关于对数平均的一个不等式的推广

李鸿昌 徐章韬

(1.北京师范大学贵阳附属中学 550081；2. 华中师范大学数学与统计学学院 430079)

1 引言

定义两个正数a和b的广义对数平均(Stolarsky平均)[1]为：

1975年，Stolarsky.K.B[2]证明了：当a≠b时，Lr(a，b)是r的严格递增函数.

经过计算，可得：

由Lr(a，b)的单调性和性质1，得到：

性质2当b>a>0时，Lr(a，b)有不等式链

L-∞(a，b)<…

即

则上式即

G

(1)

1972年，B.C.Carlson[4]对G，L，A的关系进行了探究，得到

(2)

2001年，J.Sandor[5]对G，I，A的关系进行研究，得到

(3)

受(3)式的启示，姜卫东[6]研究了G，L，A之间的类似关系，得到

(4)

文[6]将(4)式进行推广，得到如下的一般结论.

L2<λG2+(1-λ)A2.

L2>λG2+(1-λ)A2.

笔者在研读文[6]时，发现定理1中λ的范围还可以修订，而定理2是错误的，应改为：

定理2′设λ≥1，则L2>λG2+(1-λ)A2.

笔者继续探索G，L，A之间的关系，然后将(2)、(4)式进行推广，且得到了更一般的结论.

2 一个引理

证明由(1)式知

(5)

即

引理得证.

3 主要结果及证明

经过探索，笔者将(2)、(4)式进行推广，得到：

定理3设n>1，n∈N*，则

受到定理2′的启示，笔者继续探索，发现定理3中的指数n只要是大于0的实数都成立，于是将定理3推广得到：

Ls<λGs+(1-λ)As.

(2)设λ≥1，s>0，则Ls>λGs+(1-λ)As.

证明不妨设b>a，令t=lnb-lna，

Ls-λGs-(1-λ)As

s(λ-1)(chx)s-1·shx

s(λ-1)(chx)s-1·shx

设

g(x)=xchx-shx+(λ-1)x2shx，x>0，

则

g′(x)=chx+xshx-chx+(λ-1)(2xshx+x2chx)

=x[(2λ-1)shx+(λ-1)xchx].

又λ-1<0，所以(λ-1)xchx<(λ-1)shx，

又shx>sh0=0，因此

g′(x)

=(3λ-2)xshx≤0.

从而g(x)在(0，+∞)上单调递减，所以g(x)

显然，ch0=1. 由洛必达法则，知

所以f(x)

对于(2)，当λ≥1时，

又shx>sh0=0，λ-1≥0，所以

s(λ-1)(chx)s-1·shx

从而f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)>f(0)=0，故Ls>λGs+(1-λ)As.

评析经过恒等变形，把对数平均不等式问题巧妙地转化成了双曲函数不等式问题，形式简单、漂亮. 构造函数f(x)，求导后利用引理进行放缩，再结合λ的范围，可得到f(x)的单调性，从而不等式得证. 定理的证明方法新颖，证明过程简洁、明了.