函数与导数综合的不等式问题的处理策略

胡玲玲

摘 要： 放缩法是解答函数与导数压轴题的常用方法，即采用相应的不等式作为放缩的工具，将所证超越不等式放缩为常规的不等式.其中根据曲线及其切线的位置关系而得到的不等式在解题中有广泛的应用，这类不等式我们常称之为切线不等式，而此种方法即为切线放缩法.

关键词： 导数;切线;放缩

函数曲线f（x）在某点处的切线为y=kx+m，若除切点外曲线恒在切线的上方，则有f（x）≥kx+m；若曲线恒在切线的下方，则有f（x）≤kx+m，这类不等式我们称之为切线不等式，利用切线不等式进行放缩在导数综合问题中应用较多，下面通过举例分析，探究切线放缩法的应用.

1 知识储备

例1     已知函数f（x）=ex-x2.

（1） 求曲线f（x）=ex-x2在x=1处的切线方程；

（2） 当x＞0时，证明： ex+（2-e）x-1 x ≥ ln  x+1.

本题第（1）问求曲线的切线方程，属于基础设问.第（2）问证明不等式的常规思路是构造函数，利用导数求其最值.若直接作差构造，极为繁琐，甚至无法进行.下面探究利用切线放缩法构造函数来解决问题.

应用切线不等式进行放缩，首先我们要熟知一些基本初等函数的切线，如函数y=ex在点（x 0，ex  0）处的切线方程为y-ex  0=ex  0（x-x 0），即y=ex  0（x-x 0）+ex  0.

令上式中的x 0=0，得切线方程为y=x+1.由曲线y=ex与直线y=x+1的位置关系可得ex≥x+1，当x=0时，等号成立.

令上式中的x 0=1，得y=ex.由曲线y=ex与直线y=ex的位置关系可得ex≥ex，当x=1时，等号成立.

同理，可得 ln  x≤x-1（x＞0），当x=1时等号成立； ln  x≤ 1 e x（x＞0），当x=e时，等号成立.

例2     求证：ex ln  x-ex2-ex+2ex≤0.

解析：    由ex≥ex得ex ln  x-ex2-ex+2ex≤ex ln  x-ex2-ex+2ex，当x=1时，等号成立，因此只要证明ex ln  x-ex2-ex+2ex≤0，將此不等式两端同除ex，得 ln  x-x+1≤0.

令f（x）= ln  x-x+1，求导，得f ′（x）= 1 x -1= 1-x x ，则f ′（x）=0，得x=1，在区间（0，1）上，f ′（x）＞0，f（x）单调递增；在区间（1，+∞）上，f ′（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）≤f（1）=0.

原不等式成立.

本题所给的不等式关系中有多处含有ex，因此想到利用不等式ex≥ex进行放缩处理.另外，有些问题的求解中可借助上述切线不等式的变式进行放缩.

例3     证明：1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 n ＞ ln  （n+1）.

解析：    由不等式x-1≥ ln  x（x＞0），得x≥ ln  （x+1）， 1 x ＞ ln    1 x +1 ，所以 1 n ＞ ln    1 n +1 = ln   1+n n .

所以1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 n ＞ ln  2- ln  1+ ln  3- ln  2+…+ ln  （n+1）- ln  n= ln  （n+1）- ln  1= ln  （n+1）.

问题得证.

本题的放缩借助了不等式x-1≥ ln  x（x＞0）的变式，即 1 x ＞ ln    1 x +1 ，因为 1 x ≠0，所以此处等号不成立.

另外，常见的还有三角函数的切线，例如正弦函数y= sin  x在原点（0，0）处的切方程为y=x，当x＞0时，不等式x＞ sin  x恒成立，当x＜0时，不等式x＜ sin  x恒成立.类似地，余弦函数y= cos  x与正切函数y= tan  x等也具有相应的切线.

例4     已知函数f（x）= 1 x - cos  x+a（a＞0）在区间（0，2 π ）内恰有一个变号零点，求实数a的取值范围.

解析：    易知在区间   π  2 ， 3 π  2  内 cos  x≤0，所以f（x）= 1 x - cos  x+a＞0，无零点.下面讨论f（x）在区间 0，  π  2  和  3 π  2 ，2 π  内的零点情况.

在区间 0，  π  2  内，y= cos  x在x=  π  2 处的切线方程为y=-x+  π  2 ，且 cos  x＜-x+  π  2 .下面只要证明-x+  π  2 ＜ 1 x ，即x2-  π  2 x+1＞0，Δ=   π  2  2-4＜0，所以 cos  x＜ 1 x ，所以f（x）= 1 x - cos  x+a＞0，无零点.

