证明数列不等式常用的三种方法

黎正再

证明数列不等式问题经常出现在各类试题中.这类问题侧重于考查同学们的观察、分析和推理能力.下面结合实例，谈一谈下列三种证明数列不等式常用的方法.

一、比较法

运用比较法证明数列不等式，往往要先将不等式两侧的式子作差、作商；然后将所得的差式和商式化简、变形，并将其与0、1相比较，从而比较出不等式左右两侧式子的大小.

解答本题，要先根据等差数列的定义，运用累加法求得[bn]的通项公式；然后將目标不等式左右两侧的式子作差，并将差式化简、变形，使其便于与0相比较，进而证明不等式成立.运用比较法解题的关键在于化简差式、商式，通常可将其分解因式、配成完全平方式，以使所得的结果能直接与0、1相比较.

二、放缩法

放缩法是证明数列不等式的重要方法.有时在求得数列的通项公式、前n项和式后，无法得到想要的结果，这是就需将数列的通项公式、前n项和式放大或缩小，使其逐步与目标式靠拢，以证明结论.在放缩时，要把握放缩的“度”，不可放得过大，也不能缩得过小.

解答本题主要运用了放缩法.先将数列的通项公式进行放缩，即[1n2>1n（n+1）=1n-1n+1]；然后通过裂项求和，求得数列的和[Sn]，从而比较出[an+1-13]与[Sn]的大小，证明不等式成立.

三、函数性质法

数列是一类特殊的函数，其自变量为自然数.对于较为复杂的数列不等式，我们可以将其视为函数问题来求解.先根据不等式的特点构造出合适的函数模型；然后根据函数单调性的定义，或导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，进而根据函数的单调性或最值来证明不等式.

求得数列[cn]的前[n]项和[Sn]后，可将其视为关于n的函数式，根据指数函数、反比例函数的单调性判断出新函数的单调性，即可根据新函数的单调性求得[Sn]的取值范围，进而证明不等式.通常可将不等式转化为一侧为常数项或0的式子，将另外一侧的式子视为关于n的函数式，再根据函数的单调性解题.

相比较而言，比较法和放缩法较为常用，且较为简单；函数性质法适用于解答较为复杂的数列不等式问题.在解题时，我们需根据不等式的结构特征选用与之相应的方法进行求解，这样才能有效提升解题的效率.