在数学教学中渗透数学文化教育

黄 健

数学文化包括数学史、数学美、数学与生活的交叉应用，也包括数学思想、精神、方法、数学观点、语言等。［1］美国哲学家保罗·卡卢斯说过：“没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然世界的和谐性。”注重数学文化渗透的数学教育，其价值在于通过引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值，更深刻地把握数学本质，激发学习潜能，从而产生服务于终身发展的创造和再创造能力。

如何在教研中有效渗透数学文化，提升区域学生的学科核心素养，是每一位教研工作者一直在思考的问题。很多时候，教师的教学理念与视角具有一定的局限性，缺少在整体视野下的宏观设计，在日常教研活动中，听到最多的讨论是“这个问题是什么”“用什么方法解决”，却很少有谈论“这个问题体现了怎样的数学精神与数学思维”“有什么数学文化背景”“具有什么样的科学应用价值”，忽视了问题与其他问题之间逻辑的连贯性和思维的一致性。在教研工作中提倡数学文化教育，能够更好地完善学生人格、培养理性精神，这也是新课标背景下教研改革的一大方向。本文重点研究在数学课堂教学中如何进行数学文化渗透，发展理性思维。

一、数学文化教育的实施原则

将数学文化引入课堂，旨在引导学生从多视角、多层次、多维度去发现问题、提出问题，并能用数学的思维去分析问题和解决问题。渗透数学文化的教学应该遵循两个原则：一是全方位育人，数学文化始终渗透在学生学习生活的方方面面；二是全过程育人，要将数学文化的传播贯穿于“发现、分析、形成、完善、再创造”的课堂教学全过程。

从数学文化在高考题中的呈现背景及价值取向分析，高考试题常以传统文化和数学史为背景，渗透审美价值；以数学著作中的经典题目为载体，体现数学应用价值；以国内外数学家的优秀成果为背景，体现数学人文价值；以实际生产生活的内容为背景，体现数学文化价值；以跨学科知识为背景，体现数学科学价值。这些试题为学生提供了情境素材，引导学生了解数学的发展历程，体会数学学科在社会发展、人类进步中作出的重大贡献，感悟学科价值，认识学习数学的重要性，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养。

在教学活动中，从教学设计开始，教师就要注意数学的科学性与人文性、艺术性的和谐统一。数学文化的渗透在课堂教学中应是连续的。数学符号的引入、数学语言的规范、图形标准的设置、数学模型的建构，无不体现了数学文化的传播与传承。教师应善于在概念讲解、认知形成过程中引入生活化背景，帮助学生认识数学元素的积累、完善过程，自然而然地理解、形成认识概念。在问题难点的突破环节，教师应抓住主要核心点，把难点通过生活化、通俗化的语言，转化为学生通俗易懂的内容，通过科学的指导和示范，帮助学生自主完成建构，同时还要帮助学生积累处理同类问题的相关经验，促使其形成数学学科核心素养。总之，教师要处理好文化与数学教学的关系，透过数学课程丰富的文化内涵，改变单调、枯燥的教学模式，激发学生科学理性的探究精神，体现数学课堂的本真。

二、数学文化教育的实施路径

渗透数学文化的数学课堂教学模式能为培养通识人才提供必要的保障，但数学文化所涉内容宽泛，如何在数学课堂教学中将其有效渗透，发挥其应有的价值？笔者认为，数学文化教育的实施路径可以从以下三个方面着手。

1.聚焦文化素材，强化育人功能

2019 年版高中数学新教材新增了《阅读与思考》《探究与发现》《文献阅读与数学写作》等栏目，为师生提供了大量的文化素材。教师可以通过精选素材充分发挥教材功效，让学生感受知识的直观性、趣味性，激发其学习数学的兴趣，进而自然而然地投入到自主探索、合作交流之中。丰富的文化素材，能够从不同角度给予学生自由选择和探索的空间，让学生成为自我管理、自我教育、自我发展的主体。有趣的问题情境，能够激起学生思维认知的冲突，让学生在享受问题解决的过程和新认知产生的过程中潜移默化地提升理性思维，强化数学能力。优秀的数学成果，能够让学生充分感受数学的和谐统一之美，在感叹前人伟大成就的基础上产生进一步研究发展的冲劲，激活内心的创新意识，实现应有的人生价值。

