基于“根+空”理念的数学专题复习教学

王伟　栾功

［摘 要］基于“根+空”理念的数学专题复习教学的核心在于“寻根置空”。文章以“一次函数”的专题复习课为例，探讨如何寻学生认知的“根”，并通过问题置空留白，让学生经历知识体系重构、问题解决的过程，促使学生的数学经验向数学思维进阶，促进学生核心素养的发展。

［关键词］“根+空”理念；专题复习；一次函数

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）17-0009-04

一、问题的提出

专题复习课是日常数学教学中的一种常见课型，数学一线教师在专题复习课中常采用两种教学模式，一是“讲练式”教学，以教师讲授知识为主，从知识梳理、重难点讲解到典型例题剖析，学生的问题解决水平主要停留在模仿和记忆的层面；二是“互动式”教学，教师设置问题链，搭建好“脚手架”，引导学生开展复习，并提炼方法和结论。在这些教学模式下，一旦缺乏教师对问题的分解以及教师不能层层设计递进问题，学生在独立解决问题时就会无从入手。这样的课堂很热闹，但学生实际学习效果不佳，学生发现问题、分析问题、解决问题等能力的培养也有所欠缺。

二、基于“根+空”理念的数学专题复习教学模式构建

基于“根+空”理念的专题复习教学的关键点在于做好课堂教学的前置研究，寻根抓根，依托“基础”“概念”“公式”“原理”“思想”等寻找知识的生长点及思维的起点，挖掘问题的本质（根），找到思维的回归点（根）。寻根主要依托教师对于“四基”的把握和理解。

“根”依据四基可分为知识之根、技能之根、方法之根和经验之根四种类型。针对相同内容，复习课的“根”和新授课的“根”是有所区别的，复习课的“根”依托于新授课且是在新授课的“根”的基础上进阶。以“一次函数”的专题复习课为例，其知识之根体现于学生已经初步掌握一次函数的图象与性质、一次函数与方程、不等式的相关知识；技能之根体现于学生可以初步借助一次函数的相关知识解决问题；方法之根体现于学生对数形结合思想、分类讨论思想等能够牢固掌握；经验之根体现于学生能够借助函数解析式画出函数图象，并借助函数图象研究函数的相关性质。

“空”指的是置空留白，置空留白的意义在于为学生创设更多的学习机会。基于“根+空”理念的数学专题复习教学可分为四步：创设情境，自主建构；适时小结，生成思维；典例导引，拓展思维；感悟提升，形成素养。在基于“根+空”理念的数学专题复习教学中，教师创设一个开放性问题情境，通过让学生主动发现和提出问题的方式引导学生进行知识体系的自主建构；适时小结，将专题复习内容进行梳理提炼，帮助学生完善知识体系；通过典型例题引导学生进行辨析及变式，将教学内容问题化，将问题思维化，使学生的思维可视化，让学生在解决问题的过程中实现对知识的迁移与应用；总结问题解决的策略与方法，深化学生思维，突出问题解决的通性通法，促进学生深度学习，提升学生数学素养。

三、基于“根+空”理念的数学专题复习教学实施

（一）创设情境，自主建构

教师：同学们，我们已经学完了一次函数，请大家观察一次函数的图象，并结合函数图象提出一个数学问题，然后展示问题，由其他同学解答。

学生听说自己提出问题可以由其他同学解答，纷纷观察函数图象，并从不同的角度提出了以下问题。

问题1：这种图象是什么函数的图象？

问题2：如何求一次函数[y=kx+b]的解析式？

问题3：一次函数与坐标轴的交点是怎样的？

問题4：一次函数的图象的变化趋势如何？

问题5：观察一次函数[y=kx+b]的图象，[y=0]时，[x]的值为多少？

问题6：观察一次函数[y=kx+b]的图象，当[y>0]时，[x]的取值范围是什么？当[y<0]时，[x]的取值范围是什么？

教师：这些问题是从有关函数的哪些角度提出的？大家还可以从其他角度提出问题吗？

教师：这些问题分别是从一次函数的定义、一次函数的解析式、一次函数与坐标轴的交点、一次函数的图象特征（增减性）、一次函数与方程的关系、一次函数与不等式的关系等角度提出的，我们还能从哪些角度提出问题？

学生认为还可以提出以下问题。

问题7：当[kx+b=2]时，求[x]的值。

问题8：当直线[y=kx+b]的图象向上或向下或向左或向右平移2个单位时，求平移后直线的解析式。

问题9：当直线[y=k1x+b1]与直线[y=k2x+b2]平行或垂直时，它们的系数又有什么关系？

教师：刚才大家从不同的角度提出了很多关于一次函数的问题，请大家针对以上出现的知识点进行分类整理，画出一次函数的全章知识结构图，画完知识结构图以后，可相互参考完善，最终形成一个较为完整的知识结构图。

