液滴撞击移动及旋转表面过程研究综述

周易，金哲岩,，杨志刚

(1.同济大学 航空航天与力学学院，上海 200092；2.上海市地面交通工具空气动力与热环境模拟重点实验室，上海 201804)

液滴撞击表面现象广泛存在于人类日常生产生活中.人们对液滴撞击有不同的要求，例如喷涂打印、喷雾冷却、农药喷洒等场景中需要液滴尽可能均匀附着在目标位置，而在风力发电机叶片结冰、飞机防除冰等场景中需要尽量减少液滴附着在表面.液滴撞击现象的深入理解有助于优化相关工程技术，解决对应的工程问题.随着高热流密度设备的广泛运用，传统散热方式无法满足散热需求，液滴喷雾冷却技术则可以更好地解决问题[1]；喷涂打印技术可以实现数字化的零件生产[2]；农药喷洒技术要求液滴需要均匀地铺展[3].许多危害现象也与液滴撞击表面的过程有关，如飞行过程中云中的水滴对飞机表面冲击附着带来的表面结冰等现象会对飞机飞行造成影响[4-5].当水滴撞击并附着在旋转帽罩时，由于离心力以及振动对冰的影响，结出的冰可能会脱落并打坏发动机[6].旋转叶片受水滴撞击结冰后也会破坏叶片的气动特性及载荷分布，轻则降低叶片的工作效率，重则引发安全事故[7-9].

水滴冲击飞行中的飞机表面往往涉及到水滴与移动表面间的撞击.飞机旋转帽罩、风力机旋转叶片等构件的冲击现象以及覆膜工业常用的旋涂技术都与水滴、旋转表面的动力学规律有关.其中包含了多个关键的科学问题，例如液滴撞击移动及旋转表面后在表面的铺展行为是如何的，发生飞溅的条件和飞溅行为是如何的，发生反弹的条件和反弹行为是如何的等等.要解决上述的科学问题，需要从液滴撞击静止表面的研究体系与结论出发，通过实验、理论分析和数值模拟相结合的方法，建立起移动及旋转表面的液滴冲击理论.对于解决相关工程问题和规避危害现象，开展液滴撞击表面的相关研究尤其对移动及旋转表面的针对性研究具有重要的意义.

在1876 年Worthington[10-11]实验研究液滴撞击壁面及液膜的现象.早期的研究往往选择黏度较大的液体以增加现象持续的时间[12].随着高速摄影技术的发展，研究人员对液滴撞击现象进行更深入的研究.在1955 年Engel[13]使用化学方法和高速摄像机追踪撞击面内液体的流动研究液滴的铺展.在1985 年施明恒[14]建立适用于润湿和非润湿接触2 种情况的铺展模型.Sikalo 等[15-18]于2005 年进行一系列研究发现液滴撞击表面的现象受到液滴尺寸、撞击角度、速度、黏度、表面张力、壁面粗糙度等变量的影响.在液滴撞击表面的研究中，关于静止表面（包括固体表面和液膜）的研究已经十分深入.针对移动表面的研究仍在逐步开展，虽然目前已经有了一些优秀的研究成果，但是仍未系统、完善地建立相关的机理分析和模型体系.

对液滴撞击移动表面的相关文献进行收集和整理，沿着固体和液体表面2 条路线，简述液滴撞击移动表面的现象、实验方法及系统；对目前研究的结果和相关模型的原理进行描述；提出一些液滴撞击移动表面相关的有待解决的问题.本研究为科研人员开展后续的液滴撞击移动表面的相关研究提供参考.

1 液滴撞击移动表面的实验系统与方法

在液滴撞击静止表面的研究中，研究人员常用无量纲数描述撞击条件或建立模型，因此在移动表面的研究中引入与表面运动相关的无量纲数.本研究以下标n为表面法向（液滴下落速度方向）量，下标s为表面运动（液滴下落速度切向方向）量，下标f 为流动液膜.研究中常见的无量纲数有液滴撞击韦伯数Wen、表面移动韦伯数Wes、液滴撞击雷诺数Ren、液膜流动雷诺数Ref、液滴撞击毛细数 Can、奥内佐格数 Oh ，以及特征量无量纲液膜厚度H和无量纲液膜局部流速U，具体计算式为

式中：D0为液滴撞击前特征尺寸， ρ 为液滴密度，σ为液体表面张力， µ 为黏性系数，w为渠道宽度，q为液膜流量，Vn为液滴撞击速度，Vs为表面移动速度，hf为液膜厚度，Uf为液膜局部流速.