因此f（x）在区间  3 π  2 ，2 π  内存在一个零点.求导，得f ′（x）=- 1 x2 + sin  x＜0，所以f（x）單调递减，且 f  3 π  2  = 2 3 π  +a＞0， f（2 π ）= 1 2 π  -1+a＜0，所以0＜a＜1- 1 2 π  .

综上，满足条件的a的取值范围是 0，1- 1 2 π   .

三角函数与幂函数、指数函数、对数函数综合的问题的常用解法是区间讨论法，本题在分区间讨论的过程中利用了三角函数的切线放缩，将三角式中的三角函数去掉，从而解决了问题的求解难点.

2 命题分析

除了上面总结的几种常用的切线不等式外，还有一种切线不等式，是由所证题目的前一问得到的切线方程，通过进一步判断曲线与该切线的位置关系，从而得到相应的不等式.这种命题的设问方式体现了前后的关系性，有效地考查了学生灵活运用所求结论分析解决问题的能力.

例1的解析：    第（1）问求曲线f（x）=ex-x2在x=1处的切线方程，对函数f（x）求导，得f ′（x）=ex-2x，所以在x=1处的切线斜率为e-2，又f（1）=e-1，所以切线方程为y-（e-1）=（e-2）（x-1），即y=（e-2）x+1.

第2问，我们先来审视所证关系式： ex+（2-e）x-1 x ≥ ln  x+1，即 ex-［（e-2）x+1］ x ≥ ln  x+1，不难发现分子中“［  ］”内的一次函数即是我们第一问所得的曲线的切线，那么该切线与曲线f（x）=ex-x2具有何种位置关系？除切点外，曲线是恒在切线的上方还是下方？

不妨尝试分析，若除切点外，曲线f（x）=ex-x2恒在切线y=（e-2）x+1的上方，即ex-x2≥（e-2）x+1，ex-［（e-2）x+1］≥x2，进而可将所证不等式放缩为 ex+（2-e）x-1 x ≥ x2 x =x≥ ln  x+1，而对于x≥ ln  x+1，则是我们前面所得的结论了.下面的问题就是要判断曲线f（x）=ex-x2与其在x=1处的切线y=（e-2）x+1之间是否存在我们所预测的关系.

3 难点突破

通过上面的分析，我们已经得到了解决问题的方向，即只需要证明ex-x2≥（e-2）x+1.

此不等式的证明方法是通过构造函数，利用导数来求函数的最值.

令g（x）=ex-x2-（e-2）x-1，求导之前要注意观察函数是否存在直观的零点，不难发现g（0）=0，g（1）=0（备用）.

对g（x）求导，得g ′（x）=ex-2x-e+2，此函数仍为超越函数，可再次求导.

令h（x）=ex-2x-e+2，则h ′（x）=ex-2，令ex-2=0，则x= ln  2.在区间（0， ln  2）上，h ′（x）＜0，h（x）单调递减；在区间（ ln  2，+∞）上，h ′（x）＞0，h（x）单调递增.所以h  min （x）=h（ ln  2）=e ln  2-2 ln  2-e+2＜0，又h（0）=3-e＞0，h（1）=e-2-e+2=0，所以存在x 0∈（0， ln  2），使得h（x 0）=0.其图象如右图所示.

据此可知，在区间（0，x 0）上，g ′（x）＞0，g（x）单调递增；在区间（x 0，1）上，g ′（x）＜0，g（x）单调递减；在区间（1，+∞）上，g ′（x）＞0，g（x）单调递增.又g（0）=0，g（1）=0，所以在区间（0，+∞）内g（x）=ex-x2-（e-2）x-1≥0，即ex-x2≥（e-2）x+1.

所以g（x）＞g（0）=0，即ex-x2≥（e-2）x+1.

进而问题得到圆满解决.

上述证明不等式ex-x2≥（e-2）x+1的过程，虽然略显繁琐，但难度可控.其中g（0）=0，g（1）=0，部分学生在解题中可能会忽视，从而造成后续解题无法继续.这些点我们常称之为关键点，也是解题的关键所在.在处理导数综合问题时，不要盲目求导，在求导之前应先观察这些关键点，进而可保证问题的顺利求解.

综上，切线放缩法是处理导数与函数综合的不等式问题的重要方法，要善于总结常见的切线不等式，注意一题多问中前后问的关联，寻找解题的突破口.