基于迈克尔逊干涉法测量透明溶液的浓度

董陈岗，韩小卫，陆劲伟，赵 婕，张修兴，潘营利

（1.渭南师范学院物理与电气工程学院，陕西 渭南 714099；2.中国航空工业集团有限公司中航西安飞机工业集团股份有限公司，西安 710089）

透明溶液的浓度测量在化学、生物、医学和工业领域具有广泛的应用，描述溶液性质的重要参数，对于溶液性质的研究、过程控制和产品质量保证至关重要。［1］因此，准确·可靠·高效地测量透明溶液的浓度具有重要的意义。

传统的浓度测量方法，包括毛细管成像法［2］、超声波时差法［3］、光栅衍射法［4］和光学低相干干涉法［5］等，它们在特定条件下可以提供准确的测量结果。然而，这些方法通常需要复杂的前处理步骤、昂贵的设备和烦琐的操作，因而限制了其在实际应用的灵活性和便捷性。迈克尔逊干涉法作为一种光学测量方法，已被广泛应用于测量透明溶液的折射率和浓度。它基于干涉原理，通过测量光波在不同路径下的相位差来推断溶液的折射率和浓度。与传统方法相比，迈克尔逊干涉法不需要复杂的前处理步骤，可以实现非破坏性测量，并且具有高灵敏度和快速响应的特点，可以用于实时监测溶液浓度的变化。

本文旨在探索并验证迈克尔逊干涉法在透明溶液浓度测量中的应用潜力。首先设计搭建一套迈克尔逊干涉仪装置，利用干涉图样的变化对生活中常见的蔗糖溶液、盐溶液和饮料进行浓度测量，通过调节比色皿的旋转角度以产生干涉信号，通过直接测量附加光程差所引起的干涉条纹变化量，对不同透明溶液的折射率进行计算，再对所得液体折射率和相应浓度进行拟合，得到其函数关系式，并结合标准溶液进行校准，最后与已有的测量方法进行比较验证。研究结果表明，本文为透明溶液浓度测量提供了一种新的、可行的方法，具有高精度、非破坏性和实时监测等优势。同时为化学、生物和工业等领域的研究人员和工程师提供一种便捷而有效的工具，有助于推动透明溶液浓度测量技术的发展。

1 实验装置及检测原理

1.1 迈克尔逊干涉仪

迈克尔逊干涉仪是一种利用分振幅法实现干涉的精密光学仪器，其实验原理图如图1 所示。M1、M2是一对精密磨光的平面反光镜，分别装在相互垂直的两臂上，M1位置固定，M2通过精密丝杆沿导轨可前后移动。G1、G2是一对质地均匀、厚度相同的光学平板，与M1、M2均成45°角。其中G1背面镀有半透明的银膜，能使光分为光强相同的反射光束1 和透射光光束2，称为分光板；G2为使光束2 如同光束1 一样3 次通过玻璃板，以保证两光束间的光程差小于该束光的相干长度，故称为补偿板。旋转平移台用来放置装有待测溶液的比色皿（长*宽*高= 20 mm*10 mm*50 mm）。本文采用He-Ne 激光器作为光源，波长λ= 632.8 nm，通过分光板将光分成光强相等的反射光束1 和透射光光束2，反射光束1 穿过比色皿后被M1反射再次经过比色皿和G1到达光屏。而透过光束2 经过G2补偿板被M2反射再次穿过M2后被G1反射到光屏上。当M1和M2严格垂直时，这两束光满足等倾相干条件，形成圆环形干涉条纹，旋转比色皿时（GCM-1101M 型旋转平移台差分精度为1′），会不断从圆环中心“吐出”或向圆环中心“吞进”圆环。最后，利用迈克尔逊干涉条纹数字计数器（WSM-ACS 型）对干涉环进行准确计数，可精确测量因比色皿旋转而产生的光程差。

图1 迈克尔逊干涉实验装置图

1.2 迈克尔逊干涉法测量原理

以迈克尔逊干涉仪为实验平台，在旋转平移台上放置一块质地均匀的比色皿（此时假设比色皿厚度为0），使反射光束1 垂直穿过比色皿，当含有待测溶液的比色皿绕中心轴线旋转一定角度时，经过装有待测溶液比色皿所产生的反射光束1 会改变光程，因此在光屏可观测到等倾干涉圆环从中心“吐出”或“吞进”的现象，实验中比色皿旋转几何结构示意图如图2 所示。

