例析不等式问题的六个易错点

■石汉荣

易错点1：忽视字母的取值范围致错

例1(多选题)对于任意实数a,b,c,d,下列四个命题中的真命题是( )。

A.若a＞b,c≠0,则ac＞bc

B.若a＞b,则ac2＞bc2

C.若ac2＞bc2,则a＞b

D.若a＞b＞0,c＞d＞0,则ac＞bd

错解：对于A,若a＞b,当c＜0 时,则ac＜bc,A 错误。对于B,若a＞b,则ac2＞bc2,B正确。对于C,若ac2＞bc2,则c2＞0,所以a＞b,C正确。对于D,若a＞b＞0,c＞d＞0,则ac＞bc＞bd,D 正确。应选BCD。

错因：对于B,忽视了c=0的情况。

正解：对于A,若a＞b,当c＜0 时,则ac＜bc,A 错误。对于B,若a＞b,当c=0时,ac2=bc2,B 错误。对于C,若ac2＞bc2,则c2＞0,所以a＞b,C正确。对于D,若a＞b＞0,c＞d＞0,则ac＞bc＞bd,D 正确。应选CD。

易错点2：多次运用不等式性质致错

例2已知-1＜2a+b＜2,3＜a-b＜4,求5a+b的取值范围。

错因：由已知条件单独求出a,b的范围,会导致它们的范围变大。

正解：令5a+b=λ(2a+b)+μ(a-b)=(2λ+μ)a+(λ-μ)b,则解得所以5a+b=2(2a+b)+(a-b)。

因为-1＜2a+b＜2,所以-2＜2(2a+b)＜4。又3＜a-b＜4,所以1＜2(2a+b)+(a-b)＜8。

故5a+b的取值范围为(1,8)。

易错点3：忽视一元二次不等式的二次项系数的讨论致错

例3若不等式mx2+2mx-4＜2x2+4x对任意x都成立,则实数m的取值范围是( )。

A.(-2,2) B.(2,+∞)

C.(-2,2] D.[-2,2]

错解：mx2+2mx-4＜2x2+4x可化为(2-m)x2+(4-2m)x+4＞0。由题意得解得-2 ＜m＜2。故实数m的取值范围是(-2,2)。应选A。

错因：上述解法没有对二次项系数2-m进行讨论。

正解：mx2+2mx-4＜2x2+4x可化为(2-m)x2+(4-2m)x+4＞0。

当m=2时,不等式为4＞0,这时不等式恒成立,满足题意;当m≠2 时,由题意得解得-2 ＜m＜2。

综上可得,实数m的取值范围是(-2,2]。应选C。

易错点4：应用基本不等式求最值时,忽视不等式成立的条件

例4当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4＜0恒成立,则m的取值范围是( )。

A.m≤-5 B.m＜-4

C.m＜5 D.m≥5

错因：令,即x2=4,而x∈(1,2),所以x2=4 不成立,即应用基本不等式求最值时,没有考虑不等式取等号的条件。

易错点5：忽视一元二次不等式中两根的大小致错

例5已知集合A={x|x2-(3a-1)x+2a2-a＜0},B={x|x2-4x+3＜0},命题P:x∈A,命题Q:x∈B,若P是Q的充分条件,求实数a的取值范围。

错解：已知P:x∈A,Q:x∈B,若P是Q的充分条件,则A⊆B。

错因：由参数a的范围不确定,可知a与2a-1 的大小关系不确定,故需对两根的大小分类讨论。

正解：已知P:x∈A,Q:x∈B,若P是Q的充分条件,则A⊆B,所以对A分情况讨论求解。

综上可得,实数a的取值范围是[1,2]。

易错点6：忽视一元二次方程根的分布条件致错

例6若方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根都大于2,则实数m的取值范围是____。