分类讨论思想在初中数学解题中的应用

方茹

摘要： 在素质教育不断开展的今天，数学教学逐渐从知识本位教育演变为能力本位教育，而数学解题能力的培养则是能力本位教育的重点内容。初中阶段，很多数学问题的答案往往不具有唯一性，需要学生分类讨论各种可能，因此教师更应该有针对性地培养学生的分类讨论思想。本篇论文首先介绍了分类讨论思想的内涵与要点，进一步讨论在数学解题过程中分类讨论思想的应用方式，包括深化例题讲解、注重错题分析、加强变式练习等。

关键词： 初中数学  分类讨论思想  应用

在初中阶段，数学是非常重要的课程之一，但也是较难的课程。这门课程的抽象性和逻辑性很强。同时，数学属于应用性课程，要求学生拥有较高的学习能力。因此，在课程教学中既要重视基础知识的讲解，也要重视学生数学思想的培养。数学课程以数量关系、空间形式为主要内容，数学思想则是存在于人们的意识中，通过思维来产生相应结果。可见，数学思想是对数学事实和理论的概括性认知。从解题层面来看，在初中数学中会用到很多数学思想，比如数形结合，整體、分类讨论思想等。其中分类讨论思想就是非常重要的数学思想之一，其在初中数学解题过程中有着非常显著的应用价值。

一、分类讨论思想的内涵与要点

分类讨论是极为常见的，因为在实际生活中，事物往往具有多样性，难以从一个角度来解读、研究，分类讨论就成为多角度、深层次把握事物的重要策略。数学分类讨论思想来自日常生活中的分类讨论，只不过其是从数学本质属性的异同出发，未将相关对象分为不同的类别。针对每一个类别来展开单独研究，获得相应研究成果再将其和题目条件有效结合起来，并得出有效结论。从本质上说，分类讨论就是化整为零。

在初中数学解题过程中，分类讨论是应用最多的思想之一，分类讨论思想是学生数学解题的利器。从提高解题效率，保障解题正确性的角度而言，分类讨论思想的应用要点主要有以下几点：

（一）要对分类讨论的对象予以明确

确定分类讨论对象是找准解题方向的钥匙。从历年中考真题来看，初中数学解题中的分类讨论主要对象有：一是图形位置不确定而引发的分类讨论，最为典型的便是两圆相切、两圆相交问题。如已 知⊙O  1 、⊙O  2 半径分为别为10和17，在A、B两点相交，两圆的公共弦AB长为16，试求出圆心距O  1 O  2 和∠O  1 AO  2 。二是含参数问题的分类讨论。初中阶段的数量关系更为复杂，参数取值成为分类讨论的常见因素，特别是在不等式、方程等的解题中，学生需要综合考虑不同取值范围下的答案。三是具体问题中的分类讨论，常见的有分段函数应用题中的分类讨论等。

（二）把握分类讨论的原则

分类讨论是一项较为系统的工作，要确保分类讨论的有效性，就应该对其原则予以准确把控。具体原则如下：一是同标准原则。无论从何种角度进行分类讨论，分类标准必须是统一的，以三角形问题为例，分类标准既可以是角也可以是边，但切忌标准模糊，或者不同标准混用。二是不遗漏原则。同一标准下的分类讨论，要确保所有可能性均纳入讨论中，既要做到不遗漏，也要做到不重复。三是层次性原则。一些综合性的数学问题，一次分类往往不够，解题中要做到有层次分类，在一次分类的基础上，进行二次分类。

（三）规范分类讨论的步骤

在一些数学问题的解题过程中，学生已经知道需要采用分类讨论思想，但在实际的应用中往往无法拿到满分，这和解题步骤简略有很大的关系。因此，规范分类讨论的步骤就成为提高学生解题能力的必然要求。首先，从具体的问题出发，明确研究的全域以及分类讨论的对象，为接下来解题工作的开展奠定基础；其次，针对预计讨论的问题，进行科学合理的分类，坚持同标准、不遗漏、层次性的基本原则；再次，逐一开展讨 论，从已经分类的具体问题出发，逐步解决细分问题，比如a＞0，a=0和a＜0的情况；最后，整合所有 讨论的内容，得出问题的最 终解 。

