新课程理念视角下数学课堂板书的功用①

程 华

(咸阳师范学院数学与统计学院 712000)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《2022年版课标》)的颁布，深刻影响了中小学教师教学观念与教学方式.《2022年版课标》课程理念中提出要“促进信息技术与数学课程融合”[1]，“教学建议”中再次强调要“注重信息技术与数学教学的融合”[2].当前，多媒体等信息技术在数学课堂的运用已经极为普遍，课堂教学信息的呈现方式也日趋多元化.一些教师对传统的课堂板书重要性的认识日渐淡化，而有些教师又格外看重用板书呈现完整的教学内容，将板书视为“微型教案”.在强调信息技术与数学教学融合的当下，数学课堂板书的价值何在？《2022年版课标》又赋予课堂板书哪些新的意义？从新课程理念的视角我们需要重新思考，数学课堂板书应该具有怎样的功用？数学板书需要侧重哪些内容？又有哪些要求？以下对此思考以期对一线教师贯彻落实新课标能有所启发.

1 《2022年版课标》课程理念的变化对数学教师教学观念的启示

《2022年版课标》以数学学科育人和发展核心素养为统领，提炼出确立核心素养导向的课程目标、设计体现结构化特征的课程内容等五个全新的课程理念[3](文中“新课程理念”是指《2022年版课标》的课程理念)，新课程理念的这些变化需要教师教学观念的更新.

1.1 “以生为本”的理念始终如一，“核心素养为本”是以“生本理念”为基础的新发展

从2011年初中课标到《2022年版课标》，“以生为本”的理念始终如一.《2022年版课标》课程理念中新增了“逐步形成适应终身发展需要的核心素养”，“核心素养”一词在“课程理念”部分出现多达8次[4]，反映出教师教学必须以“生本理念”为基础，从追求知识到追求核心素养.新课标中将数学核心素养提炼为“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”的“三会”，明确指出数学对学生发展独特的价值.在对“会用数学的思维思考现实世界”的表述中，还特别增加了“质疑问难的批判性思维”[5]，初步养成讲道理、有条理的思维品质，逐步形成理性精神.新课程理念表明：“以生为本”、培育学生的核心素养、教学生学会思考是教师必须具备的教学观.

1.2 “课程内容结构化”理念强调了学习内容的整体性，要将学习内容结构化整合

“课程内容结构化”是新课标理念的重要变化之一，要求学习内容的整体性、反映学科本质的一致性、表现学生学习的阶段性.这反映出新课标对教师数学内容理解深度的要求大幅度提高，培养学生的核心素养要有阶段性、层次性和连续性.因此，“结构化”的教学观对教师至关重要，新课标倡导的“单元整体教学”等内容就是在着力体现这一要求.教学内容的组织要结构化，而是否有助于学生将学习内容结构化，将是教师选择教法的重要依据之一.

1.3 教学过程更加关注学生学习的主体性，重视“过程的教育”

《2022年版课标》课程理念在“实施促进学生发展的教学活动”部分，首次将“学生的学习”置于“教学活动”之前[6]，将学生的主体性置于更加显著的地位.指出“学生的学习应是一个主动的过程，认真听讲、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等是学习数学的重要方式”.这里2011年版初中课标中的“积极思考”被改为“独立思考”[7]，是要突显个体的主动性对核心素养形成的价值，培养“创新性”的学习应该是“主动”“独立”的.

新课程理念中多处出现了“过程”一词.比如，“核心素养是在数学学习过程中逐渐形成和发展的”“重视数学结果的形成过程”“学生的学习应是一个主动的过程”，等等.可见，核心素养目标取代三维目标之后，虽然教学目标不再使用“过程与方法”，但其实质已经融入了新课程理念，即《2022年版课标》仍然重视“过程的教育”.

调研发现，教师对“过程”的理解是否全面会直接影响其教学目标的定位以及达成.新课标中教学中的“过程”实际蕴含着两个方面.一是从教师教的角度，教学要有“过程”，即教师要能清晰展现知识的来龙去脉.二是从学生学的角度，“过程”应指学生不仅要经历知识产生的过程，还必须要有自己独立的和自主的认识过程.而从学生学的角度落实“过程”是一些教师薄弱的地方.

