三体纠缠态的纠缠目击

王文华

（陕西师范大学民族教育学院，西安 710062）

量子纠缠是量子信息中的一个基本而又奇特的现象，它是量子力学区别于经典力学的一个本质特点，体现了量子态的非局域性，违背了Bell 不等式，却是量子通信与量子计算中的重要资源，用于实现许多经典信息理论中无法完成的任务，例如，量子态的远程传输、量子密钥分配、量子隐形传态、量子浓缩编码、量子转换、量子计算等。量子纠缠存在于复合系统中，是指复合系统中的量子态不能写成子系统的量子态的张量积的形式［1］。纠缠与可分是对应的，即一个量子态不是可分的就是纠缠的。如何区分纠缠态与可分态是纠缠理论的一个重要内容，纠缠检测也一直是量子信息理论的一个基本问题。

目前，已有许多检测纠缠态的纠缠准则，比如定义了一些纠缠度量［2-4］，得到了一些纠缠判据: PPT 准则、CCNR 准则、值域准则、正映射准则、约化准则及纠缠目击等［5-9］。其中PPT 准则在系统维数小于等于5的情况下是充分必要条件，但在高维系统仅是必要条件。在这些纠缠检测准则中，纠缠目击准则是通用的方法之一。事实上，纠缠目击是一种特殊的自伴算子，它可以用来判断给定的量子态是否为纠缠态。随后，人们又提出了最优纠缠目击，可分解的纠缠目击和不可分解的纠缠目击，并对纠缠目击进行了一系列的讨论［10］。文献［10］根据纠缠目击又提出了马尔科夫目击，用来判断量子系统的马尔科夫性。由于一个量子态是纠缠的当且仅当它可由某个纠缠目击检测，但是不存在一个纠缠目击可以检测所有的纠缠态，因而构造尽可能多的纠缠目击用于检测同一纠缠态是很有必要的，并且构造纠缠目击仍是一件很困难的任务［11-15］。本文讨论三体复合系统C2C2C2上的纠缠纯态中的态和态，分别构造其纠缠目击，验证其是纠缠态，并且建立了Werner 态的纠缠目击。

1 预备知识

本文用H表示有限维的复Hilbert 空间，单位向量表示系统的纯态，其矩阵表示为，迹为1 的正算子ρ表示系统的混合态，S（H），D（H）及Dsep（H）分别表示H上的全体纯态、量子态和可分态，BHer（H）表示H上的全体自伴算子。

定义1［1］若两体复合量子系统H=H1H2上的纯态可以表示为分量子系统Hi中的态的张量积,即，则称状态是可分态,否则为纠缠态。

若两体复合量子系统H=H1H2上的混合态ρ可以表示为分量子系统Hi中的混合态ρi的张量积的凸组合,即

则称状态ρ是可分态,否则为纠缠态。

定义2［1］设W∈BHer（HAHB），若

（1）对任意的ρ∈Dsep（HAHB），有Tr（Wρ）≥0；

（2）存在ρe∈D（HAHB），使得Tr（Wρe）＜0，则称W为纠缠目击。

定义2 中的条件（1）和（2）都有等价刻画：

定理1［1］设W∈BHer（HAHB），则

（1）对任意的ρ∈Dsep（HAHB），有Tr（Wρ）≥0 当且仅当，有≥0；

（2）存在ρe∈D（HAHB），使得Tr（Wρe）＜0 当且仅当W至少存在一个负的特征值当且仅当∈S（HAHB），使得＜0。

关于纠缠目击的刻画，文献［10］给出了如下结论：

定理2［10］若W∈BHer（HAHB）是纠缠目击，则Tr（W）＞0。

定义3设，若在任意比特置换下都不变, 则称为对称态。例如，。

2 三比特量子系统的纠缠目击

N体量子系统中量子态的可分性比较复杂,以三体为例,则有下面的定义。

定义4设为三体量子系统HaHbHc中的纯态，

定理3设为W类态中的对称态, 即存在可逆算子A，B，C，