基于二次函数发展代数推理的教学实践与思考①

丁银杰

(江苏省苏州市草桥中学校 215031)

1 推理与代数推理

1.1 推理

推理是由一个或几个已知的判断(前提)推出新判断(结论)的过程．《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《课标(2022年版)》)坚持核心素养导向，其中推理能力是初中阶段应着力发展的核心素养之一．推理能力主要是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力[1]．推理一般包括合情推理(或归纳推理)与演绎推理.

1.2 代数推理

《课标(2022年版)》在第四学段新增了“了解代数推理”的内容要求，并通过实例(例66、78)说明在数与代数领域也有推理或证明，阐释了代数问题与几何问题论证路径的一致性．代数推理是推理的重要组成部分，既包含通过计算、类比、归纳等发现和提出猜想的归纳推理，又包含通过建模、计算、判断等证实和证伪结论的演绎推理.

关于代数推理，《课标(2022年版)》没有给出明确定义，一般理解为指向“数与代数”领域的推理．钱德春教授认为“代数推理是从条件出发，由代数定义、代数公式、运算法则和运算律得到结论(特定的目标结构或关系)的一种变形与转化”[2]．从这一认识出发，代数推理的主要形式是代数运算和代数结构或关系的变形与转化，其中代数运算侧重于寓理于算，代数结构或关系的变形与转化主要是函数、方程、不等式等代数模型的等价转化，显性或隐性构造新的代数模型或用图形、图象表征代数对象等.

2 基于二次函数的代数推理教学实践

函数是中学阶段代数领域核心知识，对方程、不等式等起着统领作用，同时也是沟通代数与几何等其他领域的桥梁．函数是代数推理的重要载体，函数图象为代数推理提供了直观形象，函数思想提升了代数推理思维品质.

基于二次函数开展代数推理教学研究，通常聚焦二次函数图象与性质的再认识或二次函数的综合应用．本文以某次公开教学研讨课为契机，论述聚焦二次函数在数学内部综合运用的创新教学实践，旨在通过代数模型相互转化、数形结合表征对象、函数思想迁移应用，发展学生的代数推理能力与创新意识．主要教学实践环节如下.

2.1 代数模型相互转化

在教学的第一个环节设计了如下情境与问题：

激活写出二次函数y=x2-4x+m(m为常数)的3条性质.

问题1(1)若二次函数y=x2-4x+m(m为常数)的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围；

(2)若二次函数y=x2-4x+m(m为常数)的图象与一次函数y=2x-1的图象有两个公共点，求m的取值范围.

本节课是在学生完成初中阶段所有课程内容之后的一节专题研究课，所以创设了指向后续问题探究的数学情境“激活”，旨在通过开放问题帮助学生回顾二次函数有关知识、技能，初步感知二次函数y=x2-4x+m的图象与性质随参数m的变化情况.

问题1(1)较为基础，聚焦抛物线与x轴交点问题，引导学生回顾二次函数与一元二次方程之间的关系．通过令y=0(即x轴方程)，将二次函数y=x2-4x+m转化为一元二次方程x2-4x+m=0，从而将抛物线y=x2-4x+m与x轴交点问题转化为一元二次方程x2-4x+m=0根的问题，进而利用根的判别式构造不等式求解.

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本环节主要聚焦通过代数模型相互转化发展代数推理能力．教学实践中，学生以问题为引导，任务为驱动，自觉调用认知与活动经验，经历“函数(抛物线与直线的交点个数)——方程(一元二次方程或二元一次方程组的解的个数)——不等式(一元一次不等式的解集)”的完整分析和解决问题过程，感悟不同代数模型内在的统一性.

代数模型的相互转化是代数推理的基本形式，不仅需要学生熟练掌握代数运算的法则、算理与技能，而且要求学生能根据当前条件和任务需要，灵活地、有意识地通过代数结构或关系的变形与转化实施问题解决.

2.2 数形结合表征对象

在教学的第二个环节设计了如下探究性问题：

问题2若二次函数y=x2-4x+m的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x-1的图象有两个公共点，求m的取值范围.

追问(1)若二次函数y=x2-4x+m的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x-1的图象有且只有一个公共点，则m的取值范围是.

(2)若二次函数y=x2-4x+m的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x-1的图象没有公共点，则m的取值范围为.

问题2是问题1(2)变式，问题探究从整体走向局部．由于要求抛物线y=x2-4x+m与直线y=2x-1在x≤4范围内有两个公共点，只利用根的判别式并不能把问题解决，这就需要借助直观的函数图象，运用数形结合的方法解决问题.

图1

思路2：由图象可知直线x=4与抛物线y=x2-4x+m交于点(4，m)，与直线y=2x-1交于点(4，7)．由题意，得点(4，m)不在点(4，7)下方，从而m≥7．所以7≤m<8.

思路3：如图2，由x2-4x+m=2x-1，分离参数m，得m=-x2+6x-1．构造新函数y=-x2+6x-1(x≤4)，y=m，则原问题等价转换为直线y=m与抛物线y=-x2+6x-1(x≤4)有两个公共点．因为抛物线y=-x2+6x-1(x≤4)的顶点为(3，8)，且过(4，7)，所以7≤m<8.

