促进学生核心素养发展的小学数学思维可视化路径探索

【摘要】随着课程改革的不断深化，教育更加重视学生思维品质的提升和综合能力的发展，然而思维是看不见的，它的传递和学习难度很大。本文基于思维可视化对促进学生思维发展的现实意义，探索小学数学思维可视化的路径和方法，引导学生通过将数学思维“画”出来、“说”出来、“做”出来，促进学生不断完善数学思考的路径和方法，发展数学思维，提升数学核心素养。

【关键词】小学数学 思维可视化 路径 核心素养

【中图分类号】G62 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2023）22-0083-05

数学被称为思维的体操。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《2022年版数学课标》）以学生发展为本，以核心素养为导向，首次将“会用数学的眼光观察现实世界”“会用数学的思维思考现实世界”“会用数学的语言表达现实世界”（以下简称“三会”）作为数学课程要培养的学生三方面核心素养。而所谓数学思维，指的是数学课程为人们提供的一种理解与解释现实世界的思考方式。这种思考方式还是培养学生数学眼光、数学表达的思想基础。《2022年版数学课标》明确指出：“通过数学的思维，可以揭示客观事物的本质属性，建立数学对象之间、数学与现实世界之间的逻辑联系；能够根据已知事实或原理，合乎逻辑地推出结论，构建数学的逻辑体系；能够运用符号运算、形式推理等数学方法，分析、解决数学问题和实际问题；能够通过计算思维将各种信息约简和形式化，进行问题求解与系统设计；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养科学态度与理性精神。”因此，发展数学思维有助于全面提升学生的数学核心素养。

科学思维是人脑对客观现实间接的概括的反映，反映的是事物的本质和事物间规律性的联系。科学思维因其内隐于人的大脑之中，导致其传递和学习的难度远远大于纯粹的知识与技能。科学思维比科学知识更重要，这已是不争的事实。因此，教师提高教学效益的关键并不在于知识重复的次数，而在于挖掘和呈现知识背后的思维规律并训练学生掌握这种思维规律。近年来，随着知识可视化研究的深入推进，人们知道了可以对知识表征进行可视化呈现，于是思维可视化的研究便提上了日程。所谓思维可视化，指的是运用一系列图示技术把本来不可见的思维（思考方法和思考路径）呈现出来，使其清晰可见的过程。在教育领域，思维可视化侧重于呈现知识表征背后的思维规律、思考方法、思考路径，尤其强调对思考方法及思考路径的梳理与呈现。那么，在小学数学教学中，怎样才能将不可见的思维呈现出来呢？教学实践中，笔者较常使用的三种策略是让学生将数学思维“画”出来、“说”出来、“做”出来，收到了较好的教学效果。

一、将数学思维“画”出来，让思维触手可及

图像思维是思维的一种特殊形式，是人类用眼睛接收视觉信息后，在头脑中对所接收的信息进行图像化的记忆、理解和加工的过程。这个理解和加工的过程，包含了对所接收的视觉信息进行解码和呈现的过程，通过对所解码的信息进行加工，把自己的理解用图像的形式呈现出来。在教育学领域，画图是学生表征思维、教师观察学生思维行之有效的方法。研究表明，大脑比较喜欢图示学习和记忆，人类对图像的记忆力远胜于对文字的记忆力，一张整体感强、重难点突出的图片可以让大脑瞬间明了它的含义。小学数学教师指导学生借助思维导图、模型图、表格等图示技术，用图像的形式直观呈现自己进行数学思考的过程，打通数学抽象与现实世界联系的通道，让学生的数学思维可视化，从而促进学生更好地了解、理解、记忆、运用数学思维规律和方法，不断提升数学思维品质。

（一）借助思维导图，让思维结构可视化

思维导图是进行知识梳理时强有力的思维可视化工具，常用的思维导图有气泡图、树形图、括号图、流程图、鱼骨图等。学生利用思维导图，可以将一个个零散的知识点整合为一个知识群，从整体上理解所学知识与方法，建构数学思维的逻辑关系，形成自己的知识体系。教师通过分析学生的思维导图，可以看见学生眼中的知识结构，再现他们知识形成的轨迹，从而了解学生思维发展的过程和现状。每一个学生的思维都是独特的，对于同一个学习内容，不同的学生制作的思维导图极有可能不同。课堂教学中，教师可以借助学生丰富多彩的思维导图作品，拓宽学生的思路，发展学生的数学思维，促进学生完善知识结构、领悟数学本质，进而形成和发展数学核心素养。

