坡代数的I-V犹豫模糊子坡代数

姜 曼

(西安交通工程学院 公共课部,陕西 西安 710300)

继Zadeh[1]提出模糊集概念后,近年来,模糊集及其扩展为处理不同问题的不确定性提供了思路与方法,人们对模糊集的研究热情迅速增长,直觉模糊集于1983年由Atanassov[2]提出,区间值模糊集是由Sambuc[3]首先研究的,他将其称为φ-flou函数,用于捕捉不确定性的特征.Torra[4]提出了犹豫模糊集并且证明了犹豫模糊集的包络是直觉模糊集,此外在应用于犹豫模糊集的包络时,他们提出的关于犹豫模糊集的操作与初始模糊集的操作是一致的.

古典逻辑是绝对性和相对性的统一,是一切知识的基础,是人类全面认识的基本部分.演绎逻辑推理是二元逻辑,这意味着只有两种选择:真或假;另一方面,不确定性不仅仅是真是假,它也可能有多种结果.不确定性推理是人工智能研究的一个重要方面,在逻辑背景下对其进行检验是一种科学研究方法.Cao等[5]在他们的书中介绍了坡代数的概念,Kim和Roush[6]研究了坡代数的结构,Murali[7]讨论了模糊等价关系,Ahn[8]研究了坡代数的永久性,Ahn和Kim[9]引入了坡代数中的R映射及L映射,研究它们之间的关系.近年来,Kim[10]研究了f-坡代数的广义右f-导子,Alshehri等[11-12]分别研究了坡代数的导子与广义导子,王丰效[13-14]研究了反模糊子坡代数以及区间值模糊子坡代数,这些研究对认识坡代数有很强的理论意义.坡代数是逻辑代数的一个典型代表,它上面的准则,比如滤子,子代数,理想等都有很强的研究意义.因此,本文主要研究坡代数中的I-V犹豫模糊子坡代数,得到了一些有意义的结果.

1 预备知识

定义1[4]设X非空,X上的犹豫模糊集F有如下定义:

F={:hF(x)∈ρ([0,1]),x∈X},

其中ρ([0,1])是[0,1]上的幂集. 记为F∈HF(X).

称集合X(F,γ):={x∈X|γ⊆hF(x)}为F的犹豫水平集,其中γ⊆P([0,1]).

定义2[4]对于F∈HF(X),犹豫模糊元hF(x)的下界和上界分别定义如下:

下界:hF-(x)=minhF(x); 上界:hF+(x)=maxhF(x).

设F,G∈HF(X),记F∩G为F和G的交集,且有如下定义:对∀x∈X,

hF∩G(x)=hF(x)∩hG(x)={h∈hF(x)∩hG(x)|h≤min(hF+(x),hG+(x))}.

定义3[15]设X非空,对∀x,y,z∈X,如果有

(1)x+y=y+x;

(2)(x+y)+z=x+(y+z);

(3)(x*y)*z=x*(y*z);

(4)(x*(y+z)=x*y+x*z;

(5)(y+z)*x=y*x+z*x;

(6)x+x=x;

(7)x+x*y=x;

(8)y+x*y=y.

则称(X,+,*)为坡代数.以下均用X表示坡代数.

引理1[15]设(X,+,*)和(Y,+,*)是两个坡代数. 在X×Y定义如下运算:对∀(x1,y1),(x2,y2)∈X×Y,规定(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2),(x1,y1)*(x2,y2)=(x1*x2,y1*y2). 则X×Y关于上述运算构成一个坡代数.

定义4[15]设(X,+,*)和(Y,+,*)是坡代数,令f:X→Y,若对∀x1,x2∈X,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2);f(x1*x2)=f(x1)*f(x2)成立,则称f:X→Y为从X到Y的同态.

