000)符合上面的分析。

生：这种对应关系应该是函数。

问题2：数列是函数吗？（小组讨论）

学生交流发现：数列中，每一个序号n都有唯一的项an与之对应，满足函数的定义，所以数列是函数。

问题3：通项 公式为an=2n-1的数列{an}与f（x）=2x-1是否为同一个函数？

生：两者的对应关系是一致的，但定义域不同，an=2n-1中的n只能取正整数，而f（x）=2x-1的定义域为R，所以它们不是同一个函数。

问题4：那数列是一个什么样的函数呢？从函数的观点，谈谈你的认识。

教师在学生交流的基础上总结完善，得到数列与函数的关系：数列是一类特殊的函数。从定义域上看，数列的定义域是正整数集或其有限子集{1，2，…，k}；就对应关系而言，数列的通项公式就是数列（函数）的解析式，即an=f（n）；函数值相应的是数列中的项f（1），f（2），…，f（n），…。

【设计意图】辨析数列的本质，厘清数列与函数的关系是本课的难点，也是后续学习中运用函数观点解决数列问题的基础。在处理方式上，由特殊到一般、由具体到抽象的方法贯穿始终。教师首先以具体数列为研究抓手，引导学生联想到所学函数知识，感悟数列的函数特征，进而开展一般性探究，根据函数概念，明晰数列的本质就是函数。

四、学以致用彰显研究的有效性

数学学习强调学以致用，数学应用既包含数学学科内部知识之间的关联与交互，也包含以数学作为工具，在自然科学乃至人文社会科学中的交叉应用。通过数学应用可以巩固新知识的学习，检查新概念的掌握程度，培养学生分析问题、解决问题的能力，促进真懂真会。例如，天文观测、历法推算和航海的发展推动人们对球面进行研究，从而产生了球面三角学，出于间接测量、测绘工作的需要又出现了平面三角学。正余弦定理的出现更是人类文明发展数学文化中的一颗耀眼的宝石，既解决了很多实际问题，又在数学文化中展现了迷人的魅力。

案例4：“正余弦定理的应用——测量距离问题”（主问题设计）

问题：解三角形在测量上有着广泛的应用。你能设计出图2 中三种实际情况下测量A、B 两点间距离的方案吗？

解决方案图示：

（图3）

【设计意图】前两种情况相对比较基础，学生直接构造三角形，运用正弦定理和余弦定理可以直接解决。对于第三种情况A，B两地均不可到达，借助前两个问题的求解经验、建立的基本模型，我们需要学生明白这种情况求解的过程，让学生感悟内蕴于其中的化归数学思想方法。

章建跃先生指出，要努力提高数学教学的品位。这就要求教师在日常教学中，要以数学新知为载体，让学生经历明确研究的问题、获得研究的对象、确定研究的内容、选取研究的方法、建构研究的过程、获得研究的结论等完整的数学思考过程，让新知生成有理有据，提高学生的数学素养，发展理性思维。