教学设计及实施说明：教师创设一个开放的问题情境，让学生结合情境提出问题，并且展示自己提出的问题由其他同学解答。在解决问题的过程中，学生对于一次函数的知识进行回忆、重组，先独立绘制知识结构图再相互补充，最终形成较为完整的知识结构图。在学生不断地从不同的角度提出问题和回答问题的过程中，教师置空留白，而学生在补白的过程中自主完成知识的建构，成为知识建构的主动参与者。这种教学方式，学生十分喜欢，在这样的教学中，学生参与度很高，更容易内化知识，思维能力得到了有效提升。

（二）适时小结，生成思维

教师适时小结（如图1），将专题复习内容进行梳理提炼，帮助学生有效构建知识体系。

教学设计及实施说明：教师适时小结，梳理提炼复习内容，使得学生的一次函数的知识结构从内隐化到外显化，帮助学生形成完整的知识体系，并且进一步内化理解相关知识。

（三）典例导引，拓展思维

［例1］如图2所示，平面直角坐标系中，直线[y1=kx+b]与[x]轴交于点[A（6，0）]，与[y]轴交于点[B]，与直线[y2=2x]交于点[C（a，4）]。求点[C]的坐标及直线[AB]的表达式。

变式1：点[M（x1，m）]，[N（x2，n）]在[y1=kx+b]图象上，当[x1<x2]时，比较[m、n]的大小。

变式2：当[y1=y2]时，求[x]的值。

变式3：当[y1<y2]时，求[x]的取值范围。

变式4：如图3所示，在[x]轴上有一点[E]，过点[E]作直线[l⊥x]轴，交直线[y=2x]于点[F]，交直线[y=kx+b]于点[G]，若[GF]的长为3，求点[E]的坐标。

变式5：在[y]轴上是否存在一点[H]，使以[O]、[C]、[H]为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点[H]的坐标；若不存在，请说明理由。

简析：将点[C]的坐标代入直线[y=2x]的解析式即可得出[a=2]，即得[C]点坐标[（2，4）]，再用待定系数法求出直线[AB]的表达式[y=-x+6]，主要考查代入法求一次函数解析式。已知图象两点坐标可求一次函数解析式。

变式1：由于[k=-1]，图象下降，[y]随[x]的增大而减小，当[x1<x2]时，[m>n]，考查一次函数图象的增减性。

变式2：当[y1=y2]时，[x=2]，考查一次函数与方程的关系。

变式3：当[y1<y2]时，[x>2]，考查一次函数与不等式的关系。

变式4：设点[E]的坐标为[（t，0）]，由直线[l⊥x]轴，点[F]、点[G]、点[E]的横坐标相同，代入直线[AB]的表达式[y=-x+6]和直线[OC]的表达式[y=2x]，写出点[F（t，2t）]、点[G（t，-t+6）]，由[FG=3]，可得方程[2t-（-t+6）=3]，解得[t=3]或[t=1]，从而求得点[E]的坐标为[（3，0）]或[（1，0）]。借助函数点的坐标表示线段长度，转化为有关线段的几何计算，考查应用函数图象性质解决简单的几何图形问题的能力。

变式5：根据题意，要使以[O]、[C]、[H]为顶点的三角形是等腰三角形，则分[OH=OC]，[CH=OC]，[HO=HC]三种情况，分情况讨论，求得点[H]的坐标是

教学设计及实施说明：通过对典型例题的剖析及变式，使例题成为能一题多变的“题根”。教学时，教师可以运用一题多变的方式来培养学生思维的灵活性，并且鼓励学生从不同的角度去思考问题，避免思维固化，进而培养学生思维的发散性。变式教学的应用，能够借助题目的变式达到复习巩固延伸知识点，照顾优等生和后进生的目的，提高学生的课堂参与度。教师可引导学生掌握数学问题中的文字、图形、符号语言之间的转化关系，搭建条件和问题求解之间的桥梁，帮助学生掌握解决问题的基本方法和基本思路，拓展学生的认知思维，提高复习课的例题讲解和变式延伸的效能。

