巧用数形结合，培养核心素养

戴国

摘 要：圆的位置关系是初中数学教学的主要内容，需充分关注到点与圆、直线与圆、圆与圆、圆与其他图形的位置关系，在解决位置关系的问题时，需充分了解其常规的位置关系及其转化方法，以实现与圆有关的位置关系问题的高效解决.

关键词：核心素养；初中数学；解题教学

圆既是初中数学课堂教学的重点知识，也是中考的必考内容.圆的位置关系通常涉及到三个方面，主要有点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，其充分体现出了数与形的结合，因此，在对圆的位置关系试题进行解题时，应充分运用数形结合的思想，经过形象思维和抽象思维的有效结合，促进数量关系和位置关系之间的互换，使复杂的数学问题更加简单，抽象的数学问题更加具体，从而达到数学题优化解决的效果.

1 圆的位置关系概述

设圆的半径是r，圆心坐标是（a，b），圆心距是d，表达式是：（x-a）²+（y-b）²＝r².

1.1 点与圆的位置关系

点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外，设点P（x₁，y₁）：

（1） （x₁-a）²+（y₁-b）²＞r²，点P在圆外；

（2） （x₁-a）²+（y₁-b）²＝r²，点P在圆上；

（3） （x₁-a）²+（y₁-b）²＜r²，点P在圆内^［1］.

1.2 直线与圆的位置关系

若直线与圆不存在公共点，则直线与圆相离；若直线与圆有且仅有一个公共点，则直线与圆相切，这条直线叫切线，公共点叫切点^［2］.

定理：经过圆的半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径.

推论：经过圆心且垂直于切线的直线经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.

若一条直线与一个圆存在两个公共点，即直线与圆相交，直线称作是圆的割线，两个公共点称作为交点^［3］.

直线与圆之间的位置关系有相离、相切、相交三种.

1.3 圆与圆的位置关系

平面内，两圆的位置关系共有五种：外切、内切、相交、外离、内含；过两圆圆心的直线，称作为两圆连心线，两圆圆心的距离称作为圆心距^［4］.

定理：兩圆的连心线是两圆的对称轴，且两圆相切的时候，其切点位于连心线上.

设两圆的半径分别为r、R（r＜R），两圆的圆心距为d.

（1） 两圆外离：d＞R+r；

（2） 两圆外切：d＝R+r；

（3） 两圆相交：|R-r|＜d＜R+r；

（4） 两圆内切：d＝R-r；

（5） 两圆内含：d＜R-r.

两圆公切线：两圆的两条外公切线长是相等的；两圆的两条内公切线的长是相等的^［5］.

2 初中数学圆的位置关系解题策略

2.1 点与圆的位置关系解题

例1 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2 cm，BC＝4 cm，CM是中线，以点C为圆心，5 cm为半径作圆，那么A、B、M三点中位于圆外的是________，位于圆上的是________，位于圆内的是________.

解析：本题考查点与圆的位置关系，需判断A、B、M三点与点C之间的距离和5的大小关系；根据勾股定理，求出AB的长；依据直角三角形斜边上的中线具备的性质，求CM的长；并对比AC、BC、CM和半径的大小，以确定点与圆之间的位置关系.

解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2 cm，BC＝4 cm，∴AB＝AC²+BC²＝25 cm，∵CM是斜边AB的中线，∴CM＝12AB＝5 cm，∵AC＝2 cm＜5 cm，BC＝4 cm＞5 cm，CM＝5 cm，∴位于圆内的是点A；位于圆外的是点B；位于圆上的是点M.

综上所述，在解决与圆有关的位置关系问题时，需对圆的位置关系进行总结，准确把握位置具备的特性，并与几何知识相结合，以实现圆的位置关系问题的高效解决.因此，数学教师在圆的位置关系解题教学中，需注重数形结合，将位置关系转变成点线、线线、圆圆的位置关系，从而使学生的解题能力实现有效提高.

参考文献：

［1］ 王亚平.与圆相关的位置关系问题探究［J］.数理天地（初中版），2022（18）：1920.

［2］ 赵国治.初中数学高阶思维培养的教学设计研究——以“直线与圆的位置关系”为例［J］.中学数学，2021（18）：4748.

［3］ 张英.基于“四能”目标的初中数学教学设计与反思——以“直线与圆的位置关系”一课的教学为例［J］.中学数学，2021（16）：2728.

［4］ 陈建均.基于核心素养的初中数学日常教学初探——以“直线与圆的位置关系”为例［J］.教育界，2021（22）：3435.

［5］ 施学星.“圆与圆的位置关系”的课程难度变化及其对教学指导的探究［J］.教育教学论坛，2016（9）：159160.