聚焦平面向量中的最值与取值范围问题

蔡杰芳

(云南省昆明市石林彝族自治县第一中学)

最值与范围问题是高考数学考试命题的热点,它们的“身影”在数学题中随处可见,在平面向量问题中也时常出现.虽然说这类问题有点难,但还是有法可循的,那么如何破解平面向量中的最值与取值范围问题呢? 下文举例说明.

1 定义法让最值问题“不攻自破”

解题关键是能根据向量夹角的计算公式将向量夹角的余弦值表示成关于的函数形式,进而可利用基本不等式求解函数的最小值,从而得到夹角的最大值.

2 坐标法让最值问题“自然生成”

例2 已知正六边形ABCDEF的边长为2,P是正六边形ABCDEF边上任意一点,则的最大值为( ).

A.13 B.12 C.8 D.2 3

图1

本题的几何图形具有对称性,便于建立平面直角坐标系求解,于是利用向量的坐标运算将数量积的最值问题转化为二次函数的最值问题.

3 基底法让最值问题“无处遁行”

4 几何意义法让取值范围问题“浮出水面”

例4 已知平面向量a,b,e,其中e为单位向量,若,则|a－b|的取值范围是______.

图2

求解本题的关键是建立平面直角坐标系,利用坐标法求出动点的轨迹,再结合解析几何的知识求出向量模的取值范围.

本文对平面向量中最值与取值范围问题的求解方法进行了总结,但遇到具体问题时不可简单地“对号入座”,有些问题的解决可能涉及多种方法,比如例4也用到了坐标法.

(完)