图2 比色皿旋转前后几何结构示意图

根据比色皿旋转前后几何结构示意图，可获得垂直入射到比色皿表面的激光，在比色皿旋转角度为θ时的附加光程差δ。设比色皿壁厚为0，待检溶液分布均匀，厚度为d，折射率为n，以比色皿几何中心为旋转轴，当其旋转角度为θ时，如图2（b）所示，入射光保持不变，激光从A 点入射，在待检溶液中发生折射，折射角为β，然后在B 点出射。辅助线AC 为入射光的延长线，与待检溶液相交于C 点，过C 点做出射光线的垂线，垂线与出射光相交于D 点。因此，装有待检溶液的比色皿旋转前后的光程如下：

（1）旋转前

激光从A 点进入并垂直穿过待检溶液，直至比色皿外E 点，光程为

（2）旋转后

激光从A 点进入待检溶液，因光折射效应，从B 点出射，D 点和E 点在同一水平线上，因此激光从A 点到D 点发生的光程为

（3）比色皿旋转前后附加光程差为

根据菲涅尔折射定律和图2 中的几何关系，将式（3）中的AC、AB 和BD 用参数d、n和θ进行表示：

将式（4）带入式（3）中，同时反射光线1 两次穿过装有待检溶液的比色皿，综合可得装有待检溶液的比色皿旋转前后的总附加光程差为

在迈克尔逊干涉实验中，根据等倾干涉条纹的加强和相消条件可知，附加光程差引起观察屏上干涉圆环中心“吐出”或“吞进”的干涉环数为N，则有关系式

计算得

将式（7）进行整理，得到待检溶液的折射率n表达式为

在实验中，使用比色皿（壁厚d1=1.25 mm，折射率n1=1.456 46@656.27 nm）盛装待检溶液，反射光束1 在穿过待检溶液的同时，也穿过比色皿，因此比色皿的厚度对附加光程差也会产生影响，进而影响到折射率的计算。因此，考虑比色皿厚度的影响，利用式（3）计算其单次附加光程差，由于反射光束1 总计4 次穿过比色皿壁，最终计算得到比色皿厚度产生的附加光程差A，如式（9）所示：

将式（9）带入式（8）中得到待检溶液折射率的修正表达式

式（10）中，A为比色皿壁厚产生的光程差，N为干涉圆环中心“吐出”或“吞进”的干涉环数，d为待检溶液的厚度，比色皿旋转角度分别为：2°，4°，6°，8°和10°。

2 数据处理与分析

用电子天平称量质量，用烧杯配置不同浓度的NaCl 溶液和葡萄糖溶液。NaCl 溶液配置浓度（质量分数）分别为：0%，5%，10%，15%，20%和25%；葡萄糖溶液配置浓度（体积分数）分别为0%，10%，20%，30%，40%和50%。将配置好的透明溶液放在棕瓶中进行保存。随后用阿贝折射仪和搭建的迈克尔逊干涉仪分别对样品溶液的折射率进行测量（环境温度20.2℃）。

2.1 空气检测结果

首先，利用搭建的迈克尔逊干涉仪对空比色皿进行实验测试，测量由其产生的光程差引起的干涉环数变化，利用折射率修正公式（10）计算空气折射率n，并同实际空气折射率进行对比分析，判定检测系统的准确性，检测结果如表1 所示。

表1 不同旋转角度θ 下空气的折射率

从表1 空比色皿的检测结果来看，当比色皿旋转角度小于4°时，干涉条纹的数目N变化不明显，导致空气折射率的检测平均值同文献［6］相比较，其相对误差较大。随着旋转角度的增加，干涉条纹的变化数目显著增加，相对误差也随之减小，当旋转角度为10°时，平均折射率为1.005 2，相对误差为0.50%。根据表1做出空气折射率随旋转角度变化的关系图如图3 所示。随着比色皿旋转角度的增大，重复多次测量的干涉条纹环数标准偏差随之减小，同时折射率平均值越趋近于空气在相同实验环境下的公认值。因此，为提高检测精确度，后续的各类透明液体测试中将比色皿旋转角度统一设置为10°。

图3 空气折射率和旋转角度的关系曲线图

2.2 蒸馏水检测结果

蒸馏水具有较高的纯净度，使用蒸馏水作为溶液的溶剂，可以增加实验的可重复性，减少实验结果的误差，提高实验数据的可靠性，因此蒸馏水在溶液制备和实验研究中扮演着重要的角色。同时，蒸馏水还可以作为NaCl 溶液和葡萄糖溶液浓度为0 时的替代样品，参与后续不同浓度溶液的特性研究。我们利用自行搭建的迈克尔逊干涉仪对蒸馏水进行实验测试，并利用折射率修正公式计算蒸馏水的平均折射率，检测结果如表2 所示。从表2 蒸馏水的检测结果来看，当比色皿旋转角度为10°时，平均折射率为1.337 7，同文献［7］相比较其相对误差仅为0.40%。根据表2 做出正六十折射率随旋转角度变化的关系图，如图4 所示。随着比色皿旋转角度的增大，重复多次测量的干涉条纹环数标准偏差随之减小，同时折射率平均值越趋近于空气在相同实验环境下的公认值。

