“双减”背景下关注学生数学思维发展的练习设计

摘 要 练习作为小学数学教学有机体的一个重要组成部分，无论是新课教学还是复习教学都离不开一定数量和高质量的课堂练习。“双减”背景下，我们有必要在教学中编制高效的数学练习，培养学生学习数学的兴趣和数学情感，培养学生灵活地解决问题的能力和综合运用知识的能力，发展数学思维能力。

关键词 数学练习 思维发展 习题设计 说理思辨

作者简介：林祎珣（1985— ），福建厦门人，厦门市集美区后溪中心小学一级教师，硕士研究生，研究方向：主要从事小学数学教育。

基金项目：本文系福建省教育科学“十三五”规划2020年度课题“指向深度学习的小学生数学说题实践研究”（立项批准号：FJJKXB20-848）的阶段性研究成果。

2021年7月，国家出台“双减”政策，旨在减少学生作业负担，提高学习质量。根据数学学科的特点，适当的数学练习是数学学习过程的重要组成部分。学生通过练习可以促进新知识的掌握，养成良好的作答习惯，锻炼思维能力，提升数学学科素养。因此，数学练习的设计要有利于学生的发展，我们需要从学生的实际生活中挖掘素材，精心地设计每一次练习，让数学练习丰富起来、活起来、生动有趣起来、开放起来、生活起来。教师要结合教学实际，设计贴近生活、富于思考的数学练习，让学生在做数学课堂练习的过程中发展数学思维，感受到数学魅力[1]20。

一、“过程”练习，培养学生的推理能力

逻辑推理能力是数学思维能力的核心，简单的数学结论的应用难以发展学生的逻辑推理能力。随着课改的深入，学生的数学学习过程成为大家关注的焦点，新课程标准更是提倡“在书面检测中，积极探索可以考查学生学习过程的试题”[1]23。何以如此重视学习过程呢？一方面，学习过程与学习结果存在必然的因果关系，学习过程决定学习结果；另一方面，学生的数学思维是在学习过程中发展的，数学情感是在学习过程中培养的。所以，教师要设计体现“过程性”的练习，落实“过程”目标。

（一）不问“结论是什么”而问“过程是什么”

习题1：小朋友们在探究三角形的面积计算公式时，想到了以下几种方法。

（1）你觉得哪些小朋友的方法是能推導出三角形面积公式的？在名字旁边的括号里画“P”。

（2）在你认为正确的方法中，你最喜欢谁的推导方法？请你把这种推导过程写清楚。

习题2：冰墩计划5周跑步22.5千米，他平均每周跑多少千米？在计算“22.5 ÷ 5”时，甲、乙、丙三位同学运用了三种不同的方法，计算过程正确的有（    ）。

传统的《三角形面积》新授课的课堂练习经常是让学生熟记公式，然后在已知底和高的条件下求图形面积，只需套用三角形的面积公式。而计算课的教学，也往往是教学竖式计算方法后让学生重复机械的练习。以上两道课堂练习题一改常态，不再只关注学习结果，更注重学生学习过程的体验以及逻辑思维的培养。第一道习题中的四位小朋友的方法都能推导出三角形的面积公式，这样的设计让学生分析三角形面积的不同推导方法，在解答中自觉寻找原来三角形与拼成的图形之间的各部分等量关系，深入体会三角形面积公式的推导过程，更能引导学生探寻公式推导的本质，感悟面积公式推导中的转化思想。第二道题三种方法也都正确，甲同学借助计量单位的换算把小数除法转化成了整数除法进行计算，乙、丙同学则是运用了“商的变化规律”，但两位同学所使用的规律又有所差别，需要学生详细辨析，而四个选项的设计正好可以暴露出学生的知识薄弱点，让学生在纠错中反思，在反思中成长，丰富数学的过程性学习。

（二）不问“列式是什么”而问“思路是什么”

习题1：妈妈买来9根10 m长的红绳做中国结，做一个中国结要用1.8 m的红绳。这些红绳最多能做多少个这样的中国结？（为了美观，做中国结时红绳不拼接）

亮亮的想法：10 × 9 ÷ 1.8 = 50（个）          晶晶的想法：10 ÷ 1.8 ≈ 5.56（个）   5 × 9 = 45（个）

你认为谁的想法正确？请说明你的理由。

习题2：阳光小镇滴滴车收费标准是：3千米以内13元；超过3千米的部分每千米2.5元，不足1千米按照1千米计算。林阿姨打车，行驶里程是7.8千米，应付多少元？

小雪的想法：13 + 2.5 ×（8-3）             小冰的想法：2.5 ×8 +（13-2.5×3）

你认为谁的想法正确？请说明你的理由。

此类问题的完成需要学生先观察两位同学的解答步骤，先求什么再求什么，找到不同列式中隐藏着的思考的“序”，厘清不同的解题思路，再判断每一种解答过程的合理或者不合理之处。这样的习题设计能有效考查出学生是否具备自主学习的意识和能力，较之“多少个”、“多少元”的问题更能引导学生主动学习、全面思考，既能防止学生只关注“列算式”和“蒙答案”的行为，又很好地关注了在问题解决过程中学生对得出结果的思维过程的考查，从只重列出算式得出结果转向同时注重解题思路的分析、思想方法的感悟和自主学习能力的培养。