2.培育文化思想，发展理性精神

作为教师，我们应该认识到，每一个数学概念都不是独立的，每一个数学公式都是经过打磨、浓缩的精华，每一次解题过程的思想碰撞都是对认知的逐步完善，每一处细节的观察、分析、理解和感受都有可能是学生思维实现质的飞跃的开始。因此，教师在课堂教学中要精心设计、有效引导，不断激发学生的探究欲，深刻挖掘课堂活动中蕴涵的数学文化，精心梳理数学文化中体现的数学思想。教师应教会学生“怎样思考”“怎样自然地想到”，让学生经历探究、发现、质疑的过程，体验、揭示知识发生、发展和形成的过程，并通过联想、迁移帮助学生自主建构认知体系，促进学生思维能力的发展，全方位激活数学思想对认知和情感的双效功能，培养理性精神。

3.把握数学灵魂，产生创造价值

数学思想是数学的灵魂，数学思维过程是促进学生思维能力和数学思想方法的形成过程，而数学的思维训练不仅是逻辑思维训练，更是“数学发现”意识的培养、应用数学解决实际问题意识的培养。通过数学文化在课堂教学中潜移默化的渗透，学生能够从复杂的事物结构中抽象出一般的数学模型，站在更高的层次去进行抽象与概括，甚至能够站在另类的角度观察和认识世界，提出具有创造性和经得起实践检验的新观点、新思路和新方法，发现世人尚未发现的事物规律，这就是一种创造力。近年来，国家对拔尖创新人才的需求逐步加大，教师要通过渗透好数学文化，把握好数学灵魂，创造鼓励探索的课堂气氛，着力培养学生的创新意识与创新能力。

三、数学文化教育的实践案例

数学文化教育如何落地，如何能更好地将数学文化渗透在日常教学中？新授课、专题复习课是高中数学课堂中的两种主要形式。一般而言，新授课指向的数学文化更为广泛，好的设计常能将数学史、数学美、人文地理等融入课堂，凸显数学课堂的感性美；基于数学文化的专题复习课应指向数学的理性精神［2］，在课堂体验过程中突出思维活动，重视数学思想、数学精神、数学方法及数学观点的形成与发展。下面以笔者开设的一节示范课为例谈谈对渗透数学文化课堂教学的实践与思考。

课例：新授课“等差数列的前n项和”

本节课的难点是等差数列前n项和公式的推导过程和数学文化、数学方法的渗透，所以笔者前期查阅了诸多资料，如：高斯的首末求和法、印度泰姬陵的宝石背景等，同时考虑如何将奇偶分析法、倒序相加法、分组求和法、数形结合思想、类比猜想手段等巧妙地结合起来，从而拓展学生思路，培养学生的数学核心素养。

1.引入人文情境，提升数学审美

世界闻名的印度泰姬陵，有“印度明珠”的美誉，建筑群总体布局和谐对称，陵墓是唯一的构图中心。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100 层，奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗？

【设计意图】数学审美、数学应用是本课的活动特色。本情境既激起了学生对新知的探索欲，也让学生感受古人的审美能力，感悟数学的对称美。图1 则是帮助学生将问题模型从复杂情境中剥离，指向核心问题“1+2+3+…+100=？”

2.融入数学史，体验数学家历程

师：著名数学家高斯小时候就会算“1+2+3+…+100”，闻名于世，那么小高斯是如何快速地得出了答案的呢？

问题1：高斯采用的是什么方法？

问题2：为什么要首尾配对？“1+2+3+…+100”与“（1+100）+（2+99）+…+（50+51）”的区别是什么？

生：前者是求100 个不同数的和，后者是求50个相同数的和。

师：将不同数的求和化归为相同数的求和是推导等差数列求和公式的精髓。

【设计意图】融入数学史的教学旨在让学生体会数学家的智慧，感受其思维的巧妙。这个过程中，数学史是明线，暗线是感受数学的对称美与和谐美，逐步发展学生的理性思维。在此过程中也让学生初步感受了等差数列的重要性质：若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），则am+an=ap+aq，加深对等差数列性质的认识。