表2 不同旋转角度θ 下蒸馏水的折射率

图4 蒸馏水折射率和旋转角度θ 的关系曲线图

2.3 氯化钠溶液检测结果

根据空气和蒸馏水的检测结果，我们将比色皿旋转角度设置为10°，以增加氯化钠溶液检测结果的准确性。实验室环境温度保持为20.2℃，用阿贝折射仪和搭建的迈克尔逊干涉仪分别对不同浓度的氯化钠溶液进行检测，利用折射率修正公式（10）计算相应的液体折射率n，最后利用阿贝折射仪的测量结果做对比分析，检测结果如表3 所示。

表3 不同浓度氯化钠溶液的折射率

从表3 中不同浓度氯化钠溶液的检测结果可知，随着氯化钠溶液浓度的增加，其折射率也逐渐增大，溶液的折射率和浓度基本呈线性关系。相比较阿贝折射仪测量结果，自行搭建的迈克尔逊干涉仪在测量中会出现较大的波动，但是其在浓度大于等于15%的样品检测时准确度较高。而在低浓度样品检测时出现较大波动的原因可能在手动转动微分谷轮时，不能实现连续转动，在暂停瞬间会出现返程现象；同时数字计数器在读取条纹数目时，只能读取整数环数变化，而对条纹数目变换存的小数部分不能准确记录，这两点都会导致检测出现较大的波动误差。根据表3 的数据做出氯化钠溶液浓度和折射率的关系曲线图，如图5 所示。

图5 氯化钠溶液浓度与折射率的关系曲线图

2.4 葡萄糖溶液检测结果

同等实验条件下，用阿贝折射仪和搭建的迈克尔逊干涉仪分别对不同浓度的葡萄糖溶液进行检测，并利用折射率修正公式（10）计算相应的液体折射率n，最后同阿贝折射仪的测量结果作对比分析，检测结果如表4 所示。

表4 不同浓度葡萄糖溶液的折射率

从表4 中不同浓度葡萄糖溶液的检测结果可知，随着葡萄糖溶液的浓度增加，其折射率也逐渐增大，溶液的折射率和浓度基本呈线性关系。相比较阿贝折射仪测量结果，搭建的迈克尔逊干涉仪在测量中会出现干涉条纹数目的波动变换，导致在实际浓度为20%的葡萄糖溶液检测时，其拟合检测浓度仅为18.87%，相对误差为5.65%。其他浓度的葡萄糖溶液其拟合浓度与实际浓度基本一致。根据表4 的数据做出葡萄糖溶液浓度和折射率的关系曲线图，如图6 所示。

图6 葡萄糖溶液浓度与折射率的关系曲线图

3 扩展应用

利用自行搭建的迈克尔逊干涉仪对常见饮料的浓度与折射率进行检测，并利用葡萄糖迈克尔逊检测拟合公式：n=0.001 229+1.336 18，进行相应的浓度计算。首先，根据饮料颜色将待测饮料进行分类，分别为：无色饮料和有色饮料两类。然后利用自行搭建的迈克尔逊干涉仪对各类待检饮料进行检测，其检测结果如表5 所示。结果显示，本文搭建的迈克尔逊干涉仪可对常见的各色饮料完成浓度检测，但由于有色饮料中的混合果蔬为高浓度的乳浊液，导致He-Ne 激光在样品中发生散射无法穿透待检样品，因此测试失败。

表5 常见饮料的折射率和浓度关系

4 结语

本文提出一种测试透明液体浓度的方法，将待测溶液注入比色皿中，放置在迈克尔逊反射光路1 中，首先利用差分精度为1’的旋转平移台调节比色皿的角度以改变待检溶液在光路中的光程差，然后利用本文提出的折射率修正公式计算出待检溶液的折射率，最后通过线性拟合法获得待检溶液浓度与折射率的曲线关系，计算出最终的溶液浓度。用该方法测得的溶液浓度与标准值相差较小，操作简单，适用于各种透明溶液的浓度检测，也可扩展到有色溶液的折射率和浓度检测工作中。