含有量词命题的真假判断技巧

■陈荣庆

含有量词命题(全称量词命题、存在量词命题)的真假判断及其综合应用问题,是比较常见的一种基本题型,也是高考的常考题型。判断全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;判断存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只要在限定集合内找到一个x=x0,使p(x0)成立即可。由此,产生一些与之相关的命题真假的判断技巧与方法。

一、特值法判断真假

含有量词命题的真假判断中,有时可以通过特殊值、特殊元素等进行合理验证,根据特殊值代入原问题,即可判断命题的真假。特值法经常用来判断存在量词命题是真命题或用来判断全称量词命题为假命题。

例1(多选题)下列命题中的假命题是( )。

A.∃x∈R,tanx=1

B.至少有一个实数x,使得x2≤0

C.∀x∈R,2x＞x2

D.两个无理数的和必是无理数

分析：根据题设条件,A、B是存在量词命题,C、D 是全称量词命题。通过特殊值代入对应的命题,分析与判断命题的真假。

解：A 中,当x=45°时,tanx=1,所以此命题为真命题。B中,当x=0时,x2=0≤0,所以此命题为真命题。C 中,当x=2 时,2x=x2=4,不满足2x＞x2,所以此命题为假命题。D 中,当两个无理数分别为时,其和不是无理数,所以此命题为假命题。应选CD。

在存在量词命题中,特殊值代入使得结论成立时,则可以判断该命题为真命题;在全称量词命题中,特殊值代入使得结论不成立时,则可以判断该命题为假命题。

二、反例法判断真假

含有量词命题的真假判断中,当直接判断存在一定困难时,借助相应的反例来判断更加有效。反例法常用来判断全称量词命题的真假。

例2(多选题)现有下列命题,其中真命题是( )。

A.∀x∈R,-x2＜0

B.所有素数都是奇数

C.∃x∈R,x2-x-1=0

D.若p:∀x∈N,x2≥1,则¬p:∃x∈N,x2＜1

分析：根据题设条件,A、B 中通过举反例,利用特殊值的选取来判断命题的真假。C中,利用方程的解进行判断。D 中,全称量词命题的否定是存在量词命题。

解：A 中,当x=0 时,-x2=0,所以此命题为假命题。B中,因为2是素数,但其不是奇数,所以此命题为假命题。C 中,由方程x2-x-1=0,解得,所以此命题为真命题。D 中,因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以此命题为真命题。应选CD。

在全称量词命题中,特殊值代入使得结论不成立时,则可以判断该命题为假命题。

三、综合法判断真假

含有量词命题的真假判断中,借助相关知识间的综合、条件间的关联等进行必要的逻辑推理,利用综合法,通过推理分析来判断命题的真假。

例3(多选题)下列命题中的真命题是( )。

A.∀x∈Z,x2的个位数字不等于3

B.设非空集合P,Q满足P∩Q=P,∀x∉Q,都有x∉P

C.存在钝角三角形的内角不是锐角或钝角

D.∃x∈(0,1),x2=

分析：通过对命题进行合理的推理与分析,将数的运算、集合的运算、三角形的性质、函数的图像与性质等知识加以交汇与融合,进行综合推理与分析。

解：A 中,∀x∈Z,其个位数字是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,则x2的个位数字是0,1,4,5,6,9,不可能等于3,符合题意,所以此命题为真命题。B中,由P∩Q=P,可知P⊆Q,则∀x∈P,都有x∈Q,此时该命题为真命题,则其逆否命题为:∀x∉Q,都有x∉P,根据原命题与逆否命题的关系知其也是真命题。C中,因为任意的钝角三角形,其内角和是180°,所以对应的内角是两个锐角和一个钝角,所以此命题为假命题。D 中,作出函数y=x2与的图像(图略),结合图像可知交点坐标为(1,1),故不符合题意,此命题为假命题。应选AB。

结合各命题中相关知识加以展开与综合,或逻辑推理,或数学运算,然后直接分析与判断相关命题的真假,这是判断此类命题的真假时比较常用的技巧与方法。

四、否定法判断真假

全称量词命题或存在量词命题的真假判断,可以转化为原命题的否定的真假判断。原命题是真命题(或假命题),其对应的否定就是假命题(或真命题)。

例4判断下列命题的真假。

(1)∃x∈R,使得-x2-1≥0。

(2)存在一个负数x,使得

分析：判断命题的真假需要进行必要的逻辑推理或数学运算,而通过命题的否定,直接分析否定命题的真假,从而可得原命题的真假。

解：(1)中命题的否定:∀x∈R,-x2-1＜0。

因为∀x∈R,-x2≤0,所以-x2-1≤0-1＜0,即-x2-1＜0成立,该命题的否定为真命题,所以(1)中的命题为假命题。

(2)中命题的否定:任意一个负数x,都有

因为任意一个负数x,都有成立,该命题的否定为真命题,所以(2)中的命题为假命题。

否定法判断全称量词命题或存在量词命题的真假时,往往先把相应的命题加以否定,通过判断对应否定命题的真假,再反过来判断原命题的真假。利用否定法的转化来判断命题的真假,有时可以更容易判断。

1.若x∈A,且∈A,则称A是伙伴关系 集 合。 集 合3,4}的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合个数为( )。

A.15 B.16 C.64 D.128

2.若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},且B∩A=B,则实数m的取值集合为____。