刘照超
立体几何最值问题侧重于考查同学们的空间想象、逻辑推理和数学运算等能力.常见的立体几何最值问题是求立体几何图形中某条线段、某个角、体积、表面积的最值,那么如何求解呢?
一、利用函数思想
在大多数情况下,我们可以把与动点有关的立体几何问题看作函数问题来求解.以其中某一个量,如动点的坐标、线段的长、角的大小为变量,建立关于该变量的关系式,并将其视为函数式,即可利用一次函数、二次函数、三角函数的性质和图象求得最值.
在建立空间直角坐标系后,设出点M的坐标,以a、b为变量,构建关于a的函数式[SΔBCM=125a2-6a+2].然后将[5a2-6a+2]看作二次函数式,对其配方,根据二次函数的性质即可知函数在[a=35]时取最小值.
二、运用基本不等式
在解答立体几何最值问题时,我们往往可以先根据立体几何中的性质、定义、定理求得目标式;然后将其进行合理的变形,采用拆项、凑系数、补一次项,去掉常数项等方式,配凑出两式的和或积,就可以直接运用基本不等式来求得最值.在运用基本不等式求最值时,要把握三个条件:一正、二定、三相等.
例2.已知三棱锥[P-ABC]的[4]个顶点均在球心为[O]、直径为[23]的球面上,[PA=2],且[PA,PB,PC]两两垂直.当[PC+AB]取最大值时,三棱锥[O-PAB]的体积为( ).
根据长方体的性质得到[PC+AB2-2PC?AB=10]后,可发现该式中含有[PC、AB]的和与积,根据基本不等式[a+b≥2ab]求解,即可得到三棱锥[O-PAB]的体积.
三、转化法
运用转化法求解立体几何最值问题有两种思路.一是将问题转化为平面几何问题.先将几何体的表面展开,或将几何体内部满足条件的某些面展开成平面;再在平面内利用平面几何知识,如正余弦定理、两点间的距离最短、三角形的两边之和大于第三边等求解,这样问题就变得十分直观,容易求解了. 另一种思路是根据题意和几何图形中的点、线、面的位置关系,明确其中改变的量和不变的量及其关系,根据简单几何体的性质、表面积公式、体积公式,将问题转化为求某些线段或角的最值.再结合简单几何体的性质,几何图形中点、线、面的位置关系求得最值
将平面[A1BC]与平面[A1AC]翻折到同一平面上,就可以把立体几何问题转化为平面几何问题,即可根据勾股定理和余弦定理求得[A1E]以及[AE]的值.分析图形可知当A、E、D三点共线时,[AD+DE]取得最大值,再结合余弦定理求解即可.
例4.已知球[O]的表面积为[60π],四面体[P-ABC]内接于球[O],[ΔABC]是边长为[6]的正三角形,平面[PBC⊥]平面[ABC],则四面体[P-ABC]体积的最大值为( ).
解答本题,首先根據球的表面积求得球的半径;再根据题意和几何体的特征明确当[PB=PC]时,点[P]到底面的距离最大;最后根据外接圆的性质、勾股定理求出点[P]到底面的距离,即可求出最大值.
除了上述三种方法外,有时还可采用定义法、构造法来求立体几何最值问题的答案.总之,同学们在解题时,要先根据题意和几何体的结构特征寻找取得最值的情形,求得目标式;然后根据目标式的特征,选用合适的方法求最值.