小议数学探究能力的培养在教学中的体现

张小敏

【摘要】探究活动是实现学生全面发展的一项教学活动，从课本基础知识、定理公式、课本例题习题等问题出发，引导学生对某些数学问题进行深入的探索与研究，培养学生的数学探究能力.

【关键词】探究能力；中学数学；教育教学

学习是学生的主要任务.学校、家庭和部分社会活动是学生开展学习活动的主要场所，而教师的探究性教学自然分为课内和课外两种形式.不能仅仅以为探究活动就是把学生分成小组，通过做实验、相互讨论、查阅资料、整理数据等，最后形成初步结论.很明显，这只是课外探究活动的方式之一，这种探究方式需要做大量的准备工作，操作过程也费时费力.课内探究侧重于对教学内容的思考和探究，对解题方法的反思.无论是对中学生的年龄，智力，心理因素，还是中学生的阅历，最有益的其实是课内探究.在课堂上有老师的引领，它不仅可以发展学生的数学能力，还能使学生对所学内容的本质、变式以及拓展形式有更加深刻的理解，达到灵活运用知识、促进学生数学思维能力发展的目的.因此，数学探究活动应体现在数学课堂中.课堂中的探究活动大致体现在以下几个方面：

一、数学定义、性质的探究

万丈高楼从“基”起，数学的基石就是定义和概念，定义和概念也是数学的精髓，是对数学现象的高度抽象和概括.学生的数学学习过程就是对数学概念的理解应用并形成数学能力的过程.准确深刻地理解概念，是正确运用概念的前提，而实际上中学生对数学概念掌握情况不尽相同，有的死记硬背，有的半知半解，有的全然不知.因此，在数学概念教学时，教师就必须对它的形成、内涵进行深入的探究，为学生准确理解和应用数学概念打下坚实的基础.

例如，教师在北师大教材选修2-1双曲线的概念教学时，可按如下流程进行：

①给出双曲线定义：平面内到两定点距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线.（两定点间距离为2c，常数记为2a）

②让学生进行以下探究：

1）双曲线与椭圆定义的异同点；

2）双曲线定义中“绝对值”的含义是什么？去掉这三个字会产生什么结果；

3）分别探讨当2a>2c，2a=2c，2a<2c时轨迹的变化情况，并说明各自的轨迹图形；

③根据以上探究，谈谈你对双曲线的理解.

学生可类比椭圆的定义方法，结合课本中的小实验，预先准备一条拉链，在老师的引导下分组做一个简单的实验，要求学生拉开拉链的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在两点，把笔尖放在拉链的咬合处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖就画出一条曲线.在演示实验的过程中引导学生充分体会点的特征，体会双曲线的形成，更能深刻理解双曲线定义的几个限定条件.再试着用语言文字描述点所满足的条件，从而概括出双曲线上点的几何性质，归纳出双曲线的定义，体现了探究性的思维活动.学生从具体事例中概括出数学概念，既符合具体到抽象的认识规律，更容易发现概念的本质属性，理解概念的内涵，把概念纳入已有的认知结构中.

再例如，教师在教学古典概型时，可以通过有趣的，贴近学生生活的素材，激发学生学习数学的热情和兴趣.于是设置了这样的问题：甲、乙两人赌博，各自下注1000元，他们约定先胜3局者可以把2000元賭注全拿走.假设这两个人的赌博技术相差不多，他们赌了三局，甲以2∶1暂时领先.此时，由于不可抗力的原因赌局被迫中止.两人需要分赌本，那么这时候怎么分这2000元的赌本才能使两人心服口服？教师可引导学生讨论，质疑，并提出分配方案.同学A的分配方案：因为没有赌完，所以各自拿回自己的1000元.同学B的分配方案：因为甲多赢一局，所以全归甲.同学C的分配方案：按赢得比例分配，甲拿三分之二，乙拿三分之一.那么这一简单直观的分赌注问题产生了这么大的分歧，到底该怎么分配呢？

公说公有理，婆说婆有理，这就导致了概率论的诞生.从这个具体事例中让学生感受古典概型的客观存在，自然而然引出古典概型，既激发了学生探究的欲望，又起到介绍数学史的作用.学生通过参与这一问题的探究活动，由消极、被动的接受式学习变为积极主动、探究交流式的探究性学习.选择学生所感兴趣的，乐于探究的，易使学生兴奋的问题作为中心，使学生自觉自愿的参与其中，领会理论与实践既对立又统一的辩证思想，再结合具体问题的现实意义，培养学生勇于探索，善于发现的合作精神.

二、数学公式、定理的探究

数学命题中经过论证是真命题的，在数学中称为“定理”，经过数学推理成立的量与量的关系式称为“数学公式”，它们是高中数学的重要组成部分，是数学推理、论证、计算的依据和工具.要让学生知道它们的产生背景，掌握它们的推理过程和论证方法，熟悉它们的结构形式，更重要的是要探究、挖掘拓展及更广泛的应用.

例如，在学习两角和的正切公式时，如果教师只是简单的推导而不对推导过程中所体现的数学思想（齐次式）予以提炼，学生就不可能领会教材意图———过程中掌握数学思想方法.所以，授课时教师可引导学生做如下探究：

问题7：仿照两角和的正切公式推导方法推导两角差的正切公式？

每一个数学公式都蕴含着一定的数学思维过程，在课堂教学中，教师要力争再现发现、推导它们的情境，引导学生思维进入到当时的情境中去，使其与此结论蕴含的思维过程同步，让学生参与到知识的发生、发现过程中去.通过对公式的一步步探究，既能增强学生对两角和、差的正切公式的理解，又能从中体会“齐次式”及其变形手法.既推导出了公式，又掌握了弦化切的常用方法，使学生体会到联想转化的数学思想，培养学生大胆猜想，勇于探索，严谨求实的科学态度.