1.4 评价目的是为了激励学生学习和改进教学，要增强学生的自我监控

《2022年版课标》的课程理念延续了评价不仅要关注学生数学学习的结果，还要关注学生数学学习的过程，激励学生学习，改进教师教学.新理念更加强调评价主体的多元化和评价方式的多样性，尤其是新增了“学生自我监控”.从评价的角度再次体现要从学生的学落实“过程”，这为教师选择教法与学法提供了又一依据.

1.5 信息技术与数学课程的融合要合理，要提高学生的信息素养

新课程理念中对现代信息技术运用的要求是“合理”，对“合理”的场景解释是“丰富的学习资源”“生动的教学活动”等.即要用创设合理的信息化学习环境，提升学生的探究欲，开阔学生的视野，激发想象力，提高学生的信息素养.新课程理念突出了“促进数学教学方式方法的变革”“学生的信息素养”等新要求，对教师信息技术的要求显著提高.

2 新课程理念视角下数学课堂板书的功用

数学课堂板书作为课堂教学信息的呈现方式之一，教师教学观念的更新下，数学板书的功用也要随之而变化.以下我们对此思考.

2.1 借助数学板书落实核心素养培育，发挥数学学科的育人功能

在核心素养导向的教学观下，一线教师设定教学目标都会明确本单元、课时所涉及的核心素养，其困难在于具体落实.在课堂教学中数学板书按其主体，一般分为教师板书、学生板书和师生板书三类，数学板书的合理运用对素养为本的落实具有特别的优势.

比如“平方差公式”的教学.教师先用PPT课件出示情境1：“灰太狼要把边长x(x>7)的正方形土地一边增加7米，另一边减少7米，租金不变，喜羊羊是否会吃亏”，促使学生从数学的角度提炼出问题：“判断S前=x2与S后=(x+7)×(x-7)的大小，有没有更简洁的方法”.课件出示情境2：“10001×9999是否能够快速地算出？”，用对简洁美的追求激发学生的探究欲.接着，PPT课件出示一组多项式乘法运算：

(x+1)×(x-1)；(m+2)×(m-2)；

(2x+1)×(2x-1)，

在师生板书互动下共同计算并修正了板书：

(x+1)×(x-1)=x2-12；

(m+2)×(m-2)=m2-22；

(2x+1)×(2x-1)=(2x)2-12.

由学生去发现并形成猜想，口述出共性，教师板书：“从特殊到一般”“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”.在“数学语言都有哪些形式”的启发下，学生指出“文字、符号、图象”后板书，由学生尝试符号化表达，师生互动下板书：

(a+b)×(a-b)=a2-b2.

“可以有哪些语义解释”的提示语下，学生自己构造图形进而证明.学生不同的表征方式下获得了不同的证法.学生板演、练习，师生评判、梳理证明过程，PPT展示证明，再由学生为公式命名，教师板书“平方差公式”的课题.这时，PPT课件再次出示引入时的情境，学生解决，首尾呼应. 在师生互动下板书对(a+b)×(a-b)=a2-b2中a，b的认识.PPT出示变式问题，学生练习、板演巩固.师生回顾板书、回放PPT中，共同归纳板书本节课的核心内容，最后再出示PPT小结.从这一常态课可见，数学板书的辅助常有以下一些功效.

其一，数学板书的概括与直观可以发展学生的数学抽象、直观想象等素养，尤其是学习数学的思维与表达.学生不仅接受教学信息，还对信息反馈，板书能展现学生的思维活动、知识掌握情况及其过程，教师借助板书生成教学资源，聚焦素养教学.

其二，数学板书能够协调学生独立思考与合作学习的关系，培养一般素养.板书在师生问答中推进，记录、展示和检验思考的结果.学生板书后的互评，对同伴的欣赏与质疑、合作与沟通，能增强思维的批判性，培养合作、交流、质疑等一般性素养.

其三，板书可以发挥数学的美育功能.相比于PPT课件等方式，板书更能呈现数学的内在美，比如，定理公式的推导、简明的分析、条理清晰的论证等.设计良好的数学板书也是书法、布局艺术和数学美的综合体.扼要的简洁美、层次清晰的条理美、形式变化的艺术美等[8].板书绘制图形，比如圆锥曲线、函数图象等，会有数学独特的美育效果.而教师板书时所展现的严谨、专注与敬业，传递出数学学科的工匠精神.

