课程视野下的数学结构化教学

顾丽英

【摘 要】数学教材中每一个单元的知识点，都可以看作是整个数学学科知识体系中的一部分，如果把它们放进某一知识体系中去分析，就能凸显数学学科知识的整体性。学生在日常的学习中不断向更高的发展水平过渡，这需要有知识系统的助力，而数学结构化教学就是能够达到这一目标的卓有成效的教学方法。

【关键词】结构化教学 模型思维 动态思维 辩证思维

结构化教学是指教师通过整合丰富的教学资源，选择合适的教学方法，组织多元的学习活动，使学生的知识结构逐渐形成，并在一定层面上形成相关学科领域的基本观念，其中就包含学科基本思想。在结构化的数学教学中，学生可以顺利地走向整体关联的深度学习意义建构、灵活迁移应用和系统框架思维。

一、数轴模型思维结构——基于“数的认识”的结构化教学

在结构化教学中，教师必须站在教材整体逻辑体系的高度，从整体关联的视角出发，逐步引领学生理解、掌握数学知识的内在结构，达到对教材内容的二次加工和梳理组建。这样就可以顺利地将“知识点”串联成“知识链”，进而将“知识链”织成“知识网”，从而真正实现“点→线→面→体”的立体关联。

“数的认识”是学生数学学习的重要基础，数学教材以板块形式，将知识点划分为多个层次并分布在各年级。面对现有数学教材的这种编排方式，部分学生不能自主地将知识点联结成知识网。这就要求教师从整体知识的高度，沟通知识之间的横向联系，并且借助合理的直观模型，帮助学生逐步形成关于数的知识的多向性、网状结构的认知，即完整认知结构的建构。

数轴模型与数知识的形成是相伴相随的，在教学中，教师可以充分发挥数轴模型的作用。就像从数量到数的抽象过程，对于学生的认知来说，是一个质的飞跃，不能一蹴而就，而有了数轴模型，数量与直线上的点，就形成了一一对应的关系，数与形的内在联系就能直观地呈现在学生面前，使抽象的数有形可依，让思维有了真实可靠的依托。

1.借助数轴三要素，建立自然数知识结构

自然数按照序数逻辑从左往右依次是0，1，2，3，…，每相邻两个数相差1，右边的数比左边紧邻的数大1，每个自然数前面的一个数都是比它小1的自然数。这其实就是自然数顺序性、方向性、无限性和排列的等差性等特点的具体呈现方式。自然数不仅可以表示“第几个”，即序数意义，还可以表示成“几个”，即基数意义。这些意义和特征，如果在数轴上表示出来就是数轴的原点、单位长度和正方向三要素，以及向右无限延伸的特征。在教学时，可以根据数的知识的教学进度，逐步形成并完善数轴。

2.借助数轴单位长度，完善小数知识建构

在认识自然数时，我们可以清楚地看到，每一个自然数对应的点在数轴上有序且等距排列着。事实上，數轴上的点是紧密连续排列的。并且，任意两点之间可以无限制地不断细分，从而产生无数个点，这是数轴无限性的一个表现。值得一提的是，数轴上每两点间的距离不断平均分的时候，其实，数轴上任意连续两点之间仍旧会存在一个“距离”。这个距离就是我们说的单位长度。很明显，小数在数轴上所对应的单位长度比自然数更加抽象、更加复杂。这就需要教师利用直观的方式让学生先理解把单位“1”平均分成10份、100份、1000份后每一份的含义，并由此展开想象、推理，从而使学生在理解和建构数轴单位长度的同时，深刻理解小数的无穷小以及每两个小数之间小数个数无穷性的特点。

3.借助数轴左半轴，建构负数知识结构

引入负数，从运算的封闭性看，实现了数系的又一次扩展，实现了这个数系关于加减运算的自封闭，也就是说，两个有理数经过加减运算，它们的结果依然是有理数。如此一来，负数的出现也就成了必然。我们从实际表示的意义来看，有很多需要进行相反意义的描述，负数的出现也就应运而生。

在完全理解负数产生的必要性的基础上，如何引导学生精准架构负数知识结构呢？这就需要借助数轴左半轴了。负数在数轴上的表示方式与正数相比，单位长度的建构是完全一致的，不同的是，负数的无穷小对应的是数轴的向左无限延伸，方向与正数正好相反。在数的结构性教学中可以看到，借助数轴模型，可以便捷地完善数知识的建构，数轴模型的建构与数知识的结构性教学相辅相成。

二、数学动态思维结构——基于知识联系的结构化教学

所谓数学的动态思维，是以数学中动态的基本概念为基础，反映数学对象的运动、变化、发展过程及其数学对象间辩证关系的思维方法。

在小学阶段，“图形与几何”部分的知识点同样是逐层分布在各个年级的。如何运用动态思维结构，进行知识联系的结构化教学呢？这里，我们以“平面图形周长与面积的整理和复习”为例来进行分析。课前，教师指导学生把平面图形的周长和面积的相关知识运用思维导图进行梳理。（见图1）

