关于Euler函数的一个非线性不定方程的可解性

肖盈，姜莲霞

(1.喀什大学 数学与统计学院，新疆 喀什844000；2.喀什大学 现代数学及其应用研究中心，新疆 喀什 844000)

Euler函数φ(n)是数论研究中的一个重要函数。在数论中,数论函数方程可解性的讨论一直是令人关注的研究领域[1]。对于包含Euler函数形如

φ(x1…xn)=k1φ(x1)+…+knφ(xn)

(1)

的线性方程可解性问题有着不少的研究结果,文献[2]讨论了方程φ(x1x2)=11φ(x1)+11φ(x2)的所有整数解;文献[3]讨论了方程φ(x1x2)=7φ(x1)+13φ(x2)的所有整数解;文献[4]讨论了方程φ(x1x2x3)=6(φ(x1)+φ(x2)+φ(x3))的所有整数解;文献[5]讨论了方程φ(x1x2x3)=φ(x1)+2φ(x2)+3φ(x3)的所有整数解。

对于包含Euler函数φ(n)的形如

φ(x1…xn)=k1φ(x1)+…+knφ(xn)+c

(2)

的非线性方程可解性问题的研究有着丰富的研究结果,文献[6]讨论了方程φ(x1x2)=φ(x1)+6φ(x2)+6的所有整数解;文献[7]讨论了方程φ(x1x2)=φ(x1)+28φ(x2)+28的所有整数解;文献[8]讨论了方程φ(x1x2)=3φ(x1)+ 4φ(x2)+16的所有整数解;文献[9]讨论了方程φ(x1x2)=4φ(x1)+7φ(x2)+28的所有整数解;文献[10]讨论了方程φ(x1x2)=7φ(x1)+8φ(x2)+16的所有整数解;文献[11]讨论了方程φ(x1x2)=9φ(x1)+16φ(x2)+24的所有整数解;文献[12]讨论了方程φ(x1x2)=k1φ(x1)+k2φ(x2)+c2的可解性,其中k1,k2,c为勾股数且gcd(k1,k2,c)=1;文献[13]讨论了方程φ(x1x2x3)=3φ(x1)+4φ(x2)+5φ(x3)-14的整数解;文献[14]讨论了方程φ(x1x2x3x4)=φ(x1)+ 2φ(x2)+3φ(x3)+4φ(x4)+6的所有整数解。对方程(2)的可解性问题,本文将讨论当n=2,k1=7,k2=8,c=18的情况,即讨论方程

φ(mn)=7φ(m)+8φ(n)+18

(3)

的可解性,利用初等方法给出其全部的正整数解。

1 引理

引理1[15]对任意的正整数m与n,若m|n,则φ(m)|φ(n)。

引理2[15]对任意的正整数m与n,有

其中d为m与n的最大公因数。

引理3[16]当n≥2时,有φ(n)

2 主要定理及证明

定理1不定方程(3)有正整数解(m,n)=(11,69),(11,92),(11,138),(22,69),(83,15), (83,16),(83,20),(83,24),(83,30),(166,15),(9,93),(9,186),(18,93),(9,99),(9,198),(18,99),(18,18),共17组。

证明令gcd(m,n)=d,则d|n,d|m。由引理1可得φ(d)|φ(n),φ(d)|φ(m),则有φ(m)=m1φ(d),φ(n)=n1φ(d),其中m1,n1∈Z+,其中Z+为正整数集合。结合引理2,有

dm1n1φ(d)。

再由方程(3),有φ(d)(dm1n1-7m1-8n1)=18。结合引理3,则有φ(d)=1,2,6,18。以下就φ(d)的值分别加以讨论。

情况1当φ(d)=1,此时d=1,2,且

dm1n1-7m1-8n1=18。

(4)

1)当d=1时,由式(4)有m1n1-7m1-8n1=18,从而有(m1-8)(n1-7)=74,则有:

2)当d=2时,由式(4)有2m1n1-7m1-8n1=18,即(m1-4)(2n1-7)=46,则有:

情况2当φ(d)=2,此时d=3,4,6,且

dm1n1-7m1-8n1=9。

(5)

1)当d=3时,由式(5)有3m1n1-7m1-8n1=9,可得(3m1-8)(3n1-7)=83,则有:

2)当d=4时,由式(5)有4m1n1-7m1-8n1=9,即(4m1-8)(4n1-7)=92,则有:

3)当d=6时,由式(5)有6m1n1-7m1-8n1=9,可得(3m1-4)(6n1-7)=55,则有:

情况3当φ(d)=6,此时d=7,9,14,18,且

dm1n1-7m1-8n1=3。

(6)

1)当d=7时,由式(6)有7m1n1-7m1-8n1=3,可得(7m1-8)(n1-1)=11,则有:

此时上述方程不存在正整数解,因而此时方程(3)无整数解。

2)当d=9时,由式(6)有9m1n1-7m1-8n1=3,可得(9m1-8)(9n1-7)=83,则有:

3)当d=14时,由式(6)有14m1n1-7m1-8n1=3,可得(7m1-4)(2n1-1)=7,则有:

此时上述方程不存在正整数解,因而此时方程(3)无整数解。

4)当d=18时,由式(6)有18m1n1-7m1-8n1=3,可得(9m1-4)(18n1-7)=55,则有:

情况4当φ(d)=18,此时d=19,27,38,54,且

dm1n1-7m1-8n1=1。

(7)

将d=19,27,38,54逐一代入式(7)解相应的不定方程均不存在正整数解,因而此时方程(3)无整数解。

综合以上4种情况的讨论,可得定理1。证毕。