二、“变式”练习，培养学生的发散思维能力

思维是智力的核心，思维能力的培养对学生当前的学习和未来的发展均有重要的意义[2]。数学的课堂练习中，如果只是静止地、孤立地解答一个题目，那么即使题目再好，充其量也只不过是解决了一个问题而已。而如果对其加以研究，通过一题多变，克服思维定式的影响，不局限于某一方面的思考，就有利于拓展学生的解题思路，培养学生思维的灵活性和深刻性，增强其应变能力，发散学生的思维。

（一）改变表达方式，变中不变

习题：一个圆柱体的体积是48立方厘米，与它等底等高的圆锥体的体积是（      ）立方厘米。

（根据等底等高的圆柱与圆锥之间的关系，学生很快就可以算出圆锥的体积是16立方厘米。）

变式题1：一个圆柱体的体积是48立方厘米，从这个圆柱体中切割出一个最大的圆锥体，这个圆锥体的体积是（     ）立方厘米。

变式题2：切割完成后，剩下部分的体积是（     ）立方厘米。

这是笔者在教学小学数学六年级《圆柱与圆锥的体积》时使用的一道课堂练习题，“圆柱中切割出的最大圆锥与这个圆柱等底等高”对于小学生来说不容易理解，以第一小题为铺垫，通过这样层层递进的3道练习，变中有不变，加深了学生对等底等高圆柱与圆锥之间关系的理解，同时培养学生的观察能力、辨析能力，提高学生思维的灵活性和广阔性。

（二）改变提问对象，不变中变

习题：某基地派甲、乙两架直升机去某山区执行抢救任务，基地与该山区的飞行距离是1200千米。甲直升机和乙直升机同时飞往该山区，甲直升机比乙直升机早1小时到达。甲直升机的速度是400千米/时，乙直升机的速度是多少？

變式题1：某基地派甲、乙两架直升机去某山区执行抢救任务。速度为400千米/时的甲直升机和速度为300千米/时的乙直升机同时飞往该山区。甲直升机比乙直升机早1小时到达。基地与该山区的飞行距离是多少千米？

变式题2：某基地派甲、乙两架直升机去某山区执行抢救任务，基地与该山区的飞行距离是1200千米。速度为400千米/时的甲直升机和速度为300千米/时的乙直升机同时飞往该山区。经过多长时间后两机相距300千米？

本组习题虽然对调了题目中的已知条件和问题，但是题目中所隐含的等量关系没变，只要学生能够抓住这一点，便可以以不变应万变。面对当前大题量的考试和较多的练习资料，选准例题，采用一题多变方法让学生练习，并总结解题特征、解题方法，不但能够帮助学生巩固有关的基本概念，掌握各种题型的解题方法和技巧，而且能帮助学生把平时所学的知识进行归纳整理，学会同中求异、异中求同，有助于培养学生抽象概括能力，完成由例及类的学习，大大简化了学习环节，真正实现减负提质。

三、“操作”练习，培养学生的思维实践应用能力

知识的综合对提高学生的综合素质和解决实际问题的能力有很大帮助。知识的相互穿插、相互利用可以拓宽知识的范围，发挥知识的迁移作用[2]，而数学的实践活动能够把抽象的综合知识具体化，把数学知识和具体的切身体验联系在一起。

习题1：右图是一个几何体从上面看到的图形，图形上的数字表示这个位置上所用小正方体的个数。

（1）这个几何体是由多少个小正方体搭成的？

（2）取走哪个小正方体后，从正面、上面、左面看到的图形仍然保持不变？

习题2：聪聪为了测量一块不规则石头的体积，按如下步骤进行实验：

（1）拿一个长方体的玻璃缸，从里面量长10 cm，宽6 cm，高8 cm。（2）倒入一部分水，水高度6 cm。

（3）放入石头并完全浸没水中，水溢出120 mL。（4）取出石块后，水位下降3.5 cm。

根据以上信息，你能用两种方法算出这块石头的体积吗？

以上两道习题均属于“图形与几何”模块，小学数学“图形与几何”的教学非常关注学生空间想象能力的培养。这两道练习题对于空间想象能力还比较薄弱的小学生而言是有一定难度的，故而脱离实践而一味强调空间想象能力的培养和锻炼是比较不科学的，所以习题1中应该让孩子们先根据题目所给俯视图拼出对应的几何体，给予充分的自由时空让学生动手、动脑、动情地拼摆，完成知识的自我建构[3]。