课堂上让学生边展示边阐述：以长方形为起点，长方形的周长计算公式为C=（a+b）×2，长方形的面积计算公式为S=a×b。正方形是特殊的长方形（长、宽相等），由此推导出正方形的面积公式为S=a×a，周长计算公式为C=4a。再由长方形通过动态割补，沟通长方形与平行四边形之间的关系，即长与底相等，宽与高相等，于是推导得出平行四边形面积公式为S=ah。紧接着，由平行四边形展开，通过上底一端向左缩短至一点，动态呈现平行四边形变成三角形的过程，并揭示两者之间的关系：等底等高。据此可以看出，这个三角形面积是对应的平行四边形面积的二分之一，进而推导出三角形面积公式为S=ah÷2。梯形面积计算公式也是由平行四边形上底一端向左缩短至一定距离，两者之间的关系是梯形上底和下底的和等于平行四边形的底、等高，且可以看出梯形面积等于对应平行四边形面积的一半，于是可以推导得出，梯形面积计算公式为S=（a+b）×h÷2。对于圆的面积计算公式，我们可以这样推导：把圆转化成近似的长方形，长方形的长相当于圆周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径，于是由长方形面积公式推导得出圆面积计算公式为S=πr2，周长计算公式为C=2πr。（见图2）

在这一教学过程中，教师从数学动态中的基本概念“长方形”出发，利用图形运动培养学生的空间意识，引导他们通过思维导图将平面图形的周长和面积计算公式进行沟通、整理，通过锁定学习内容中的各个关键要素，并且对其进行关联分析，这样就可以逐步丰富学习内容的内涵，进而让学生将收获到的散点知识逐步连成一条线，再形成由显及隐、由形及数、由表及里的结构理解，再达成反向的由内及外的深度建构，从而使学生对小学阶段平面图形的周长和面积的知识建构有了清晰的脉络，形成了一个比较完整的知识结构，发展了学生的空间意识，同时培养了学生的结构化思维。

三、数学辩证思维结构——基于探索发现的结构化教学

一般来说，数学辩证思维都是从联系、运动、发展三个方面来考察对象的，它在数学学习和研究中起着重要的作用。在基于探索发现的结构化教学中，教师必须以发掘数学知识的本质为抓手，以整体建构方法结构为特征，以发展思维为导向，以培养数学核心素养为目标。如“角的度量”，这部分知识安排在四年级上册，我们可以发现，学生在二、三年级已经学过了时间、货币、长度、面积、质量的度量，接下来，还要学习体积、容积的度量。学习“角的度量”时，教师首先可以引导学生从深度建构维度帮助学生建立“度量”的知识结构，接着通过唤醒、潜移、融通知识，紧紧抓住知识的本质，进而帮助学生透彻理解1°和学习过的1元、1小时、1厘米、1平方米、1千克等一樣，也是一个度量单位，从而真正实现知识的正迁移，使学生达成对知识结构的学习和理解，形成知识的完整结构。

在这一过程中，我们还需要完成一个更重要的任务——方法的结构化，引导学生经历方法的统一过程，促进有深度的结构化教学的开展。在教学“角的度量”之前，教师可以提问学生：如何知道一条线段的长度？这样以度量的问题为载体让学生在知识储备中找到知识本质，接着将其迁移运用到解决“角的度量”问题中。“角的度量”这一知识点的学习是一个新知识的学习，但它与货币、时间、长度、面积、质量甚至以后要学习的体积、容积等度量是一体的，从这个层面上理解，就可以形成统一的方法结构。

还有一个更为重要的任务，即思维的结构化。这需要教师深度明晰思维的整体脉络，引导学生学会融会贯通。在教学中，教师可以把表象杂乱的问题整理得清晰有序，此刻需要思维结构化。因为思维结构化对于促进学生形成数学思维的内部秩序是非常有利的，还可以帮助学生实现认知结构的内部自我成长。在教学“角的度量”时，教师可以引导学生辨析几种不同的测量方法，在度量知识结构形成的基础上，让学生探索度量方法，加上经过回顾，沟通长度、面积、角的度量方法，此刻，学生脑中已经初步架构完成角的度量方法的思维结构。在这样的学习过程中，学生不仅经历了动手、动脑的过程，更实现了单、双向思维到立体思维的跨越。这样，学生可以不断完善和发展知识结构，进而使学习力和自我生长力得到最大化的提升。

综上所述，我们可以发现，数学结构化教学不仅可以帮助学生完整地建构数学知识，还可以帮助学生逐步完善思维结构，不断提升数学学习力，实现数学学习的高阶发展。