指数加权引出的几类[1/1]阶Padé逼近迭代算法

杨 兵,郭 巧,王伟昌,江本赤

(1.安徽职业技术学院智能制造学院,安徽 合肥 230011;2.安徽职业技术学院计算机科学与工程学院,安徽 合肥 230011;3.安徽工布智造工业科技有限公司,安徽 合肥 238000;4.安徽工程大学,安徽 芜湖 241000)

0 引言

Newton迭代法作为求解非线性方程根的经典算法,具有方法简单、计算量小的特点,一直被科研工作者所认可,但是Newton迭代法收敛速度一般,迭代效果对于复杂非线性方程无法满足精度要求.本文利用函数值Padé逼近的[1/1]阶迭代算法,通过对非线性方程f(x)=0进行指数加权同等变形为eg(x)f(x)=0,并对加权因子g(x)进行不同类型函数赋值,得到带参数a的四类三阶收敛的迭代算法[1].通过收敛性分析和数值实例发现,参数a的取值并不影响收敛阶数和效率指数,但是当参数a取特定值时所得到的迭代算法的收敛速度会大大优于基础迭代.这一发现更加证实了该迭代算法的实用性和有效性.

令函数f(x)表示为

f(x)=c0+c1(x-x0)+c2(x-x0)2+…,

设定

其中,当i<0时,ci=0.

1 预备知识

定义1.1 为求解非线性方程f(x)=0的近似根,可以通过指数加权等价变形为eg(x)f(x)=0的形式,g(x)为任意函数.

定义1.2[2]记rm,n(x)=p0(x)/q0(x)=p(x)/q(x)(等价为(m,n)f)为函数f(x)的[m/n]阶Padé逼近,并且

∂p≤m, ∂q≤n,ω(fq-p)≥m+n+1.

令方程r1,1=0,化简得到

故公式

(1.1)

即为[1/1]阶Padé逼近迭代[2].

2 四类指数加权迭代算法

令函数h(x)=eg(x)f(x)代替公式(1.1)中的f(x),于是有

因为

h′(x)=f′(x)eg(x)+eg(x)g′(x)f(x),

于是

(2.1)

(i)当g(x)=-ax时,将g′(x)=-a,g″(x)=0代入式(2.1),于是有迭代公式:

(2.2)

(2.3)

代入式(2.1),于是有迭代公式:

xn+1-xn=

(2.4)

代入式(2.1),于是有迭代公式:

(2.5)

3 收敛性分析

定理3.1 设非线性方程f(x)=0(f∶I⊂R→R,x∈I,I为开区间)的定义域区间内的一个单根记为x*,若序列xn→x*,则由公式(2.2)定义的迭代序列三阶收敛[3],且误差公式表示为

证明 非线性函数f(xn)在x*点Taylor展开:

故

迭代公式(2.2)整理化简为

故

定理3.2 设非线性方程f(x)=0(f∶I⊂R→R,x∈I,I为开区间)的定义域区间内的一个单根,记为x*,若序列xn→x*,则由公式(2.3)定义的迭代序列三阶收敛[4],且误差公式表示为

证明 非线性函数f(xn)在x*点Taylor展开:

故

迭代公式(2.2)整理化简为

故

定理3.3 设非线性方程f(x)=0(f∶I⊂R→R,x∈I,I为开区间)的定义域区间内的一个单根记为x*,若序列xn→x*,则由公式(2.4)定义的迭代序列三阶收敛,且误差公式表示为

证明 非线性函数f(xn)在x*点Taylor展开:

结合定理3.1、定理3.2、定理3.3的证明,则有

迭代公式(2.5)整理化简为

故

定理3.4 设非线性方程f(x)=0(f:I⊂R→R,x∈I,I为开区间)的定义域区间内的一个单根记为x*,若序列xn→x*,则由公式(2.5)定义的迭代序列三阶收敛[5-6],且误差公式表示为

证明 非线性函数f(xn)在x*点Taylor展开:

结合定理3.1、定理3.2、定理3.3的证明,故有

迭代公式(2.5)整理化简为

故

4 数值实例

例4.1 已知函数f(x)=x5-3x2+2,利用迭代公式(2.1)至(2.5)取参数a为特定值时的非线性方程f(x)=x5-3x2+2=0的近似根.初始值为-1,误差公式为|xn-xn+1|≤10-5,通过Python计算机编程处理,迭代结果见表1.

表1 例4.1迭代结果

例4.2 已知函数f(x)=x3-x2-1,利用迭代公式(2.1)至(2.5)取参数a为特定值时的非线性方程f(x)=x3-x2-1=0的近似根.初始值为-1,误差公式为|xn-xn+1|≤10-5,通过Python计算机编程处理,计算结果见表2.

表2 例4.2迭代结果

由例4.1和例4.2的迭代结果可以发现,通过指数加权后确定的四类基于函数值Padé逼近的[1/1]阶改进迭代算法在保持三阶收敛的同时,通过调试改变参数a值,所得到的迭代公式的收敛效果均优于基础迭代,而参数a取不同值所得到的迭代公式的收敛速度亦不相同.这一发现与第三部分收敛性分析中四类迭代公式的误差系数不同的结论相一致.通过调试参数的变化来改变收敛速度,对于非线性方程求精确解具有重要的参考意义,亦可以推广到非线性方程组的应用[7-8].该算法在机器学习中构建分类器和机器人算法领域有潜在的应用价值[9].