例如，教学人教版数学五年级上册第六单元“多边形的面积”，在整理单元知识时，有的学生将本单元知识点平行四边形的面积公式、三角形的面积公式、梯形的面积公式一一罗列出来进行呈现，这样的整理，尚未对知识进行结构化处理，知识点还是零散的；有的学生在此基础上将与知识点相关的概念一层一层地往下挖，将公式推导的过程罗列出来，借助思维导图的形式让同学和老师看到了知识点之间的联系，看到了一个连续的结构化的多边形面积公式知识框架。借助思维导图这个思维工具，学生可进一步发现：用梯形的面积公式s=（a+b）h÷2，完全可以计算长方形、正方形、平行四边形、三角形的面积。如：当上底缩短为0时，便可沟通三角形与梯形的联系；同样，将上底扩大、下底缩小，直到上下底相等时，梯形就变成了长方形、正方形或平行四邊形。这样，梯形面积公式就成了以上这些平面图形的“通用公式”。内容结构可视化，为学生搭建了新的认知框架，不仅加深了学生对多边形的认识，而且将学生的思考引向纵深，使学生在系统化、结构化的思考过程中发现了多边形面积之间的内在联系，从而发展了学生思维的深刻性和灵活性。

由上可知，思维导图不仅可以帮助学生梳理整合所学内容，使学生的知识结构更加清晰，而且有利于学生的数学思维从零散走向系统、从分散走向联系、从碎片化走向结构化，从而帮助学生学会用数学的眼光观察问题、用数学的思维分析问题、用数学的语言建构知识之间的有机联系。

（二）借助数形结合，让思考过程可视化

在日常教学中，数学教师们都有这样的体会：对学生来说，完成作业也许不是多难的事，但要学生说清作业中的道理却是非常艰难，学生往往不知道从何说起，也不知道用怎样的语言进行表达。数形结合既是一种重要的数学思想，也是运用数学语言表达数学规律的一种数学表达方式。在问题解决教学中，教师可以引导学生通过画图表征题意、表达思考过程，或者借助画图厘清数量关系，找到解决问题的方法，同时将题目中的道理用数形结合的方式表达出来，使自己的思考过程被看见，从而更容易实现师生之间、生生之间的思维交流与碰撞。

例如，教学一年级“6+（ ）=10”这一内容时，笔者了解到，经历了学前教育的小学生其实都可以确定6+4=10，但为了看到学生思考的过程，笔者开始追问学生：“都认为括号里面要填的数字是4吗？请把你的想法写出来或画出来。”此问，笔者给学生指引了三个思考的方向，一个是写，一个是画，一个是边写边画，旨在让学生通过画计算过程，促进对10以内加减法的计算方法探究和对算理的理解，这也是小学计算教学与学前教育的重要区别。在笔者的追问下，学生的思维火花绽放，总共呈现了如图1所示的四种想法。

同样的答案，背后隐藏着学生不同的思考方法和路径：“方法一”靠数数数出了结果；“方法二”通过画图找到了答案；“方法三”的学生借助想加算减得到了结果，已经具备一定的推理意识；“方法四”的学生根据数的组成得出了结果。借助数形结合，学生将内隐的心智通过图示技术呈现出来，让思维触手可及。教师由此观察到学生的思维路径，便可以有针对性地调整课堂教学策略，发展学生的计算思维。

數形结合不仅可以促进学生的数学思考，而且可以让学生通过阅读他人的图示看到他人的思考过程，从而促进生生之间的思维交流与碰撞，进而促进学生的思维发展。高年级的数学问题解决教学，尤其需要学生学会借助数形结合的方法厘清问题当中所隐含的数量与数量关系。例如下面的问题：“弟弟的零花钱比哥哥少12元，哥哥的零花钱比弟弟多[15]，弟弟的零花钱有多少？”这样的题目，仅靠阅读文字，学生往往无从下手，如果借助如图2所示的线段图作为思维的支架，便可以清楚地看到题目之中所隐含的各个数量及其间的数量关系。

以图呈思、以图促思、以图明理，学生运用数形结合的方法沟通形象思维和抽象思维，突破原有认知，促进数学理解，进而完成对知识的再创造，发展数学思维，最终顺利解决问题。

二、将数学思维“说”出来，让思维全程展现

美国国家实验室总结出来的学习金字塔理论认为，在诸多学习方式中，听讲、阅读、视听、演示这些被动学习方式，相对于讨论、实践、教授给他人这些学习方式而言，学习内容的留存率要低很多。这就是说，课堂教学中，教师给学生主动交流学习、实践操作的机会，将更加有利于促进学生对知识与方法的获得及应用。因此，课堂教学中，教师应尽可能地给学生创造更多表达的机会，让学生自主表达、自由表达、充分表达，并在对话、沟通、质疑、答疑的过程中促进思维发展。

