巧用周期性解答数列问题

郑州

数列是一种特殊的离散型函数，其定义域为正整数集N*（或其有限子集）.如同函数一样，数列具有周期性.若對于任意n、T∈N*，有an+T=an，则T为数列的周期.数列的周期性在解答数列问题中应用广泛，常用于求数列的项、求数列的前n项和、解答数列求积问题.在解题时，往往需先仔细研究数列的通项公式或递推关系式，通常可列出数列的前几项，以确定数列的周期；再根据数列的周期性来分析问题.

一、求数列的项

求数列的项的问题较为简单.一般需将相应的n的值代入数列的通项公式或递推关系式，即可获解.但有时数列的通项公式或递推关系式较为复杂，无法通过代值获得答案，此时需根据数列的通项公式或递推关系式，寻找数列中各项之间的联系，以明确数列中各项的变化规律，确定数列的周期.这样便可根据数列的周期性，确定所求的项数为一个周期的第几项，求出其中一个周期内的对应项，即可解题.

解答本题，需先仔细研究数列的递推关系式anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，并将其进行合理的代换，得出an+4=an，即可判定该数列为周期数列，且其周期为4；然后由2024=4×506可知数列的前2024项中包含了506个周期，将一个周期的和乘以506，即可解题.

三、解答数列求积问题

数列的求积问题比较常见，通常要求某几项或前n项的积.若数列具有周期性，则只需抓住数列的周期性特征，求出一个周期内各项的值或各项的乘积，并确定周期数，即可通过乘法运算求得问题的答案.

我们将已知递推关系式进行变形，即可发现{an}是以4为周期的数列，便能通过简单的运算，求得问题的答案.

很多数列问题从表面上看与周期性没有联系，但事实上我们仔细研究数列的通项公式或递推关系式，即可发现数列中各项的变化规律，求得数列的周期，就可以利用数列的周期性，将问题转化为简单的计算问题来求解.