案例1“长方体和正方体的认识”的板书

图1中黄爱华老师设计的板书将表格形式变化为立方体，板书使学生感受到从“面”到“体”的过渡、数学的分类思考、长方体的画法以及图形的美感.还给学生的思考创设了直观背景，学生能够参与板书的书写.艺术性与启发性的板书简化了教学，淋漓尽致地展现出数学育人的多样化.

图1 立方体式示意图(摘自：陆春燕.板书，变冷的数学为热的思考[J].新课程导学，2017(09)：25)

2.2 通过数学板书互动下的概括归纳促进学生知识结构化，形成系统化思维

数学板书往往需要在师生互动下，对课堂教学中的口头语言、信息资源、教材内容等高度概括后书写.所以板书能够使学生学习概括、归纳与知识结构化，培养抽象概括能力，形成系统化思维.

案例2“二次函数的图象”(第1课时)部分板书

“二次函数的图象”第一课时主要研究的是二次函数y=ax2的图象与性质，这里通过师生的板书互动，既复习了一次函数、二次函数的定义、特殊形式等旧知，又梳理了函数的研究方法.将问题特殊化，类比一次函数获得要从最简单的二次函数y=ax2开始研究的想法(见图2)，产生了对a分类研究y=ax2图象与性质的思路.板书的书写中渗透了特殊化、分类、函数思想，概括归纳中使学生感受到知识的整体性.

具有持续性与驻留性的板书可以为学生自主总结提供信息源.引入与小结环节原本是促进学生知识结构化的基本渠道，然而一些教师为节省时间将预先制好的PPT课件小结，和盘端出地讲解，致使学生并未真正参与知识的结构化.利用板书的驻留，引导学生观察板书各部分的联系，用线条或符号连接，紧扣板书内容，回看PPT课件，并给学生介绍概括归纳的方法.比如，概括归纳的角度，既有从知识内容、思想与方法、学科核心素养、重点与难点等方面，还有从探究的经验、学习的体会与收获，等等.借助板书指导学生概括总结，建构起知识的逻辑关系，PPT课件总结可以留作对比与强化.

2.3 利用板书的直观性使思维可视化，引导学生深入思考与理解

板书的直观性对提高学生的形象思维能力、空间想象能力以及几何直观等素养都很有益.而板书的直观又与PPT课件等手段的直观有着显著的区别.板书的直观是在互动中呈现的，能驻留也相对持久，其过程性使它能够将隐匿的思维可视化，降低抽象数学内容的认知难度，从而更好地引导学生思考与理解.

比如，对函数的本质是对应的理解是学生的难点.教师不必直说“通常我们把y是x的函数表示为y=f(x)”，而是先说“f代表自变量和因变量之间的对应关系，对于定义域内的任意x(在黑板上先写下‘x’)，通过对应关系f(这时写出‘()’，把x用括号括在内，再写出f)，对应出唯一的一个y(在刚才式子左边写下‘y=’)”，这样学生能“看见”“y=f(x)是对于定义域内的任意x施加了运算f”，就容易理解“函数的本质是对应”[9].

案例3“四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系”板书

图3中将四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形用“关系结构图”呈现，使繁多抽象的关系可视化，降低了学生的学习难度.这些不同类型四边形之间的关系，可以让学生小组合作探讨填写，教师只是启发引导.教师可以设计图3类型的思维导图，由学生探索将板书补充完整，发挥出学生的自主性.

图3 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系

对有些可以动态操作、数形结合、定义复杂的学习内容，尤其在“图形与几何”板块，有时可以采用粘贴式板书.用磁性的操作板、几何图形、动植物图形以及景观图形等呈现，将思维可视化.粘贴图形的直观降低问题的抽象度，学生在操作中感悟知识，也培养了空间观念以及数形结合的能力.

2.4 结合板书的生成过程提供思维的示范，呈现教学的核心内容

在课堂信息呈现方式多元化的今天，板书不必非要是完整的“微型教案”.但是板书应该包括新概念、新公式、知识结构、数学核心素养、数学思想方法、重点与注意点，以及研究的思路、方法等这些核心内容.板书的一大优势是它可以充当师生思维互动的媒介，师生在对话互动下思维优化、修正和调整都可以“定格”在黑板上，这个过程为思维提供了示范.