例如，课堂教学中，教师呈现下面的问题：“双十一购物狂欢节期间，某超市促销一种奶粉和一种饼干。李奶奶买了3袋奶粉和5袋饼干，付了278元；张奶奶买了同样的6袋奶粉和6袋饼干，付了516元。每袋奶粉和饼干各多少元？”要求学生以小组学习的方式，说说自己的想法和问题解决思路，并写下自己求解的过程和结果。各组学生在讨论解决这个问题的过程中，展现了不同的问题解决过程，如图3、图4所示。

在图3中，第1组和第2组的解题思路大体一致，都是将李奶奶购买的奶粉和饼干的数量都乘以2，从而创造出与张奶奶某一项购买数量相同的一个条件——6袋奶粉，然后将上下两个式子相减，便只剩下饼干这一个条件，从而顺利求解出每袋饼干的价钱。再以此为基础，求解出奶粉的价钱。然而，第1组和第2组的写法又不尽相同，从数学上看，第1组的写法更简洁，思路也更清晰。

在图4中，第3组和第4组的解题思路一致，与第1组和第2组的思路不同。第3组和第4组都是先将上下两个算式相减，于是出现3袋奶粉+1袋饼干=238（元）；再将新出现的这个式子与李奶奶3袋奶粉+5袋饼干=278（元）相互对照，可以发现二者拥有相同的条件——3袋奶粉，然后将这两个算式相减就可以去掉一个条件即奶粉的数量和价钱，只剩下另一个条件即饼干的数量和价钱……总结四组学生的问题解决过程，都运用了将复杂问题简单化、陌生问题熟悉化、未知问题已知化的思维方法，而这其实就是数学上重要的解题策略——“转化”策略。

课上到这里，按说已经比较圆满了，可是教师意犹未尽，继续追问：“还有不同的解题方法吗？”学生继续思考，渐渐有了新的回应。

生1：可以将张奶奶的数量除以2。

师：除以2是不是所有的题目都能用？

生2：要有倍数关系才能用。

师：假如没有倍数关系会怎样？找不到相同的条件怎么办？

……

“创造条件变相同”，这是中学“二元一次方程”消元法的本质。虽然这是小学数学的课堂，但数学思维却是前后一贯的，初中数学的代数思维早已孕伏在小学数学学习的过程当中。在这节课上，师生犹如一只探险队，教师是探险队的首领，用一个个问题引领学生展开数学思考、交流探讨、合作学习，共同经历观察、对话、沟通、质疑、验证的过程，最终获得了数学知识与方法。教师通过观察学生的思维状态、方向与路径，灵活调整自己的教学策略，培养学生的数学核心素养，发展学生的数学思维。

三、将数学思维“做”出来，让思维有迹可循

著名心理学家皮亚杰指出：“智慧是从动手开始的，只有亲自经历艰辛的探索实践活动，才能使大脑变得更加智慧，更有创造力。”苏霍姆林斯基说：“儿童的智慧在自己的指尖上。”笔者以为，数学思维不是孤立存在的，小学生的数学思维发展，往往伴随着具体的数学活动而展开。教师在教学比较抽象的数学知识时，可以借助“做数学”的学习活动，让无形的数学思维变得有迹可循，使学生通过动手操作、亲身体验获得和积累丰富的数学活动经验，进而获得相关数学知识。具体教学中，教师可以根据不同学段学生的思维特点设计教学路径，促进学生的数学理解，发展学生的数学思维，培养学生的数学核心素养。

例如，教学人教版数学二年级下册“轴对称图形”一课，为了促进学生对轴对称的概念的数学理解，教师可以在课前布置学生观看一段剪纸视频，并动手剪一剪视频中自己喜欢的图案；课堂中，教师可以将学生的剪纸作品作为课程资源放在教学导入环节，先让学生观摩大家的剪纸作品，再请一些学生介绍自己是怎样剪出这些美丽图案的，之后让学生“猜一猜这样剪出的图案在数学上是什么图形”“看一看这些图案有什么共同点”。课堂上，学生通过亲身经历“折一折”“剪一剪”“猜一猜”“看一看”的系列学习活动，在“做数学”的过程中对轴对称图形产生了丰富的感性经验和直观认识，课堂上只需教师稍加点拨，便能顺利理解轴对称的本质特征，从而促进学生的数学理解与思维发展。