1.1 液滴撞击移动固体表面的实验系统与方法

研究人员对液滴撞击移动固体表面设计了多种实验，常见的实验可以分为4 个系统：液滴发生系统、移动表面系统、图像捕捉系统和后处理系统.液滴发生系统用于产生液滴，控制液滴各项参数，通常使用毛细管针头产生液滴；移动表面系统用于设置移动的固体表面，控制表面各项参数；图像捕捉系统一般为高速相机，用于捕捉实验现象；后处理系统负责数据处理.其中运动表面系统是最重要的系统之一，也体现了几种常见的设计思路，常见的运动表面平台结构可以分为3 大类.如图1 所示，分别为转轮式运动表面、平移式运动表面和旋转平台表面.由于平移式表面实现难度往往较大，大部分实验设计者都选择转轮式和旋转平台式运动表面模拟平移平面.在使用转轮式运动表面模拟平移平面时，通常需要保证实验景深内表面与水平面间的偏移低至可以忽略[19]，否则实验表面被视为曲面将影响实验结果.

图1 液滴撞击移动表面的实验系统Fig.1 Experimental systems of droplet impacting moving surface

在表面选择上，大部分研究人员使用铝或不锈钢作为表面材料.当需要研究表面性质时，多使用多晶硅[22]作为表面或使用聚四氟乙烯涂层[23]、SiO2涂层[24]等表面涂层进行处理.液体选择上多使用去离子水、乙醇、甘油、硅油及其水混合物.具体实验材料与部分工况如表1 所示.

表1 液滴撞击移动固体表面实验条件Tab.1 Experimental conditions of droplet impacting moving solid surface

经过对上述文献整理发现，现有的实验对表面移动参量如Wes、Res等的覆盖范围较大，而针对液滴撞击大部分参量如Wen等在较低的数值范围内.

1.2 液滴撞击移动液膜的实验系统与方法

相较于液滴撞击静止表面的研究，液滴撞击移动液膜的实验研究起步较晚.在2011 年Alghoul 等[33]发表在液滴撞击移动液膜方面的实验研究成果.如图2 所示的液滴撞击移动液膜的实验系统可以分为液滴发生系统、移动液膜系统、图像捕捉系统和后处理系统.液滴发生系统常使用毛细管针头产生液滴，移动液膜系统常为一个横置或斜置槽，用于提供稳定的移动液膜，图像捕捉和后处理系统则使用高速相机和匹配的计算机处理软件，用于捕捉液滴撞击现象和图像处理.

图2 常见液滴撞击移动液膜实验平台[34]Fig.2 Common experiment platform of droplets impacting moving water film[34]

大部分实验采用去离子水产生液滴和液膜，在考虑不同液体性质时，可选择使用不同比例的甘油和水的混合物[35]，同时实验所使用的液滴和液膜液体均保持相同.表2 为液滴撞击移动液膜的部分实验条件.经过对上述文献整理发现，现有实验针对表面液滴撞击参量同样在较低的数值范围内，此外较多实验针对的无量纲液膜厚度H较薄，针对H>1 的工况研究相对较少.

表2 液滴撞击移动液膜实验条件Tab.2 Experimental conditions of droplet impacting moving liquid film

2 液滴撞击静止和移动表面的行为与现象

液滴撞击移动表面的过程是在液滴撞击静止表面的过程中加入一个垂直于液滴撞击方向（或与液滴撞击方向成一定角度）的表面运动，因此液滴撞击移动表面现象与撞击静止表面现象具有一定的关联，在影响液滴撞击静止表面的变量同时，也会影响撞击移动表面的过程.随着表面运动形式的复杂化，液滴撞击后的现象更复杂多样，但是描述液滴撞击静止表面现象的一些方法仍用在撞击移动表面上.

2.1 液滴撞击静止固体表面的行为与现象

目前研究人员针对液滴撞击静止固体表面的现象和机理已经开展了十分深入的研究和讨论.推荐读者阅读于2006 年Yarin 等[40]发表的文献，文献中对液滴撞击静止表面的相关内容进行了详尽的总结.

Rioboo 等[41]于2001 年的研究中提出液滴撞击静止硬表面广泛存在的6 种现象，如图3 所示，分别为铺展、喷溅、冠状飞溅、收缩破裂、部分反弹和完全反弹.Mehdizadeh 等[42]还指出高速撞击下液滴铺展过程中有明显的液指生成，而表面的粗糙度[13]、撞击参数[43]、环境气压[44-45]、撞击角度[46]等因素对液滴撞击后的现象有明显的影响.

图3 液滴撞击硬表面的典型现象[41]Fig.3 Typical phenomenon of droplet impacting solid surfaces [41]

在液滴撞击过程中，常被科研人员关注的行为和现象有铺展、飞溅和反弹.它们的发生阈值和具体现象受到表面性质、液滴性质、撞击条件、环境条件等因素的影响.在铺展过程中，研究人员主要关注的特征参数有铺展因子、铺展时间等.目前已经有大量的实验研究及模型，推荐读者参考春江等[47]针对铺展模型的详尽整理.