针对习题2，让孩子们拿一块石头在盛水的长方体玻璃缸中进行操作，可以促进他们对题目的理解，降低解题的难度。待练习完成后，还可以进一步鼓励学生寻找各种各样自己喜欢的玩具，比如瓷器玩偶、机器人、跳跳球等，放到盛满水的长方体或正方体容器中，根据水面上升或者下降的高度来计算不规则物体的体积，让学生在“玩”的过程中充分体会不破坏玩具就可以测出体积的转化思想和数学智慧。笔者在这道练习中，给了孩子们充分的时间“自由发挥”，孩子们不仅掌握了两种解决问题的方法，而且还有额外的收获——并不是所有的物体都能够沉入水中，比如乒乓球，它浮在水面上怎么办呢？这一问题的提出和解决，不仅加深了学生对知识的理解，更促使学生获得运用数学知识解决问题的思维方式，从而实现在观察操作中发展空间想象能力。

四、“说理”练习，培养学生的思辨能力

思辨能力是什么？简而言之，就是思考、分析、辨别的能力，具体指的是以获取的信息为基础，对问题进行仔细的推敲、透彻的分析、客观的评测，最终形成解决问题的综合能力。打个比方，小时候父母教育我们要诚实守信，却不会告诉我们遇到危险的时候可以“不诚实”。许多结论都是有适用范围的，考虑适用范围的问题就是一种思辨的问题。思辨能力决定一个人的发展潜力。那么，如何通过数学的练习培养学生的思辨能力呢？我们以下面两道说理题为例。

习题1：教练要从两名运动员中挑选一名参加跳绳比赛，以下是这两名运动员一分钟的跳绳次数。

（1）如果你是教练，选谁去参加比赛呢？请说明理由。

（2）如果对手的平均成绩是136下/分，该选谁？请说明理由。

（3）如果对手的平均成绩是140下/分，该选谁？请说明理由。

习题2：“共享单车，绿色出行”，现如今骑共享单车出行不但成为一种时尚，也成为共享经济的一种新形态。乐乐在“五一”假期的5月1—3日的上午分别调查了一些骑共享单车出行的市民：5月1日用了[4/3]小时调查了50人，选择骑A品牌共享单车的有9人；5月2日用了[6/5]小时调查了45人，选择骑A品牌共享单车的有10人；5月3日用了[7/6]小时调查了63人，选择骑A品牌共享单车的有11人。

（1）乐乐在这3天中，哪一天调查用的时间最少？（请写出比较过程）

（2）根据乐乐收集到的数据，比较一下，这三天A品牌共享单车被市民选择的情况哪一天最好？哪一天最差？请说明理由。

什么样的数学练习能够帮助学生获得真正的能力提升？是源自于学生生活的充满挑战性和思辨性的问题。“来源于生活”的信息学生容易理解，唤醒已知，才能有更多的未知被开启。“思辨性的问题”易于激发起学生的作答兴趣，引发学生主动思考，不断探索。我们编制的习题要做到能引起学生的好奇心，习题1中的问题“你是教练，选谁去参加比赛呢？”就能点燃学生的好奇心，“如果对手……该选谁？”使学生重新审视原有的认知，开启崭新的思考。

习题2取材于生活中的共享单车，以共享经济为背景设置了两个问题，第一问是分子分母相差1的3个假分数的比较，比较的方法有很多，学生只要能够自圆其说，“比”的过程有理就行。第二问具有一定的迷惑性和思辨性，“选择A品牌的情况”中的“情况”不能简单地理解为具体的数量。如果是具体的数量，那么调查的时间和人数选择A的越多，数量可能就越多了。这时候需要学生仔细地推敲、透彻地分析，才能领会到这里的“情况”是指选择A品牌的人数占总人数的几分之几。好的问题总是带有启发性。做这样的习题时，我们可以组织学生进行课堂辩论，让学生通过说理、倾听、辩论，不斷地思考，启发智慧，发现知识真理之所在。

总之，数学练习的使用是一门科学，充满着艺术性。教师一定要精心编制数学练习，才能够有效促进小学数学教学，打开学生心灵的窗扉，让学生的思维能力得到发展，综合能力得到全面提高，在掌握数学基础知识，灵活运用基础知识分析问题、解决问题的同时，领略到数学与其他学科不同的精彩。

[参 考 文 献]

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]陈彩治.建构小学生数学解题模型的策略研究[J].数学教学通讯，2021：61-62.

[3]陈钰婷.小学数学“图形与几何”小组合作学习现状与对策研究：以第二学段为例[D].扬州：扬州大学，2021：11.

[4]苏霍姆林斯基.给教师的建议[M].北京：教育科学出版社，1984：35.

（责任编辑：杨红波）