运用点差法解答圆锥曲线中点弦问题的步骤

蔡永智

中点弦问题是指与圆锥曲线的弦的中点有关的问题.这类问题通常要求我们求弦的中点的坐标、弦所在直线的方程、圆锥曲线的方程，侧重于考查一元二次方程的根与系数的关系、线段中点的坐标公式、直线的斜率公式的应用，以及直线与圆锥曲线的位置关系.解答圆锥曲线中点弦问题，通常运用点差法.

若直线与椭圆[x2a2+y2b2=1]（[a>b>0]）相交于点[A（x1，y1）]、[B（x2，y2）]，且AB的中点[M（x0，y0）]，运用点差法解答中点弦问题的步骤为：

本题涉及了双曲线的弦、中点，属于中点弦问题，需运用点差法求解.将直线与双曲线的两个交点的坐标分别代入双曲线的方程中，并作差，从而求得弦所在直线的斜率和方程.最后还需构造出一元二次方程，根据方程的判别式来判断直线与双曲线是否有两个交点，检验所求的直线方程是否满足题意.

例3.已知椭圆[x22+y2=1]上的两点A、B关于直线[y=mx+12]对称，求实数m的取值范围.

由于A、B两点关于直线对称，所以A、B两点的中点在直线上.本题实质上是中点弦问题，需运用点差法求解.先将两点的坐标代入椭圆的方程中，并作差，即可求出直线的斜率；然后建立关于AB中点坐标的方程组，求得中点的坐标；再将其代入椭圆的方程中，根据椭圆与点的位置关系，求得参数m的取值范围.

例4.已知直线AB与椭圆[x2a2+y2b2=1]交于A、B两点，B与[B]关于原点O对称，证明：直线AB与直线[AB]的斜率之积为定值.

解答本题，需灵活运用点差法和直线的斜率公式，建立关于直线AB和直线[AB]的斜率的关系式，从而证明结论.

运用点差法解题，只需通过简单的整体代换，即可求得直線的斜率、弦中点的坐标，这样可以有效地提升解题的效率.但是点差法的适用范围较窄，只适用于求解中点弦问题，且其中的[x1、x2]、 [y1、y2]不一定是实数，有可能是虚数，因此在运用点差法解题时，还需检验所得的结果是否满足题意.