在液滴撞击表面飞溅的判别模型中，以K为参数的模型是最常见的一种模型，结构通常比较简单，并且可以包含黏性力、惯性力、表面张力等因素.研究者们通常以理论分析或经验公式的方式建立K的表达式，并结合实验数据得到判别飞溅的临界值Kc.一些常见的静止表面（包括固体和液膜）发生飞溅的阈值如表3，其中列出部分受到较多引用的早期经典模型和近年的新模型.不同模型中K的表达式和临界值Kc都存在最佳适用范围，当撞击中的部分参数例如表面润湿性、撞击韦伯数、液膜厚度等超出一定范围，则当前模型可能会失效；同样当撞击的场景不同时，例如撞击的表面是固体还是液膜、表面是否运动等，也会令现有模型出现误差.针对运动表面的研究中，同样需要建立新的K模型来判别飞溅阈值.

表3 部分液滴撞击静止表面飞溅阈值模型Tab.3 Partial splash threshold models for droplet impingement on stationary surface

值得注意的是有一种静止表面较为特殊，此静止表面与液滴下落方向之间存在夹角，即倾斜的静止表面.如图4 所示，液滴撞击倾斜静止表面的前期现象与液滴撞击平移表面具有较高的相似性，当2 个系统中液滴对表面保持相同的法向和切向速度，两者的前期铺展现象和飞溅现象几乎等效[28].

图4 液滴撞击倾斜与移动固体表面铺展对比[28]Fig.4 Comparison of liquid drop spreading between solid and moving surfaces [28]

2.2 液滴撞击移动固体表面的行为与现象

在移动表面上，液滴的铺展过程与静止表面最明显的不同在于铺展的不对称性，图5 列出液滴在移动固体表面上的一些典型几何不对称现象.在运动的表面上，液滴一般会在沿表面运动方向的铺展比垂直运动方向的铺展尺度更大[54].液滴在移动表面的飞溅过程也受到一定程度的影响，例如在某些工况下，可能会在上下游两侧表现出不同的飞溅形式[27]，液滴铺展后上下游的飞溅行为会受到表面速度影响[27]、运动表面上液滴能够发生飞溅的最低气压值显著小于静止表面[21]等.液滴的反弹过程同样与静止表面有着区别，例如表面运动速度达到一定阈值会引起液滴撞击后反弹[55]、液滴与表面接触时间缩短[24]等情况.

图5 液滴撞击移动表面的不对称铺展和飞溅Fig.5 Asymmetric spreading and splashing of liquid droplets impacting moving surfaces

由于液滴撞击移动表面具有的特殊性，研究人员引入一些定义以描述移动表面上的现象.如图6 所示，本研究统一定义液滴铺展的最大宽度a为垂直于表面运动方向上的最大尺寸；液滴铺展最大长度b为沿表面运动方向上的最大尺寸；液滴铺展的上下游分别为表面运动方向所指的上游与下游，其分界线为液滴当前铺展最大宽度线.端点为侧视图中液滴最高点，端点偏移x为液滴端点位置与液滴铺展几何最大宽度位置间的偏移，固液接触时间tc为液滴撞击移动表面后到完全反弹间固液接触的时间.在上述定义后，可以把部分实验结果汇总[54-57]如表4 所示，初步描述表面运动速度对液滴撞击后各现象的影响，其中“↑”为变量的增加、“↓”为变量的缩减.

表4 表面运动速度与液滴铺展、飞溅、端点偏移和接触时间的关系[54-57]Tab.4 Relationship between surface velocity and droplet spread, splash, apex offset and contact time[54-57]

图6 液滴铺展现象及对应参量定义Fig.6 Droplet spreading phenomenon and corresponding parameter definition

在液滴连续撞击移动表面的过程中，表面速度越高、液滴连续撞击频率越低，则液膜在表面的覆盖沉积越平滑[58].当需要较高的表面移动速度时，较低的频率和较高的冲击能量可以减小波动的生成，从而实现较为平滑的表面液膜覆盖[59]，而铝液滴等高导热系数的液滴，则会发生逐层凝固.液滴的凝固、铺展和回缩的耦合作用使得凝固液滴表面出现一系列“L”形隆起[60].

旋转固体表面作为移动表面的一种特殊类型，由于其离心效应而存在一些有别于平移表面的特殊现象.根据液滴撞击位置的不同，可以分为旋转中心撞击和非旋转中心撞击.液滴在旋转中心撞击后的现象有铺展边缘的毛细脊、液指的发生[61-62].液滴在非旋转中心撞击后的典型现象有如图7 所示的“月牙形”的铺展形状、几何不对称的液指拉伸、内侧的波的形成和向外推进等[29-32,63].

图7 液滴撞击旋转表面非中心位置的不对称铺展、铺展薄层上波的出现及液指现象Fig.7 Asymmetrical spreading of liquid droplets impacting noncentral position of rotating surface, appearance of waves on spreading layer and fingering phenomenon

Moghtadernejad 等[32]对液滴撞击旋转表面非中心位置的过程进行初步的实验研究，发现各项运动参数对液滴撞击旋转表面非中心位置的影响，其中较为特殊的有降低旋转表面的角速度会使铺展薄层上向外推移的波速度降低，提升液滴撞击点的线速度会促进二次液滴的形成等.本文沿用文献中对各项变量的定义，即Vw为波速度，Dw为波宽度，Nf为液指数， L wθ为周向铺展尺寸，Lw为径向铺展尺寸.在实验控制变量中， ω 为角速度，Rn为液滴撞击位置半径，实验结果如表5 所示.