（四）选择分类讨论的总结方式

常见的分类讨论总结方式有以下三种，分别为：一是并列式总结，如当……时，有……，当……时， 有…… ，二是并集归纳，如……或……，三是交集归纳，如……且……，比如，两个相切的圆圆心距为7，一个圆半径是4，问另一个圆半径是几？本题求解中，学生要考虑两个圆相切的情况，先画出相切的两种可能性，再以并集归纳的形式得出3或11。又如，出租车计价问题是初中数学的常见问题，出租车计价问题为典型的函数问题，当出行范围在3公里以内时，价格是固定的，而当出行范围在3公里以上时，增加的距离与价格成正比例的关系，因此总结方式为并列式总结。

二、分类讨论思想在初中数学解题中的应用

（一）深化例题讲解

数学思想的培养不同于数学知识的传授，仅靠理论讲解难以取得理想的效果。从解题的角度而言，数学思想的应用必须和具体问题结合起来，这也是强化学生解题能力与效果的客观需要。因此，教师要深化例题讲解，从以下三个角度选择好例题：一是经典性。例题选择要从历年中考的真题中选择经常考查、具有代表性的题型，这也能够让学生实现触类旁通的效果。二是基础性。之所以要讲解例题就是为了让学生更好地掌握分类讨论思想应用的方法，题目的难度要适中，让大多数学生都能通过例题分析把握分类讨论思想的应用要点。三是多样性。初中数学问题中需要使用分类讨论思想的题目有很多，最为常见的便是应用题。应用题多从生活背景出发，将数学知识融入生活背景中，既考查学生的数学知识、技能，也考查学生的阅读分析能力。因此，加强数学阅读训练就成为提高学生解决数学问题能力的必然要求。应用题中的语言既包括文字语言，也包括数学语言，有时候还会有一些图表，教师要引导学生解读各类语言中的信息，弄清楚题目的实质，从题目内容出发，构建相应的数学模型。

举例而言，某工厂生产一种热水壶和保温杯，其中，热水壶单价为200元，保温杯单价为40元。国庆期间，厂家为回馈新老客户，准备展开两种优惠，一是消费者每购买一个热水壶，就送一个保温杯，第二种方案是热水壶与保温杯均按原先价格的九折出售。某超市老板希望进货20个热水壶和若干个保温杯（ 数量超过热水壶），如果你是超市老板，你会选择什么样的方案。这是一道典型的分类讨论题，且涉及二次分类的问题。学生首先要从方案一、方案二出发，进行分类。应付款为200×20+（x-20）×40，即40x+3200，当采用方案二时，应付款（200×20+40x）×90 % =36x+3600，此时，学生可以通过设函数的形式来求解，将应付款作为因变量y，另y=（40x+3200）-（36x+3600），简化后为y=4x-400，再分别讨论y＞0，y=0以及y＜0的情况。分类讨论题目的内涵决定了不确定性是分类讨论题目最为基本的属性。学生在解题中可以从不同的角度来思考求解，与常规数学题目不同。分类讨论题目的答案 往往不止一个，学生在求出答案后，还要进一步扩大思考范围，尝试得出其他的答案，这使分类讨论题目具有强烈的发散性。

（二）注重错题分析

与常规数学题目相比，学生在涉及分类讨论思想的数学题目解题中犯错率更高，这和此类题目答案的开放性特征有密切的关系。在解题中，学生可能会出现各种错误，所以教师应该重视错题分析，从学生解题中的高频错误、典型错误出发，搜集汇总错题资源，并从分类讨论思想应用步骤出发，开展讲解工作。因此，妙用错误就成为强化学生解题能力的必然要求。