又如，教学人教版数学五年级上册“多边形的面积”中的三角形面积公式前，为了更好地培养、发展学生的数学思维，教师可以先让学生根据刚刚学过的平行四边形面积公式推导方法，尝试自己动手推导三角形的面积，并把自己探索的过程录成视频在班上分享。三角形面积公式的推导方法一般可概括为“倍拼法”“割补法”和“分割法”三大类型，如图5所示。学生在课前通过动手操作，可发现在倍拼、割补、分割前后三角形的面积及其各部分之间的关系，并利用平行四边形的面积公式顺利推导出了三角形的面积公式，从而总结出“转化—联系—推导”的研究思路。在课堂上，教师带领学生比较不同推导方法的异同时，学生可发现转化的思想：雖然三种推导方法过程不同，但都是借助转化的思想把未知图形变成已知图形加以研究。最后学生深刻理解了推导过程中面积公式里的“÷2”在“倍拼法”和“分割法”中不同的含义。通过亲自动手操作，学生对知识形成的过程有了更深刻的理解和体会，并在与同伴的交流中拓宽了思路，深化了认识，为后面进行梯形面积公式、圆的面积公式的推导打下了思维方法基础。这样的学习方式，不仅尊重学生的个性差异，体现了学生学习的主体地位，促进了学生的全面发展，而且让实验操作成为培养学生知识获取能力的重要方法。

《2022年版数学课标》就义务教育阶段的数学教育首次提出了核心素养的教学导向。然而，正如史宁中教授在新课标培训中所说：核心素养的培养不是仅凭老师可以教出来的，是学生在他的思维过程中，做事的过程中，本人参与教学的过程中逐渐形成和发展的。例如，《2022年版数学课标》首次将“量感”作为义务教育阶段数学核心素养的具体表现之一，主要指向学生对事物的可测量属性及其大小关系的直观感知。作为一种感知经验，量感是学生形成抽象能力和应用意识的经验基础。在进入数学学习之前，学生在生活中已经拥有了一定的量感经验，但这种经验仅限于定性的描述，比如能够大体感知物体的大与小、轻与重，路程的长与短、远与近，温度的高与低，而不能感知大多少、轻多少、长多少等等，也就是不具备定量描述的经验。进入数学学习后，学生学会了大量的度量单位，因为只会机械地背诵课本中的概念，而较少参与度量与估量等“做数学”的活动，学生的头脑中很难形成对单位概念的清晰表象，以至于当面对真实情境中的具体事物选择合适的度量单位、进行不同单位间的换算、估计度量的结果时，往往不能有效联系相关度量单位知识做出准确的判断，进行量化描述，这就是量感缺失。量感核心素养的培养，需要一个漫长的过程，教师可以通过给学生布置“量一量”“折一折”“称一称”“掂一掂”等贴近生活的实践作业，让学生经历度量和估量等“做数学”的活动过程，让学生在动手操作的活动中逐步明白为什么要统一度量单位、为什么要选择合适的度量单位、为什么要进行单位换算，从而实现对事物的可测量属性及大小关系的直观感知逐渐从定性走向定量，不断丰富量感经验，促进数学思维发展。量感的培养贯穿学生六年小学数学学习和生活的过程，不是一朝一夕可以形成的，它需要学生经历数学实践经验积累和发展的漫长过程。

总之，将思维可视化引入小学数学教学，可以使数学教学的焦点从知识层面深入到思维层面，让学生在“画数学”“说数学”“做数学”的过程中逐渐发展数学思维，有效降低学生对抽象的数学理解的难度，促使学生更深入地理解数学知识的本质，形成和发展数学核心素养。

参考文献

［1］陈小彬.“3D建模”：思维可视化的数学课堂重建［J］.小学教学研究，2019（16）：72-74.

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［3］潘秋英.把握童性：让思维在经验中丰盈［J］.江西教育，2018（4）：60-61.

［4］聂海兰.思维可“视”，分析有“迹”［J］.中学课程辅导（教师教育），2019（15）：61.

［5］孙兴华.为什么把量感作为小学阶段核心素养表现：马云鹏教授、吴正宪老师访谈录（二）［J］.小学教学（数学版），2022（9）：9-14.

作者简介：王岩梅（1976— ），山东烟台人，本科，正高级教师，首届自治区基础教育教学指导委员会专家，主要研究方向为小学数学教育。

（责编 白聪敏）