表5 液滴撞击旋转平台非中心位置实验结果[32]Tab.5 Experimental results of droplet impact on non-central position of rotating platform[32]

液滴撞击移动固体表面的现象是由液滴撞击静止表面的基础现象叠加表面运动干扰而产生的，具体现象跟表面的运动高度相关.相比于静止表面的相关实验，液滴撞击移动表面的实验系统设计难度更高，其动力学过程更复杂，理论化推进难度更高，因此液滴撞击移动固体表面的研究文献相较之下更少，模型体系的建立也更浅.

2.3 液滴撞击静止液膜的现象

液滴撞击静止液膜也是一个常被讨论的物理学过程.通常来说，液滴撞击液膜的主要现象可以分为悬浮、反弹、飞溅以及融合（如图8），其中飞溅又分为冠状飞溅和射流飞溅[33,64-66].

图8 液滴撞击液膜主要现象[33]Fig.8 Main phenomena of droplet impacting water film[33]

2.4 液滴撞击移动液膜的现象

受到液膜移动的影响，液滴撞击移动液膜和静止液膜产生的水花形态会有明显的变化，因此水花尺寸通常按照上下游区分.图9 列举了部分研究中的水花形态和划分方法，图中变量名为各文献内部定义，本研究中的变量名以本研究定义为准.

图9 液滴撞击移动液膜水花形态Fig.9 Spray morphology of droplet impact moving liquid film

液滴速度、表面速度之比以及液体性质影响液滴撞击移动液膜的现象[69].相对于撞击静止液膜，液滴撞击移动液膜时初期产生的空腔、冠状飞溅和射流呈不对称状态[34].液滴撞击后形成冠状飞溅和空腔，空腔会随着液膜的流动逐渐趋于对称，空腔缩小消失后产生向下游倾斜的射流，射流的根部会随着液膜流动逐渐靠近尖端，使得射流与液膜表面的角度逐渐向垂直发展[33,70].随着移动液膜流速的增加，液滴反弹的可能性也随之增大[36].当液膜流动速度超过液滴撞击速度的10%后，撞击溅起的液层出现弯曲[64].如果液滴撞击在如图10 所示的3 种不同形态的流动液膜区域[71-73]：在平液膜区域、毛细波区域和波峰区域上则会有不同的现象发生.其中平滑液膜最易发生飞溅，波峰上最难发生飞溅[38].当液滴撞击液膜的上方存在剪切气流时，剪切空气通过液滴变形和限制膜厚，对碰撞前的相互作用过程产生影响[74].

图10 3 种不同形态的流动液膜区域[38]Fig.10 Three different flow liquid film regions[38]

Cheng 等[75-76]分别模拟液滴倾斜撞击静止液膜和液滴垂直撞击移动表面上的液膜，发现倾斜撞击静止液膜和垂直撞击移动表面上的液膜对液滴飞溅造成一定程度上具有相似性的影响，但是两者无法完全等效.飞溅区域气体的运动对飞溅液体尖端的形态产生扰动，使得2 个系统中液滴冠状飞溅尖端的形态具有区别.与2.1 节中的倾斜和移动固体表面对比类似，不论是固体表面还是液膜，倾斜撞击和移动表面撞击之间都存在着一定的关联，但是也有着一定的差异.

3 液滴撞击移动及旋转表面的模型

在液滴撞击固体表面过程的理论分析中，最常使用的手段是能量法.其原理是液滴撞击过程中机械能、表面能、粘性耗散三者之和守恒[77].在静止表面的研究中，研究人员曾利用能量法得到了最大铺展面积等模型[78-81].

3.1 液滴撞击移动固体表面的模型

对液滴撞击移动固体表面的模型研究大体沿着液滴撞击静止固体表面的思路进行，研究主要针对铺展、飞溅、反弹3 个方面.在液滴铺展阶段，最早可以注意到的现象便是液滴铺展的几何不对称性.Chen 等[26]在对去离子水撞击聚四氟乙烯表面的实验中，基于液滴撞击移动表面的几何不对称现象，对实验结果进行拟合，同时指出“部分反弹—沉积”临界态与“沉积—沉积分裂”临界态下的液滴拉伸比例（即b/a）是不随Wes变化的常数.在实验中当该比值到达1.10 左右时，液滴撞击从部分反弹变为铺展；当比值到达1.46 左右时，从铺展变为铺展—破裂现象.为了对比静止表面上液滴的最大铺展面积，定义一个无量纲面积增长的计算式为

式中：XA为矢量纲面积增长，A为固液实际接触面积.