再例如，在学习微积分基本定理的过程中，教师如果不让学生自己探究推导定理的内在，只是给出定理的内容，直接运用定理计算积分值，那学生就体会不到微积分定理的巨大威力和广泛应用.所以教师教学中可以这样设置问题：

1）先通过学生熟悉的案例出发，根据路程和时间的解析式s=s（t），可以求得从时刻a到时刻b，物体走过的路程为s（b）-s（a）.这个问题学生在定积分的背景下已经研究过，对学生而言，不是一个新问题，因此探究起来较为容易.

2）接着从另外的角度分析如何求物体走过的路程，即如果知道在一定的时间段，物体运动的速度与时间的解析式v=v（t），就知道如何求物体走过的路程.

3）引导学生按照定积分的定义“分割—近似—求和”的思想试一试，采用分割时间段，近似求各个时间段的路程，再求和的方法也可以得出物体走过的路程也趋于s（b）-s（a）.这样自然就利用了微积分的基本思想，自然过渡到在给定区间内函数与导函数的关系.

4）在此基础上通过学生的分析讨论，归纳概括出微积分的基本定理，使得求定积分的问题变得简洁.而正是由于微积分定理的发现，使微积分作为一个整体成为研究宇宙万物运动性质的最有力的工具.同时学生也就对微积分基本定理有了更深层次的理解和认识，从而运用到定积分的计算应用中.展现数学定理的发生发展过程，重视学生的数学学习过程，是新课程改革所倡导的教学理念.要做到重视过程，必须先还原数学定理的原始发现过程，再还原学生的思维过程，即让学生亲身参与到数学知识的产生过程，而不是老师直接印证，学生被动接受理解.

三、课本例题、习题的探究

教材是编者智慧的结晶.教材的例题都是编者精心选编且具有示范性的典型题目，其类型和解法都有一定的代表性，是为了帮助学生巩固所学知识、掌握所学方法而设置的习题和练习.教师要挖掘各种题目中的探究因素，如解题方法，解题思路，变式结构等等.以教材中的例题、习题和练习为原材料，引导学生在常规解法的基础上做进一步的探究，寻找题目的其他解题途径或思路.

教师可结合实际精心设计容易使学生产生情感共鸣的问题情境，让学生亲身体验，主动探究，发现数学价值，从而构建“有效课堂”.

1分配问题：

问题1：你们班有a人，国家教育基金分给你们班学生生活费b（b>a）元，平均每人多少元？

问题2：你们班新增加m人，国家教育基金给你们班也增加了m元，平均每人多少元？

问题3：每人分得的平均值发生了怎样的变化？

问题4：你能得出怎样的数学结论？

2.比值问题：

问题1：已知直角三角形的两条直角边长分别为a，b（b>a），a边所对角的正切值是多少？

问题2：给两条直角边长都增加m，所得直角三角形中a+m边所对角的正切值是多少？

问题3：正切值发生了怎样的变化？

问题4：你能得出怎样的数学结论？

一道数学题，思考的角度不同，得到的思路也不同，在学生充分思考，讨论的基础上，师生共同寻求多种解法，探究解题思路，发展观察，想象，探究能力.对①②中探究所得的数学结论，在学生充分思考、讨论之后，教师可以引导学生就不等式证明的几种基本方法（比较法，分析法，综合法，反证法）共同寻求结论的证明方法，探究论证思路，发展学生的观察、想象、探究能力.

学生兴趣浓厚，思维处于活跃状态，对所得不等式的几种基本证明方法：作差法，分析法，综合法，反证法进行独立证明，熟练掌握.而还有些方法需要教师进行点拨，如：作商法，放缩法，函数法，增量法，斜率法等.所以教师要深入到学生中去，和他们一起讨论证明，最后总结”.

学生体验了证明的过程，在实践中获得到解决问题带来的愉悦感，虽然课堂教学时间毕竟有限，不能充分展示每一位同学的探究过程，但是只要他们能主动参与，发挥主动性，就提高了学习数学的兴趣.不同的学生有不同的数学能力、认知结构和思维品质.对待数学学习的目的和要求也不尽相同，他们的数学天赋也有一定的差异.所以可以采取分组讨论，取长补短，只要是学生经过探究，交流得到的结果，教师都应该给予鼓励和表扬，使其兴趣和探究的积极性得以保护，这样才能使所有学生都有不同程度的提高.

四、阅读与思考的探究

新课程教材中设置了较多的探究性内容，如“案例分析”“思考交流”“阅读材料”“动手实践”“课题学习”“探究活动”等拓展性栏目，给学生提供了探究性学习的素材.在课堂教学中，教师要利用这些素材引导学生在课内或课外展开数学探究，使得课内探究自然地延伸到课外，达到课内探究与课外探究有机结合的目的.

例如，教师在北师大版数学课本必修4讲完任意角三角函数概念后，课本设置了“思考与交流”，让学生探究角的终边分别落在第一象限、第二象限、第三象限以及第四象限时，三角函數值符号的变化规律.这个问题是学生在处理三角函数问题时最容易出错的问题，对学生形成“符号看象限”很有帮助.所以教师要引导学生对三角函数符号问题做进一步的探究.

问题1：各三角函数的定义是什么？其中各字母的含义是什么？

问题2：试分析三角函数的定义，探求什么是确定三角函数符号的主要因素？

问题3：四个象限点的坐标符号怎么确定的？

问题4：试探求x轴上方点的坐标符号特征，x轴下方点的坐标符号特征，y轴左侧点的坐标符号特征，y轴右侧点的坐标符号特征？