D1≥D2⟺a1≥b1,a2≥b2;D1=D2⟺a1=b1,a2=b2

γmin(D1,D2)=[min{a1,a2},min{b1,b2}]=[a1∧a2,b1∧b2]

γmax(D1,D2)=[max{a1,a2},max{b1,b2}]=[a1∨a2,b1∨b2]

定义6[17]非空集合X上的一个I-V模糊集定义为A={x,[μA-,μA+]|x∈X},其中μA-,μA+是两个模糊集,且有μA-≤μA+,∀x∈X,记A(x)=[μA-(x),μA+(x)],对∀x∈X,A(x)∈D[0,1]表示X上的I-V模糊集.

2 坡代数的I-V犹豫模糊子坡代数

定义8 设集合hA(x)={(x,[hμA-(x)hμA+(x)])|x∈X},其中hμA-(x)∈HF(X),hμA+(x)∈HF(X),且有hμA-(x)⊆hμA+(x),∀x∈X.则称A是X上的一个I-V犹豫模糊集.记为A∈HFI(X).

定义9 设A∈HF(X),若对∀x,y∈X,都有hA(x+y)∩hA(x*y)⊇hA(x)∩hA(y),则称A是X的犹豫模糊子坡代数. 记为A∈HFS(X).

定义10 设A∈HFI(X),若对∀x,y∈X,如果A满足条件:

γmin(hA(x+y),hA(x*y))⊇γmin(hA(x),hA(y)),

则称A是X的I-V犹豫模糊子坡代数. 记为A∈HFIS(X).

定理1A={(x,[hμA-(x),hμA+(x)])|x∈X}∈HFIS(X)当且仅当hμA-(x)∈HFS(X)且hμA+(x)∈HFS(X)成立.

证明必要性 若A∈HFIS(X),则对∀x,y∈X,有:

γmin(hA(x+y),hA(x*y))⊇γmin(hA(x),hA(y)).所以有

γmin(hA(x+y),hA(x*y))=γmin([hμA-(x+y),hμA+(x+y)],[hμA-(x*y),hμA+(x*y)])

⊇γmin(hA(x),hA(y))

=γmin([hμA-(x),hμA+(x)],[hμA-(y),hμA+(y)])

=[hμA-(x)∩hμA-(y),hμA+(x)∩hμA+(y)],

由于γmin([hμA-(x+y),

hμA+(x+y)],[hμA-(x*y),hμA+(x*y)])

=[hμA-(x+y)∩hμA-(x*y),hμA+(x+y)∩hμA+(x*y)],

因此[hμA-(x+y)∩hμA-(x*y),hμA+(x+y)∩hμA+(x*y)]⊇[hμA-(x)∩hμA-(y),hμA+(x)∩hμA+(y)].

于是可得

hμA-(x+y)∩hμA-(x*y)⊇hμA-(x)∩hμA-(y),hμA+(x+y)∩hμA+(x*y)⊇hμA+(x)∩hμA+(y).

即hμA-(x)∈HFS(X)且hμA+(x)∈HFS(X).

充分性 已知hμA-(x)∈HFS(X)且hμA+(x)∈HFS(X).则对∀x,y∈X,有

hμA-(x+y)∩hμA-(x*y)⊇hμA-(x)∩hμA-(y),hμA+(x+y)∩hμA+(x*y)⊇hμA+(x)∩hμA+(y).

因此有

[hμA-(x+y)∩hμA-(x*y),hμA+(x+y)∩hμA+(x*y)]⊇[hμA-(x)∩hμA-(y),hμA+(x)∩hμA+(y)],

γmin(hA(x),hA(y))=γmin([hμA-(x),hμA+(x)],

[hμA-(y),hμA+(y)])=[hμA-(x)∩hμA-(y),hμA+(x)∩hμA+(y)],

γmin(hA(x+y),hA(x*y))=γmin([hμA-(x+y),hμA+(x+y)],[hμA-(x*y),hμA+(x*y)])

=[hμA-(x+y)∩hμA-(x*y),hμA+(x+y)∩hμA+(x*y)]

所以,对∀x,y∈X,有γmin(hA(x+y),hA(x*y))⊇γmin(hA(x),hA(y)). 即A∈HFIS(X).

定义11 设A∈HFI(X)和B∈HFI(X),定义I-V犹豫模糊集A∩B为:

(A∩B)(x)=γmin(A(x),B(x)),∀x∈X

其中,hA∩B(x)=γmin(hA(x),hB(x)).