实验中该无量纲量与Wes呈线性关系，经拟合得

为了深入理解液滴在运动表面铺展的机理，Almohammadi 等[23]提出一个理论模型，如图11 所示，其中r(t) 为在同等条件下液滴撞击静止表面的铺展半径[78-86].

图11 液滴在平移固体表面铺展模型[23]Fig.11 Model of droplet spreading on translational solid surface [23]

液滴撞击移动表面的过程可以被分解为液滴由于撞击产生的铺展过程和表面运动的过程，同时提出2 项假设：1)液体薄层铺展关系不受到表面运动的影响；2)液体薄层铺展的中心随着表面的移动而移动.基于以上理解，将运动表面液体薄层铺展分解为每个时刻液滴撞击静止表面的铺展和该时刻铺展中心随表面上的位置移动.沿用静止表面上的圆形铺展模型，可以提出移动表面液滴铺展边缘随时间变化的计算式为

在实际实验中发现该模型与实验结果仍有部分出入，这是由于液滴在撞击过程中黏性力还会导致端点偏移，同时引入端点偏移量：

式中：C为偏移量修正数.修正后的计算式为

式中：Vd为下游的液铺展薄层收缩速度.上述模型公式与实验结果[23]符合良好.

Buksh 等[20]为了使该模型可以覆盖高张力和低张力的液体，提出改进的模型为

式中：涉及到的3 个变量，a(t) 与b(t) 为模型的几何参数，取决于液滴撞击参数和液滴性质，并同样引入液滴端点的偏移量修正C.如图12 所示，模型可以很好地同时描述低表面张力和高表面张力液体在达到最大铺展尺寸前的铺展过程.

图12 椭圆形铺展模型在不同表面运动速度下的表现[20]Fig.12 Effects of elliptical spreading model under different surface velocities [20]

针对液滴的飞溅，Bird 等[27]基于液滴薄层的不稳定性提出飞溅阈值的模型.液滴薄层的动能表达式为

式中：h为液滴铺展薄层的厚度，Vl为液滴铺展薄层的延伸速度，L为液滴薄层的尺寸.由于变形引起的表面能增加可以表达为 σhL，而要引起飞溅，则需要前者远大于后者，即

由此给出了飞溅阈值计算式为

式中：K为模型参数，其具体数值与表面性质等因素有关.模型在K=2.5 与K=5 700 的情况下，预测结果与实验结果重合较好，可以简化为表面速度为0，即液滴撞击静止表面的模式，并与早期实验[47,87]相符.然而该模型有2 个局限性：1)该模型的实验验证仅限于乙醇一种液体，因此无法体现出液体黏度、表面张力等因素对飞溅现象的影响；2)该模型对液滴几何不对称性的描述仅有一个维度，即仅考虑了液滴薄层上游端点和下游端点，而无法描述整个液滴铺展边缘其他位置的飞溅情况.

为了解决上述局限，Almohammadi 等[19]以不同比例的水和甘油的混合物进行实验，在疏水表面液体薄层脱离表面的部分多于亲水表面，且提高液体的黏性会降低飞溅阈值.如果设定一个如图13 所示的位置角 ϕ 描述液滴铺展边缘的位置，则液体薄层边缘从位置角 ϕ=0 （即上游的最远端）到 ϕ=180 （下游的最远端）的飞溅能力大幅递减.描述不同位置角飞溅的模型为

图13 液体薄层边缘位置角 ϕ [19]Fig.13 Position angle of the liquid lammella edge ϕ [19]

式中：K1、K2为模型参数，其具体数值与表面有关.实验中亲水表面的K2= 4.53，疏水表面的K2=6.59.

Xu 等[44]提出液滴的飞溅可以通过改变环境气压而抑制后，研究人员发现环境气体在液滴的飞溅过程中也起到作用.Hao 等[21]实验研究移动表面环境气压对液滴撞击飞溅产生的影响，通过降低气压可以抑制液滴上游的冠状飞溅，在移动表面上飞溅的临界气压小于静止表面.根据单位长度液体薄层上升力与表面张力比值超过某阈值产生飞溅这一原理[88-89]，给出基于升力的液滴撞击移动表面的飞溅阈值模型为

式中：下标ga 为气体相关参数，V1为液滴铺展薄层的速度，Hf为液滴薄层边缘厚度，Kl和Ku为与气体雷诺数、气体自由程等量相关的参数，实验中得到Kβ的平均值为0.137.

针对液滴的反弹，Povarov 等[55]观察到移动表面边界层的气体升力对液滴撞击表面反弹的作用，升力系数表达式为

式中： δ 为边界层厚度.从气体升力方面判断反弹的机制，在升力系数达到一定条件时液滴可能发生反弹.此外在高表面速度时，液滴在接触到固体表面前即受到边界层气流影响发生变形，环境气体在液滴的反弹过程中起到明显影响.