比如 ，已知线段AB长12厘米，在直线AB上有一点C，BC=4厘米，M为AC中点，求线段AM的长。学生在解题中很容易出现遗漏的现象，仅仅考虑到点C在线段AB上的情况。题目给出的条件为点C在直线AB上，因此，点C还有可能在点B的右侧。对此，教师可以在分类讨论中引入数形结合思 想，从题目给出的条件出发，画出可能的图形，通过直观的图像让学生了解该类题目的求解方法。類似的题目还有很多，比如，某初中学校为了了解本校初三学生一分钟跳绳个数的情况，从初三学生中随机选择了男生2名，女生3名，再从这5名学生中抽出2名来跳绳，问：恰好选择到1男1女的概率。本题涉及二次分类的问题，学生在分类讨论中，要先对第一人的性别进行分类，再分别讨论第一种情况下的第二种分类，比如第一个选择的学生为女生，第二个选择的可能性包括女、女、男、男四种，第一个选择的学生为男生，第二个选择的可能性包括女、女、女、男四种。

在错题运用中，教师要将思维能力的培养和错题分析紧密地结合起来。思维能力是学生学好数学的基础能力，同样，思维能力和解决数学问题能力紧密相关，学生只有在具备思维能力，特别是高阶思维能力的基础上，才能找到解决数学问题的思路。因此，教师要着力促进学生的思维发展。比如，培养学生的转化思维。一些数学问题看似复杂，但只要做巧妙的转化，问题便迎刃而解。再如，培养学生的逆向思维。逆向思维也称为求异思维，属于创造性思维的范畴。学生采用逆向思维可以更好地突破常规性思维，从更多层面来展开思考，寻求解决问题的方式。这样既可以使学生的解题技巧更为丰富，也可以有效提升学生的解题能力。

（三）加强变式练习

变式练习是错题资源转化以及强化学生运算能力的有效手段。及时的变式练习能够第一时间让学生采用正确的方式来解决问题，同时也能够有效检验学生的学习效果。教师要做好变式练习的工作，为学生布置一些类似的题目。为进一步提升学生的计算能力，强化学生的知识掌握水平，教师在分析错题以及变式练习的基础上，要做好拓展延伸的工作，借助一些有思考价值的题目来提高学生的学习 效果 。

例如 ，原题为求函数y=（k-1）x 2-kx＋1与x轴的交点坐标。尽管函数看似二次函数，但题目并没有明确告知学生为二次函数，因此存在一次函数的可能。当k的取值为1时，函数为一次函数y=-x＋1，与x轴的交点坐标为（1，0），而当 k≠1 时， 函数为二次函数。二次函数图像与x轴的交点个数与判别式Δ有关，学生要分别讨论Δ＞0以及 Δ=0 两种 情况，分别求出两种情况下的交点坐标。

分类讨论题目在提升学生的数学解题能力方面有着极为重要的意义，其应用价值非常高。专项训练则是通过解题来进一步提升学生展开分类讨论的有效方式。一般来说，可以在复习时展开对分类讨论题目的专项解答，将相关内容展开梳理和整合，采用专题教学的方式对学生的整体学习效果予以加强。在相关专题中，占据主要位置的是应用题，且在分类讨论题目中，应用题也是最难最复杂的一类题型。在各种考试中，应用题所占的分量也非常大，因此也是很多学生感觉困难的题型。在面对较为复杂的应用题时，学生如果没有读懂题目，就会不知道该怎样着手解答，思路不清晰自然也很难得到正确的答案。因此，教师应该多用几个课时来对这一类型的题目进行专题讲解，明确这类题目的特点，并提出相应的解题方法， 帮助学生提高系统解决问题的能力，也为今后学生解答该类题目 构建良好基础。在教学中，问题的解答方式有很多，可以正向思维， 也可以逆向思维，因此教师应该鼓励学生采用多种思维方式来解答题目。同时，在练习时也可以让学生在获得正确答案之后，再思考还有没有其他的解题方式，使学生的思维更加开阔，解题效率也会 更高 。

三、结语

小学阶段的数学问题，往往仅有唯一解，换言之，答案是固定的，由此导致的结果便是学生的思维具有明显的单向性。初中阶段，数学课程的复杂性大为提升，特别是数量关系中，引入了字母代替数字，数学问题逐渐从单向性向多样性转变，而分类讨论思想的培养与发展则是适应课程教学内容变化的基本要求。因此，教师在课程教学中要高度重视学生分类讨论思想的培养，以数学解题为切入点，从深化例题讲解、注重错题分析、加强变式练习等维度采取好措施，提高数学课程的教学效果。

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责任编辑：赵潇晗