案例4若实数a，b，c满足

2a+2b=2a+b，

①

2a+2b+2c=2a+b+c，

②

求c的最大值.

问题(1)条件是什么？一共有几个？其数学含义如何？(答：条件是两个等式，等式①含a，b，等式②含a，b，c)

板书2a+2b=2a+b，

①

2a+2b+2c=2a+b+c.

②

问题(2)结论是什么？一共有几个？其数学含义如何？(答：结论是求c的最大值，它可以是c的不等式，或是函数的最值)

(3)条件和结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构？(答：理解条件和结论，我们的脑子呈现这样的数学结构：等式②提供关于c的函数，再借助条件①，求出c的最大值)

问题(4)解决的方法是什么？(答：解题方向是：化归为函数求最值．解题方法是：求出函数的表达式和定义域，然后，用不等式法或求导法求最值．)

(5)下面该怎样书写？(答：从定义域开始，建立函数，求最值．师生互动下教师板书)

板书(定方法、找起点、分层次、选定理、用文字)(详解略).

(本案例题目由陕西师范大学罗增儒教授提供)

从案例4可见，板书成为师生互动沟通条件与结论的载体，可以示范问题分析与求解的全过程，使学生体会到数学思维的逻辑与严谨.

数学板书呈现的课堂教学的核心内容，一般应该有以下方面.其一，新学习的概念、定理、公式中数学特有的名称、概念定义、符号、作图等.有了课件还要再板书是由于学生随时可看可用，能够反复理解与记忆.一些基本图形和图象的示范板书也要重视，诸如球内接和外切几何体问题的困难，就与学生画不出图形无法思考有关.其二，新知探索的过程、纵横对比的内容等.教师引导学生交流、辨析以及PPT课件中的要点，需要用板书提炼出核心素养、学科思想等加以强调，这也是学生思考与小结的信息源.数学板书捕捉与“定格”的功能，使板书具有渗透、示范和传递数学学科思想、研究方法的优势.比如，案例2中的板书就向学生示范了研究函数的基本思路.学生掌握了研究一个数学对象的路径，面对新的学习对象时就能调用这些“数学活动经验”自主学习.该案例还示范了数学板书应有的特殊的逻辑美感.清晰的层次，相同层次的内容排列整齐，各层次标号一致，各层次间通过符号形成一个整体，等等.板书在有序的呈现中，体现出教师有逻辑的教学思路，这对学生的“学习思路”影响深远.其三，重点、难点以及注意点要运用彩色粉笔突出，用一些特殊符号、线条体现知识点之间的关联.典型例题的演算和推证、定理的证明等也要板书，为学生作业提供思维和格式上的示范.

3 新课程理念下数学课堂板书的建议

对新课标理念下的数学课堂板书我们提出几点建议.第一，板书的主体要多元化，要凸显学生的主体性.应以师生合作型板书为主，通过板书的互动促进学生自主建构.比如，“二元一次方程的解”，学生易于忽视ax2+bx+c=0中a≠0，让学生先试错后标注.第二，板书的内容要指向学生的思维参与.板书不只是摘出关键，而是要促使学生思考的.要关注学生是否有独立的思考，你是否发现、捕捉并呈现了.无论板书如何创新、精致，如果学生只是观看而未深入参与板书的生成就是不成功的.板书中学生要有情感、行为的参与，更重要的还是思维的参与.第三，板书与信息技术的融合要充分发挥各自的优势.信息技术与数学教学深度融合，并非是课件精美、动画高级、视频炫目这些形式，而是哪种方式更有助于学生学习理解和教学目标达成，要首选更便捷、实效的方式.

新课标理念下的数学课堂板书，应该是师生思维互动的载体，分享教与学信息的平台，突出重点、破解难点的得力工具.数学板书需要教师对课堂口头语言、教学资源等快速捕捉、选择和概括性书写，这需要教师能对教学内容的逻辑关系，对学生认知发展的逻辑与数学知识的发生、发展逻辑的关系，都有深刻的认识.因此，数学教师的板书能力绝非仅仅是技能，需要教师夯实数学学科基础，提升自身的抽象概括能力等数学思维能力.