图2

思路3再次说明了函数、方程模型内在的统一性，根据需要可相互转化．由于对参数m实施了分离，变化的抛物线y=x2-4x+m转化成了确定的抛物线y=-x2+6x-1，倾斜的直线y=2x-1转化成了水平的直线y=m．在思路3的启发下，两个追问便水到渠成.

本环节主要聚焦通过数形结合表征对象发展代数推理能力．正是解决问题过程中“数”的不便产生了对“形”的需求，由“数”到“形”、以“形”助“数”是思维的自然流露．由于有了函数图象的直观支撑，问题2解决变得“可视化”，函数、方程内蕴的数量关系成了点、线外显的位置关系.

数形结合表征对象丰富了代数推理的表现形式，建立了代数与几何的联系，诠释了代数推理、几何推理的一致性．代数结构、关系的优化与重构直接影响图形、图象的直观呈现，反映数形结合表征对象的代数推理能力水平.

2.3 函数思想迁移应用

在教学的第三个环节设计了如下拓展性问题：

问题3若二次函数y=(x-x1)(x-x2)的图象经过(0，m)和(2，n)两点(m，n是实数)，且0

变式设实数x，y，z满足x+y+z=1，求M=xy+2yz+3zx的最大值.

对于问题3，根据条件y=(x-x1)(x-x2)经过(0，m)和(2，n)两点，可得m=x1x2，n=(2-x1)(2-x2)，从而mn=x1x2(2-x1)(2-x2)，学生大抵只能分析至此，再往下便束手无策了．究其原因，学生无法从函数的视角看待这一等式(等式的左、右两边分别含有两个变量，超出了当前认知范围).

于是教师“施以援手”，启发学生采用分组策略，将x1，x2分组，从而将表达式重组为mn=[x1(2-x1)][x2(2-x2)]．学生顿时打开了思路，在前面构造新函数经验基础上，自觉将函数思想迁移应用到此情境中，用函数观念审视表达式mn=[x1(2-x1)][x2(2-x2)]，将x1(2-x1)视为y1，x2(2-x2)视为y2，mn视为y，于是y=y1y2，即将mn看作两个相同函数的积.

至此，基于二次函数的性质，运用配方可得mn=[-(x1-1)2+1][-(x2-1)2+1]．再由条件0

本环节主要聚焦通过函数思想迁移应用发展代数推理能力．当学生面对问题3及其变式的“全新”情境时，多数学生会在知识检索、方法比对后遭遇“碰壁”，这就要求学生在教师的启发下对复杂的代数关系(多元等式)进行变形与转化(分组或分配)，将陌生的代数结构转化为熟悉的代数结构组(积或和)，从而运用二次函数有关性质分析、解决问题.

函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．不同于问题2的思路3显性构造新函数，问题3是将函数思想迁移应用到新的情境，隐性构造函数，问题3与变式互相印证了函数思想在问题解决中的价值.

3 关于代数推理的几点思考

3.1 代数推理教学要做好初高学段衔接

代数推理作为推理的重要形式，其能力水平具有阶段性、发展性与一致性．教学实践中，教师需要遵循学生的认知和心理发展规律，依据各阶段数学课程内容、学业质量要求与素养发展目标，做好学段衔接，整体预设，分层实施．小学阶段强调寓理于算，渗透代数推理意识，初中阶段侧重基于运算、代数模型性质与代数模型转化进行推理，发展代数推理能力，为高中阶段建立代数模型进行问题解决做好必要的铺垫.

教材编写非常重视代数推理的学段衔接．以函数为例，人民教育出版社A版《普通高中教科书·数学(必修第一册)》在展开具体的高中阶段课程前，设计了“第二章一元二次函数、方程与不等式”预备知识．类比初中阶段的等式与不等式的性质，研究了基本不等式；类比初中阶段用一次函数的观念研究一元一次方程、一元一次不等式，得到了以二次函数为纽带，把一元二次方程、一元二次不等式联系起来的思想方法.

3.2 代数推理教学要促进数学思维培育

数学是思维的体操，数学课程重在培养学生的数学思维，提升学生用数学的观点去思考问题和解决问题的能力．在义务教育阶段，数学思维主要表现为：运算能力、推理意识或推理能力，代数推理教学是培育数学思维的基本路径.

在代数推理教学中，教师要引导学生经历观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等数学思维过程，理解数学基本概念和法则的发生与发展；运用归纳、演绎和类比进行推理，理解数学基本概念之间、数学与现实世界之间的联系，学会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；经历数学“再发现”过程，学会运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，初步养成讲道理、有条理的思维品质，逐步形成理性精神.

3.3 代数推理教学要关注创新意识发展

义务教育阶段，数学创新意识主要是指主动尝试从日常生活、自然现象或科学情境中发现和提出有意义的数学问题．创新意识包涵创新品质(愿望、信心、兴趣等)、创新思维(独立思考、自主探究、质疑问难等)与创新结果(发现、构造、“再创造”等)．创新意识有助于形成独立思考、敢于质疑的科学态度与理性精神.

代数推理教学要关注创新意识发展，帮助学生初步学会通过具体的实例，运用归纳和类比发现代数结构、关系与规律，提出命题并加以验证；引导学生探索一些开放性的、非常规的与代数相关的数学与实际问题，经历数学的“再创造”.

代数推理能力是义务教育阶段应着力发展的一项关键能力，对学生后续数学学习有着奠基作用．教师要基于对数学、学生和教材的理解，加强代数推理教学研究，促进学生代数推理能力发展.