从通性通法到圆锥曲线一类性质的推广

黄志斌

(佛山市南海中学,广东 佛山 528200)

2022-2023学年佛山市普通高中教学质量检测(一)高三数学第21题是探究两条线段之积是否为定值,该题的解答方法具有一般性,并能从通性通法得到椭圆的一个一般性结论,同时还可以推广到双曲线和抛物线,得到圆锥曲线的一类性质.在三新高考背景下,高考评价体系指出高考试题应“提倡通性通法,淡化特殊技巧”[1],因此,本试题虽然切入点难度不是很大,但体现了高考试题命制的价值导向,蕴含着丰富的数学思想和命题背景,起点低但落点高,对我们的教学和备考方向有很好的引导作用.

1 试题再现

(1)求椭圆C的方程;

(2)设过点F的直线PQ交椭圆于P,Q两点,若直线PA,QA与直线l:x+4=0分别交于M,N两点,l与x轴交于点K,则|MK|·|KN|是否为定值?若为定值,请求出该定值;若不为定值,则说明理由.

(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),显然直线PQ斜率不为0,则设PQ:x=my-1,联立直线PQ与椭圆方程,得(3m2+4)y2-6my-9=0.

Δ=144(m2+1)>0,

由平面几何知识易知

两式相乘整理,得

2 问题和解法一般化

现把以上问题一般化,相应的解法也一般化就得到通性通法.

证明如图1,设P(x1,y1),Q(x2,y2),显然直线PQ斜率不为0,则设PQ:x=my-c,联立直线PQ与椭圆方程,得

(a2+m2b2)y2-2mb2cy-b4=0.

图1 性质1示意图

Δ=4a2b4(m2+1)>0.

由平面几何知识易知

两式相乘整理,得

把上述命题1的条件作改变,“当过点P,Q与椭圆的右顶点作直线PB,QB,交右准线于S,T两点,R为右准线与x轴的交点”,则有下面相应的结论:

图2 性质2示意图

图3 性质3示意图

3 推广

证明如图4,设P(x1,y1),Q(x2,y2),显然直线PQ斜率不为0,设PQ:x=my-c,联立直线PQ与双曲线方程,得(m2b2-a2)y2-2mb2cy+b4=0.

图4 推广1示意图

由平面几何知识易知

①

两式相乘整理得

同样地,在抛物线中有如下性质:

推广2 过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于P,Q两点,分别过点P,Q与顶点作直线PO,QO,交准线于M,N两点,K为准线与x轴的交点,则有|MK|·|KN|=p2.

则y1+y2=2mp,y1y2=-p2,

图5 推广2示意图

两式相乘整理,得

圆锥曲线是一个重要的数学模型,具有很多优美的几何性质,从结论到推广对数学运算也有较高的要求[2].由于抛物线只有一个顶点和一条准线,所以结论相对椭圆与双曲线形式更简洁.从问题和证明方法的整个过程来看,该性质都有一个共同的特点,就是直线PQ都过圆锥曲线的焦点,因此这一类性质也可以说是圆锥曲线焦点弦的结论.