詹海洋[90]提出液滴在撞击超疏水表面反弹的过程中存在滑移，而滑移受到表面剪切力与升力的共同作用，他提出滑移距离d表达式为

式中：Ks和KL分别为剪切力和升力的权重.同时发现移动超疏水表面上液滴的接触时间相比静止表面更短，这一现象也在Zhang 等[24]的研究中被观察到.基于在静止表面的模型[91-92]，Zhang 等[24]提出撞击移动超疏水表面的时间tM与液滴撞击静止表面的接触时间tS之比可以描述为

3.2 液滴撞击旋转固体表面的模型

由于引入旋转带来的惯性力，液滴撞击旋转固体表面的物理过程相比于平移固体表面更为复杂.液滴不对称铺展与惯性力共同作用，产生一些在平移固体表面观察不到的现象，如波的向外推进等.液滴撞击旋转表面可以分为旋转中心撞击和非旋转中心撞击.在液滴撞击旋转固体表面中心时，随着液体薄层的扩散，可以观察到边缘不稳定性以及液指的拉伸[61-62].Sahoo 等[61]基于线性稳定性分析得到液指数预测计算式为

式中： ε 为液体的初始体积，Rc为代表液发生时的临界铺展半径，由实验数据决定.由于式（19）适用于完全润湿液体，因此实验中得到的数据与公式预测值有一定偏差.

当液滴撞击非旋转中心位置时，会发生如波向外侧推进以及不对称的液指拉伸等典型现象.Moghtadernejad 等[32]基于实验对液体径向铺展尺寸 Lw 、二次液滴脱离液体薄层的时间td、液指的数量Nf、液指发生的时间tf进行了拟合，分别得到

式中：round (·) 函数为指取函数内部数值相邻最近的整数.在液滴撞击旋转表面非中心位置的研究中，分析波推进速度等物理现象存在挑战，部分物理过程如图14 所示，其中作用力分析较为复杂，需要借助数值模拟进行辅助分析[32].

图14 波推进过程示意图[32]Fig.14 Schematic diagram of liquid wave propulsion process[32]

3.3 液滴撞击移动液膜的模型

液滴撞击移动的液膜同样会产生与撞击静止液膜不同的现象.当前的研究主要基于液滴撞击静止液膜的成果，结合实验提出液滴撞击移动液膜的模型.部分模型可以简化到液滴撞击静止液膜或固体表面，这些模型在静止与移动表面上均具有适用性.

关于液滴反弹的条件如图15 所示.由于气层和液膜的厚度相对于切向长度来说很小，可以使用润滑理论（lubrication theory）近似气层和液膜中的流动[36].推导出液滴撞击移动液膜过程中润滑力[36]为

图15 液滴下方气流和液膜流动[36]Fig.15 Air flow and water film flow under droplets[36]

式中：下标 a 为环境气体，Aga为边界条件决定的参量.Che 等[36]提出润滑力大于液滴重力在垂直于液膜运动方向的分量是液滴发生反弹的最小条件.

关于液滴的冠状飞溅，在Roisman 等[93]的理论中，如果撞击流动液膜的液滴在变形阶段仍保持圆形，则在扩展阶段冠状的底部可以近似为一个生长的圆，随着液膜流向下游移动.Gao 等[35]发现上述理论在实验中有所偏差，提出当H×U≪1时，才可以认为水膜的流动对液滴的铺展过程影响很小，此时液滴在扩展过程中可以保持圆形，液滴撞击移动液膜飞溅阈值计算式为

当液膜厚度变为0 时，公式简化为K=WeRe1/2，即液滴撞击固体表面飞溅阈值公式[47].

冠状飞溅的过程与液滴的速度、尺寸以及液膜流速有关[38].Yarin 等[94]通过拟合实验数据得到了一个冠状水花发展的经验计算式：

式中：dc为冠状水花尺寸.Adebayo 等[38]则在此基础上，基于努塞尔特厚度：

式中：g为重力加速度.得到了冠状水花发展计算式为

式中：α 为渠道倾斜角度，Kθ为参数，在实验中得到的数值为1.23[38].

4 液滴撞击移动及旋转表面的数值模拟

液滴撞击移动及旋转表面的数值模拟计算按模拟尺度可以分为微观尺度模拟、介观尺度模拟和宏观尺度模拟.微观尺度模拟通常使用分子动力学模拟（molecule dynamics, MD）.MD 模拟结果准确与否的关键在于对系统内的原子之间相互作用势函数的选取[95]，主要适用于纳米级别微小液滴的场景，若计算场景内分子数量过大，则会严重影响计算效率.介观尺度模拟多使用格子玻尔兹曼方法（lattice Boltzmann method, LBM）[67]，其模拟粒子的尺度比分子尺度大的多[96]，可以模拟更大尺度的场景仍具有不俗的计算效率.当前的LBM 方法在高雷诺数的多相流模拟和高液气密度比的模拟中的数值稳定性存在挑战，且该方法不适合稳态计算[67].宏观尺度模拟多适用界面追踪法包括流体体积法（volume of fluid, VOF）和Level-Set 方法，可以模拟宏观尺度下的液滴撞击场景.以上两者都是流体界面的追踪方法相对容易实施，但是准确性受到对流方程解的数值耗散的限制[96].由于VOF 方法和Level-Set 方法各有优缺点，耦合2 种方法的模拟方法也开始出现.针对液滴撞击液膜的数值模拟中常用的耦合方法为耦合水平集流体体积法 (coupled level set and volume of fluid, CLSVOF)方法，该方法可以跟踪不可压缩两相流的相界面，有效地解决了VOF 的计算收敛性、稳定性和准确性问题[97-98].

