不同的视角 同样的精彩——以2023年全国新高考Ⅰ卷第18题为例

■河北省南宫中学 秘晓达 霍忠林

对立体几何中空间角计算的考查是高考中的热点内容。本文通过四种视角六种解法对2023年全国新高考Ⅰ卷第18题第二问进行多视角剖析,以期对同学们有所启示。

题目：(2023年全国新高考Ⅰ卷第18 题)如图1,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=2,|AA1|=4,点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,|AA2|=1,|BB2|=|DD2|=2,|CC2|=3。

(1)证明:B2C2//A2D2;(2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求|B2P|的值。

视角一、空间向量坐标法

该视角就是通过建立空间直角坐标系,写出点的坐标,进而求出所需向量,这种处理手段基本上不用作辅助线就能使问题得到解决,且解答过程具有可操作、可模仿、机械化的特点,因此受到大家的喜爱。

解法1:由题意知CD,CB,CC1两两垂直,如图2建立空间直角坐标系C-xyz。

图2

图3

则A2(2,2,1),C2(0,0,3),D2(2,0,2)。

取z1=2,可得m=(t-1,3-t,2)。

设平面D2A2C2的法向量n=(x2,y2,z2),则

取z2=2,可得n=(1,1,2)。

评注:本解法将二面角问题转化为两个法向量夹角问题来处理,这是利用空间向量坐标法处理二面角问题的最常用方法。

评注:本解法将二面角问题转化为两个向量夹角问题来处理,这种处理手段避开了求两个平面的法向量。

视角二、空间向量基底法

由空间向量基本定理可知:空间中的任意一个向量都可以通过空间向量的一组基底来表示,一般选取模和夹角均已知的不共面的三个向量作为基底。

视角三、传统法

该视角就是通过识别几何图形中的点、线、面的位置关系,通过添加辅助线来找出空间角,进而求得所求的结果,因此对同学们的逻辑推理能力要求较高。

解法4:如图4,不妨设点P在B2上 方,连 接A1C1,B1D1,设A1C1,B1D1交 于O1,连 接O1O,易 得B1D1⊥面AA1C1C。 而B1D1//B2D2,所 以B2D2⊥ 面AA1C1C,故二面角O1-A2C2-D2为90°。而 二 面 角PA2C2-D2为150°,故 二 面 角P-A2C2-O1为60°。过点P作PE//B1D1交O1O于E,则|B2P|=|OE|,PE⊥面AA1C1C。由解法2知PH⊥A2C2,连接EH,则∠PHE即为二面角P-A2C2-O1的平面角,所以∠PHE=60°。

在Rt△PEH中,∠PHE=60°,|PE|=,所以在Rt△EHO中

而∠EOH= ∠O1OC2,所以sin∠EOH=sin∠O1OC2,即|OE|=1,故|B2P|=1。

根据对称性,当点P在B2下方时,也有|B2P|=1。 综上可知|B2P|=1。

评注:本解法采取分割二面角P-A2C2-D2的策略,将二面角P-A2C2-D2转化为二面角O1-A2C2-D2和二面角P-A2C2-O1之和来处理。

解法5:如图5,不妨设点P在B2上方,连接A1C1,A1O,A1B2,A2P,其中A1B2交A2P于Q,连接OQ。

图5

易得|A1C2|==3=|A1A2|,所以A2C2⊥A1O。而四边形A2B2C2D2为菱形,故A2C2⊥B2D2。

而B2D2∩A1O=O,所 以A2C2⊥面A1B2D2,故A2C2⊥OD2,A2C2⊥OQ,故∠QOD2即为二面角P-A2C2-D2的平面角,即∠QOD2=150°,故∠QOB2=30°。

而|A1B2|=|A1D2|=|B2D2|=2,所以△A1B2D2为等边三角形,故∠QB2O=60°,∠OQB2=90°。

根据对称性,当点P在B2下方时,也有|B2P|=1。 综上可知|B2P|=1。

评注:本解法通过几何关系找出A2C2⊥面A1B2D2,从而直接得到∠QOD2为二面角P-A2C2-D2的平面角,从而利用比例关系得出所求结果。

视角四、等体积转化法

当其中一个半平面上的点(不是二面角棱上的点)到二面角的棱的距离已知时,此时只需求出该点到另一半平面所在平面的距离,就可以求出二面角(或其补角)的正弦值,因此本视角不需要作出二面角的平面角,只需求出点到另一个半平面的距离即可,求点到面的距离常采用等体积转化法来处理。

解法6:如图6,不妨设点P在B2上方,且|PB2|=x。易得OB2⊥A2C2,设点B2到面A2C2P的距离为h,由题 意 知 二 面 角P-A2C2-B2为 30°,则,所以作P点关于面ACC1A1的对称点P1,由正四棱柱的性质易得P1在棱DD1上,且|PB2|=|P1D2|,二面角P-A2C2-B2与二面角P1-A2C2-D2相等。作PH⊥A2C2,垂 足 为H,连 接P1H,则P1H⊥A2C2,故 ∠PHP1即 为 二 面 角P-A2C2-P1的 平 面 角。 而 二 面 角P-A2C2-B2为30°,所以∠PHP1=120°。

图6

根据对称性,当点P在B2下方时,也有|B2P|=1。 综上可知|B2P|=1。

评注:由于OB2⊥A2C2,二面角P-A2C2-B2为30°,所以可以求出点B2到面A2C2P的距离h,接着通过三棱锥的等体积转化即可找到h与x的关系,最后求出x的值。

综上所述,空间向量坐标法对同学们的数学运算素养较高,对于容易建系的试题优先选用此方法;但是对于一些不容易建系的试题,空间向量基底法和传统法更具有优势,其中空间向量基底法需要选择合适的空间基底向量,不需要找出空间角;传统法需要找出空间角,但是一旦找出空间角就可以利用三角形几何关系得出答案;等体积转化法也不需要找出空间角,它是利用一个半平面的点到另一半平面的距离与该点到棱的距离之比求出二面角的正弦值,这种转化很巧妙。