［例2］请根据学习函数的经验，对函数[y=x-2]的图象与性质进行探究。

（1）画出[y=x-2]的图象；

（2）结合函数图象，从形状、变化范围、增减性、最值等方面说明该函数的一个性质；

（3）请结合函数图象提出一个问题。

简析：

（1）画出函数图象，如图4所示。

（2）函數的性质：函数的最小值为-2；函数图象是轴对称图形，对称轴是[y]轴；当[x≤0]时，图象下降，[y]随[x]的增大而减小，当[x≥0]时，图象上升，[y]随[x]的增大而增大。

（3）提出问题

①[（3，5）]是否在函数图象上？

方法1：将[x=3]代入解析式求解[y]；方法2：在图象上找到[x=3]的点，观察点的纵坐标是否为5。

②若[A（a，8）]，[B（10，8）]为该函数图象上不同的两点，求[a]的值。

方法：将[y=8]代入解析式求解[x]；方法2：观察图象，由于该函数图象关于[y]轴对称，因此可由点的对称性求解。

③在函数[y=x-2]中，自变量[x]的取值范围是多少？

④[P（x1，y1）]，[Q（x2，y2）]为函数[y=x-2]图象上的任意两点，其中[x1<x2]，若对于[x1+x2>m]，都有[y1<y2]，请结合函数图象，直接写出[m]的取值范围。

当[P]、[Q]两点在[y]轴异侧时，∵[y1<y2]，∴点[P]在[y]轴左侧，点[Q]在[y]轴右侧，且[x1<x2]，

当[P]、[Q]在[y]轴同侧时，可得[P]、[Q]都在[y]轴右侧，此时[x1+x2>0]，同理可得：[m≥0]，

综上，[m]的取值范围是[a≥0]。

教学设计及实施说明：通过借用一次函数的研究思路、内容、方法，思考对新函数的认识，并提出问题；教师留出大片的“空白”，让学生主动补白，利用自己的知识背景、活动经验，根据自己的理解，迁移运用知识，提出问题、解决问题；让学生从做题者转化为命题者，从被动解决问题到主动提出问题，积累经验，拓展思维。

（四）感悟提升，形成素养

教师：（1）本节课我们解决了什么问题？具体步骤是什么？（2）本节课我们采用了哪些办法？（3）本节课的学习为后续学习提供哪些帮助？

教学設计及实施说明：数学专题复习课一般起到承上启下的作用，也是知识间衔接的有效途径，数学专题复习课以问题展开，以问题结束，让学生带着问题进来，同样让学生带着更高层次的问题离开课堂。教师引导学生对已学知识进行专题复习，可以促使学生重构知识体系，熟练掌握各种解题方法和技巧，提升综合应用的能力和学科核心素养。

四、数学专题复习教学建议

基于“根+空”理念的专题复习教学的核心是寻根置空，寻根置空是一种教学设计的理念，寻根的关键在于教师对课堂教学进行前置研究，寻根抓根。基于教师对四基的把握，应从知识、技能、方法、经验四个方面寻根。复习课的“根”是在教师深度研究学生完成新知学习的基础上建立的认知结构，置空留白以问题解决为主要形式，通过设计一个或多个符合教学目标与学情的情境（问题或活动），激发学生的学习兴趣和探究欲望，增强学生的问题解决意识，通过不断的留白补白，让学生在解决问题的过程中熟练地从已有的知识结构中提取有用的知识信息，从而发展逻辑推理能力与分析和解决问题的能力，培养应用意识和创新意识，发展科学素养。

基于“根+空”理念的专题复习教学模式如图5所示。

基于“根+空”理念的专题复习教学的成功标志是通过问题解决启发学生思考，使学生能够将知识结论迁移到不同的问题情境，在变换问题提出的角度和方式时能够借助经验解决问题。师生、生生自由对话，在一次次留白和补白中完成教学任务，有更多的学生主动参与课堂，课堂充满温度。“自主性”是衡量基于“根+空”理念的专题复习教学取得成功的又一重要标志。

基于“根+空”理念的专题复习教学依托四基从知识、技能、方法、经验等方面进行寻根抓根，通过设计问题置空留白，从“创设情境，自主建构”“适时小结，生成思维”“典例导引，拓展思维”“感悟提升，形成素养”这四个环节引导学生完成知识网络的自主重构，让学生从习题训练到问题解决，重构知识结构图。基于“根+空”理念的专题复习教学指向问题解决中的知识迁移与应用，关注学生思维能力的培养和分析问题和解决问题能力的提升，是指向核心素养的一种新型复习教学方式，也是落实立德树人以及“双减”政策的有效途径。

［   参   考   文   献   ］

［1］  张东.基于发现和提出问题推进初中数学复习课教学的实践与思考［J］.数学通报，2019（4）：37-40.