4.1 液滴撞击水平移动固体表面的数值模拟

在微观尺度模拟中，Fang 等[99]在MD 模拟中使用LJ 势（Lennard–Jones potential）讨论了不同的温度、平面运动速度和射流角度下纳米液滴对移动表面的撞击.LJ 势是经典的连续对势,认为原子之间的相互作用是两两之间的作用[95].当温度上升时，液体的铺展宽度会变大，液体的平均能量上升且能量波现象出现，平板上液体原子的接触角减小；随着平板速度的上升，表面液膜的厚度下降，平板运动方向前部的接触角更大.

2005 年Abascal 等[100]提出一种潜在的水凝聚相通用模型即TIP4P/2005 模型，该模型可以更针对性地描述水分子，并可以表现冰的微观组成.Ritos 等[101-102]应用TIP4P/2005 模型，设定硅、石墨和一种假想的超疏水材料进行液滴撞击的MD 模拟.硅表面上的模拟结果表明，接触线上的分子位移受固体表面相互作用的影响很大，部分受表面运动引起的黏性耗散效应的影响；对于石墨表面，前进角和后退角与静止接触角接近，黏性耗散效应可以忽略不计.与宏观水滴润湿动力学相反，纳米尺度水滴撞击过程中具有较大影响的是固液间作用，而黏性作用反而只起到次要影响，接触角几乎不受毛细数影响.

Heinz 等[103]表明与嵌入原子模型（embedded atom model, EAM）和密度泛函方法相比，12-6 LJ势更加适用于大型模拟系统（106个原子）, 并证明了此势在铜上的可靠性.图16 为Zhang 等[104]应用12-6LJ 势模拟纳米液滴撞击平移铜表面.

图16 分子动力学模拟液滴撞击移动固体表面[104]Fig.16 Molecular dynamics simulation of droplet impact on moving solid surface [104]

在相对滑动阶段，水分子不仅沿平移表面移动，而且围绕纳米液滴的质心旋转.在较高的表面平移速度下，纳米液滴沿垂直于相对滑动方向扩散2 次.纳米液滴在表面运动方向的速度变化方程为

式中：Vx为液滴沿表面方向的运动速度.Wen的范围为 7.41 ～6 6.67.

在宏观尺度模拟中，Hou 等[105]通过VOF 方法获得气液界面，并利用ANSYS 框架下的凝固/融化算法对过冷液滴撞击冷表面的凝固过程进行模拟.该方法设定为过冷液滴接触冷表面的瞬间转化固液混合物，过冷度由调节混合物的参数表达[106-107].对横向移动表面上液滴的形态演变进行模拟，在与Zhang 等[24]实验相似的条件下，得到了相似的结果.图17 为对液滴撞击移动冷表面的碰撞—结冰过程进行的三维数值模拟，结果表明：液滴的初始冻结位置优先出现在液滴的上游侧，液滴下游一侧的冻结滞后于上游一侧，且滞后效应受到冷表面温度的强烈影响，同样的冻结滞后现象也在孙志成[57]液滴撞击移动冷表面的实验中出现.

图17 VOF 方法模拟液滴撞击移动固体表面的模型和初始条件[105]Fig.17 Model and initial conditions for simulating droplet impact on moving solid surface by VOF method[105]

Raman 等[108]则基于相位场不可压缩格子玻尔兹曼方法进行模拟，该模型使用2 个粒子分布函数来表达不可压缩Navier-Stokes 方程和宏观界面捕获相场方程，该模型分别包含应力和势形式的动量方程分子间作用力项以及序参量的相场模型[108].模拟发现液滴在回缩状态尾端会出现尾状结构，该特点在Zhan 等[109]的液滴撞击移动超疏水表面实验中也可以被观察到.Raman 的数值模拟进一步揭示移动超疏水壁传递的动量会导致气流从中心区域转向下游方向，从而在液滴撞击后的扩散和收缩阶段导致对称性破坏的规律.