定理2 设A∈HFIS(X)和B∈HFIS(X),则A∩B∈HFIS(X).

证明设A∈HFIS(X)和B∈HFIS(X),则对∀x,y∈X,有

γmin(hA(x+y),hA(x*y))⊇γmin(hA(x),hA(y)),

γmin(hB(x+y),hB(x*y))⊇γmin(hB(x),hB(y)),

于是

γmin(hA∩B(x+y),hA∩B(x*y))

=γmin(γmin(hA(x+y),hB(x+y)),γmin(hA(x*y),hB(x*y)))

=γmin(γmin(hA(x+y),hA(x*y)),γmin(hB(x+y),hB(x*y)))

⊇γmin(γmin(hA(x),hA(y)),γmin(hB(x),hB(y)))

=γmin(γmin(hA(x),hB(x)),γmin(hA(y),hB(y)))

=γmin(hA∩B(x),hA∩B(y)),

因此,A∩B∈HFIS(X).

3 坡代数的I-V犹豫模糊子坡代数的直积与同态像

证明如果有A∈HFIS(X)和B∈HFIS(X),则对∀(x1,y1),(x2,y2)∈X×Y,可得

γmin(hA(x1+x2),hA(x1*x2))⊇γmin(hA(x1),hA(x2)),

γmin(hB(y1+y2),hB(y1*y2))⊇γmin(hB(y1),hB(y2)),

因此有:

=γmin(γmin(hA(x1+x2),hB(y1+y2)),γmin(hA(x1*x2),hB(y1*y2))

⊇γmin(γmin(hA(x1),hA(x2)),γmin(hB(y1),hB(y2)))

=γmin(γmin(hA(x1),hB(y1)),γmin(hA(x2),hB(y2)))

定理4 设f:X→Y为同态满射,若A∈HFIS(X),则f(A)∈HFIS(Y). 且有hf(A)(y)=γmin(hA(x)|f(x)=y).

证明因为f:X→Y为同态满射,则对∀y1,y2∈Y,∃x1,x2∈X,我们有f(x1)=y1,f(x2)=y2. 因此

hf(A)(y1+y2)=γmin{hA(x)|f(x)=y1+y2}

=γmin{hA(x1+x2)|f(x1+x2)=y1+y2}

=γmin{(hA(x1+x2)|f(x1)+f(x2)=y1+y2)},

hf(A)(y1*y2)=γmin{hA(x)|f(x)=y1*y2}

=γmin{hA(x1*x2)|f(x1*x2)=y1*y2}

=γmin{(hA(x1*x2)|f(x1)*f(x2)=y1*y2)},

由于A∈HFIS(X),即对x1,x2∈X,有

γmin(hA(x1+x2),hA(x1*x2))⊇γmin(hA(x1),hA(x2)),

γmin(hf(A)(y1+y2),hf(A)(y1*y2))

=γmin(γmin{hA(x1+x2)|f(x1)+f(x2)=y1+y2},γmin{hA(x1*x2)|f(x1)*f(x2)=y1*y2})

=γmin(γmin(hA(x1+x2),hA(x1*x2))|f(x1)+f(x2)=y1+y2,f(x1)*f(x2)=y1*y2)

⊇γmin(γmin(hA(x1),hA(x2))|f(x1)+f(x2)=y1+y2,f(x1)*f(x2)=y1*y2)

=γmin(γmin(hA(x1),hA(x2))|f(x1)=y1,f(x2)=y2)

=γmin(γmin{hA(x1)|f(x1)=y1},γmin{hA(x2)|f(x2)=y2})

=γmin(hf(A)(y1),hf(A)(y2)),

所以,f(A)∈HFIS(Y).

4 结论

对于坡代数的研究,滤子和理想是一个重要的研究内容,本文在坡代数中研究了I-V犹豫模糊子坡代数,丰富了坡代数和犹豫模糊集的理论研究,类似的研究思路与方法,也可用于研究BE-代数,BL-代数和MV-代数等.