3.引导思维拓展，渗透数学文化

问题3：从第1 层到99 层一共有多少颗宝石，即求“1+2+3+…+99=？”，高斯的办法还行吗？如何改进，才能解决配不上对的问题？

从而引发如下思考。

问题4：从第1层到n层共有多少颗宝石？

法1：当n为 偶 数 时，1+2+3+…+n=；当n为奇数时，记Sn=1+2+…+n=0+1+2+…+n=。

受水区东部平原超采区适度开采利用地下咸水，在降低咸水层静水位、减少农田耕作层含盐量的同时，也相应减少咸水层和淡水层水位差，减缓咸水层向淡水层的越流补给速度，使咸水层不至于扩散。

法2：当n为 偶 数 时，1+2+3+…+n=。当n为奇数时，记Sn=1+2+…+n，Sn=。

师：上面的两种方法可以叫什么法？

生：奇偶分析法。

【设计意图】上述探究旨在引入奇偶分析的数学思想方法，从贴近学生的一般思维高度出发，唤醒学生内心潜藏的创造力、思考力和学习力，也为后续课堂进一步优化方法做铺垫。

4.强化数形意识，感受和谐统一

问题5：是否一定要分类讨论呢？怎样避开分类讨论，又能达到“配对”，从而将“不同数的求和”化归为“相同数的求和”呢？

师：假如再给你同样多的珠宝，你能设计出一个什么样的图案呢？

生：把“全等三角形”倒置（如图1），与原图构成平行四边形。平行四边形中的每行宝石的个数均为n+1个，共n行。从而有如下思路。

法3：令Sn=1+2+…+n，又Sn=n+（n-1）+…+1，故，从而。

（图1）

师：这种方法可以叫什么法呢？

生：倒序相加法。

练一练：某仓库里整齐地堆放着一堆钢管，最上面一层放了4 根，下面每一层都比上一层多1 根，最下面的一层有9 根。问：这堆钢管一共有多少根？

问题6：一般的等差数列{an}的前n项和公式是什么？请尝试猜想和证明。

倒序相加法：

Sn=a1+a2+…+an，（1）

Sn=an+an-1+…+a1，（2）

因 为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所 以（1）+（2）可得2Sn=n（a1+an），即。

数形结合法：受到上述练一练中的问题启发，考虑将两个全等的梯形拼接成平行四边形，则。

【设计意图】本过程再次回到问题情境，引导学生用“拼图”的思想解决“配对”的问题，从数与形两个角度发现、完善、创造出倒序相加法，体会数与形的美妙。设置“练一练”则是为后续推导一般结论做准备，揭示了公式的本质，也为公式的类比创造了条件。

四、数学文化教育的实践感悟

立德树人，文化育人，提升学生的数学核心素养是新一轮课程改革赋予我们的教学使命。将数学文化进一步融入课堂、融入课外活动、融入课余生活是时代发展的新要求。作为一线教师，要体会数学文化在育人过程中的重要作用，要重视数学文化的传承与渗透。

首先，教师需要提高对数学文化的理解水平，不能简单地认为数学文化就是数学情境或数学史，也不能认为数学文化可以简单地通过教材及课标中的相关阅读案例来渗透。数学文化教育不仅是教学内容的传授，更是一种精神的传承。

其次，教师要善于挖掘数学史料，帮助学生加深对数学知识的理解，新授课切不可上成“一个概念，两个公式，三个注意点”的机械模式，要通过渗透数学文化，让数学知识“自然化”，使学生理解概念的由来；让学法“多样化”，使学生多角度感受数学的和谐统一。

最后，教师教学中要有意识地培养学生多角度、多维度去发现问题、提出问题，引导学生“用数学的眼光观察世界”“用数学的思维思考世界”“用数学的语言表达世界”，通过不断地设问“是什么？解决什么？关键在哪？怎样思考？为何这样？能否拓展？”等，努力追求数学的应用价值和创造价值，促进学生关键能力的提升，实现数学学科核心素养的提升。