4.2 液滴撞击移动液膜的数值模拟

Liang 等[110-111]基于CLSVOF 方法建立液滴撞击移动液膜的三维模型，并对单液滴、双液滴先后和同时撞击等情况进行数值模拟.流动液膜带来的剪切力使界面和热传导的对称性被打破，下游的飞溅被抑制，上游的飞溅被促进.Zhao 等[68]则发现液膜厚度的增加导致流入冠壁的液体量以及冠壁与液膜之间的角度增加，此外，非对称冠的迁移距离随着液膜的流动而增大.液滴在动态液膜上的扩散速度等于上下游扩散速度的平均值，其直径与时间的1/2 次成正比.将实验结果[35,112]与模拟结果相对照，如图18 所示，证实模拟的准确性，其中K值使用Gao 等[35]的计算方法.Wang等[113]学者则使用了二维模型以提升CLSVOF 方法的计算效率，同时模拟了双液滴撞击移动液膜的热传导过程，并发现非对称分布特性导致壁面热流不均匀.

图18 液滴撞击流动液膜的三维数值模拟与实验对比[68]Fig.18 Comparison between three-dimensional numerical simulationand experimental of droplet impingement on flowing liquid film[68]

Xie 等[114]采用自适应非结构网格的控制体积有限元方法（novel control volume finite element method）研究环形两相流中的三维液滴沉积过程.该数值框架包括用于界面捕捉的VOF 方法和用于自适应非结构网格上表面张力的力平衡连续介质表面力模型.

在介观模拟方法中，He 等[115]于1999 年改进LBM 的相场模型.随后Lee 等[116]于2005 年提出模拟高密度比不可压缩两相流的格子玻尔兹曼方程的稳定离散化方法，以解决非理想气体格子玻尔兹曼方程引发的数值不稳定性.Raman 等[117]应用该方法研究带有液膜的移动壁对双液滴撞击行为的影响.在较大的液滴间距下，中心射流的形成会延迟；射流高度随着液膜厚度的增加而先增加后减小；壁面运动速度增强上游射流，而抑制了中心射流和下游射流.Liu 等[118]基于LBM 方法并使用Cahn-Hilliard 式[119]捕捉液滴、液膜表面及周围液体，发现控制液膜的厚度可以将液滴撞击飞溅射流的高度控制在一个范围内.He 等[67]采用具有可调表面张力项的格子玻尔兹曼方法（pseudopotential lattice Boltzmann method）研究液滴对运动液膜的冲击，发现液膜的运动导致上下游冠的不对称发展，上游和下游冠的不稳定性随着Ren和Wen的增加而增加.

5 结论与展望

液滴撞击移动及旋转表面（包括移动液膜）主要的特点是不对称性.与撞击静止表面相比，液滴撞击移动及旋转表面的铺展、飞溅、反弹等行为均具有几何不对称性.撞击过程中的形态与表面的移动形式和速度相关，反弹、飞溅等撞击现象发生的阈值也受到表面移动形式及速度的影响.

在当前的研究中，部分参数如撞击参数、无量纲液膜厚度等的覆盖范围相对有限，同时旋转表面等复杂情况缺乏数值模拟的辅助分析和更详尽的实验.这些问题值得相关学者进一步关注和讨论，同时也是液滴撞击移动表面相关研究的重要发展方向之一.

当前研究人员对于液滴撞击移动及旋转表面过程已经开展了广泛的研究，但是仍然存在一些可以进一步探索的问题.

1）使用旋转固体平面的研究已有许多，但是对于旋转平面和平移平面间的区分仍然较少，旋转带来的离心力对液滴撞击铺展、飞溅等过程的影响机理尚不清晰.针对液滴撞击旋转固体表面开展更多研究，包括更大的撞击速度范围和表面旋转速度范围、不同的撞击角度、不同液体和表面属性等，为了建立更精确的铺展及飞溅模型奠定基础.

2）研究液滴撞击移动固体表面的模型大多从液滴撞击静止表面的研究基础开始，而旋转表面的部分特殊现象如波的推进在静止表面并无类似现象和模型可供参考，因此对液滴撞击旋转表面物理过程的研究需要更多理论和数值模拟数据支持.

3）针对液滴撞击移动液膜的研究中，大部分研究设置的液滴和液膜所用的液体均为相同液体.液滴撞击与自身不同液体组成的移动液膜过程可以作为进一步研究的方向，液膜物性特征在撞击中的影响.

4）当前研究的液滴撞击速度和液滴尺寸范围仍较为局限，较高的撞击韦伯数和较小尺寸液滴的相关研究仍较少.在很多撞击移动表面和液膜的工程问题中，实际均涉及到微小液滴和高速液滴撞击等问题.之后可以进一步开展相关研究，完善对应领域的理论体系.

5）遵循表面运动形式逐渐复杂这一推进方向，在液滴撞击固体表面和液膜表面2 个研究方向中，均可以进一步探索复杂的表面运动形式带给液滴撞击现象的变化.学者们可以进一步讨论表面运动形式对液滴撞击的影响，为了液滴撞击移动表面理论体系提供支持，同时研究运动的表面对调控液滴撞击后行为的可能性，例如设计表面的运动特性以减少或控制固液接触时间、利用反弹和飞溅的不对称性控制液滴撞击后液体的运动方向、利用表面的运动特性调节液滴的飞溅阈值等，为后续工程应用提供基础.