基于数学建模竞赛的运筹学实践教学方法*

董书琴 张玉臣 刘小虎 胡浩 刘鹏程

战略支援部队信息工程大学 郑州 450004

0 引言

运筹学最早起源于“二战”时期[1]，是一门实践性很强的数学应用类课程，作为管理类本科生的必修课之一，在整个管理类学生人才培养体系中占据重要地位，能有效培养学生统筹全局、科学决策的意识，锻炼综合运用运筹学模型解决实际问题的能力，为将来步入工作岗位打下坚实的基础。然而，由于课程内容量大、授课课时少、教学方式单一，当前运筹学课程在教学过程中仍存在学生学习兴趣不高、动手能力不强、创新意识偏弱等问题，亟待对运筹学教学方法进行改革创新，突出实践教学特色，丰富实践教学案例，增强学生的参与度和获得感，从而有效提高学生学习兴趣，不断提升课程教学效果。

近年来，众多高校教师对运筹学课程教学改革进行了广泛研究，系统梳理了运筹学知识体系，并通过合理设计课程案例激发学生学习兴趣，力求提升课程教学效果[2]；不断更新运筹学课程教育教学理念，灵活运用课堂讲授、课堂讨论、案例教学、实验教学等不同方式对课程教学改革进行探索[3]；从管理学视角，对运筹学教学重点、教学内容、教学方法和考核方式提出了若干改革建议，指出案例教学法在激发学生学习热情方面具有积极作用[4]；通过对管理类学科内涵的分析，针对不同类型学生的特点，提出了管理运筹学课程的教学改革建议[5]；分析了管理运筹学的学科特点，指出将数学建模思想融入运筹学教学环节对于提升学生实践能力具有重要意义[6]。

综上可知，将案例教学法和数学建模思想融入运筹学实践教学过程，对于增强运筹学课程教学效果、培养学生的创新能力具有积极的促进作用，但是如何将数学建模竞赛真题与运筹学实践教学结合，科学设计课程实践教学模式及案例仍需进一步研究。

为此，本文以培养学生创新能力为导向，在深入剖析运筹学实践教学现实问题的基础上，突出数学建模竞赛的牵引作用，对运筹学实践教学模式进行改革创新，阐明从运筹学知识到数学建模竞赛实战的正向应用过程，培养学生利用所学知识解决实际问题的能力，进一步夯实学生对课程知识的理解；基于建模竞赛真题给出运筹学实践案例设计思路与实践教学方案，探索从竞赛真题到运筹学实践案例的反向提炼过程，以便在运筹学课程实践教学中不断激发学生创新活力，并在一定程度上提升学生实践创新能力。通过运筹学理论知识正向应用和实践案例反向提炼两个过程，使学生真正做到学有所思、学有所得、学有所用，切实提升运筹学课程教学质量。

1 运筹学实践教学现实问题

作为一门数学应用类课程，运筹学既有很强的理论基础，又可借助Matlab、Lingo、WinQSB 等计算机软件实现具体问题模型的求解，主要用于解决有限资源条件下的优化决策问题，其基础理论包括规划论、存储论、排队论、对策论、决策论以及图与网络分析等。运筹学课程教学必须坚持理论与实践并重，使学生不仅明白具体理论的含义，还能综合运用所学运筹学知识解决现实生活中遇到的实际问题。然而，受限于课时，传统课堂教学中对运筹学实践教学内容的重视度还远远不够。

1.1 忽视实践教学环节

运筹学是一门理论体系庞大的课程，传统教学过程中，为了在有限课时范围内，让学生尽可能多地掌握运筹学基础知识，教师多以理论讲授为主，花费大量的时间进行运筹学基础理论和常用模型的讲解，并通过简单的课堂案例和课后习题加深学生对理论知识的理解。这种教学方法虽能使学生具备较为丰厚的运筹学理论基础，并初步具备一定的运筹学思维，但在很大程度上忽视了运筹学实践教学的重要性，最终学生只掌握了基本的运筹学理论，对运筹学知识的现实应用了解不深，缺乏运用所学知识解决实际问题的能力，无法有效应对今后工作中遇到的管理决策等现实问题。

1.2 实践教学案例单一

随着教学改革的不断深入，高校教师愈发意识到运筹学实践教学的重要性，并逐步在课堂教学过程中引入实践环节，旨在有效提高学生动手能力，使学生通过对运筹学理论的活学活用，解决现实管理中遇到的问题。

然而，出于提升学生理论认识的目的，现有大部分实践教学案例多以教材例题和习题为主，通过引导学生利用计算机软件进行具体模型的求解，实现对学生动手实践能力的培养。但是，教材中的大部分例题和习题通常解题思路比较固定，缺乏思维的启发性，基于教材例题和习题的实践教学案例不利于培养学生的创新意识。

1.3 实践教学考核力度不足

目前，大多数高校在运筹学考核时，通常按照平时作业30%和期末考试70%的方式来计算学生的课程成绩[7]。这种考核方式以评价学生理论知识掌握程度为主，而对于实践环节的考核通常仅占平时作业30%中的一小部分，整体考核力度较弱，致使学生在日常学习过程中对实践教学环节重视度不够，对于具体的实践类作业通常仅是应付了事，缺乏积极主动的深入思考。学生对实践教学的不重视，也会在一定程度上消磨教师实践教学的热情，最终使运筹学实践教学停留在表面，无法达到培养学生创新能力的预期效果。

2 基于竞赛牵引的运筹学实践教学模式探索

兴趣是最好的老师，为了提升运筹学实践教学效果，必须不断革新运筹学实践教学模式，有效激发学生的学习兴趣，使学生乐于学、善于学，从而主动运用运筹学模型去解决现实中的问题。作为一种竞技类比赛，全国大学生数学建模竞赛有效融合了实际问题需求、课程教学理论和科学研究思想，有利于培养学生理论联系实际的能力[8]，逐渐成为学生建模思维和创新能力的练兵场与磨刀石，受到越来越多高校师生的关注。与此同时，数学建模竞赛还可有效激发学生创新精神和开拓意识，为运筹学实践教学改革树立了良好的导向。以建模竞赛为牵引，对运筹学实践教学模式进行改革探索，实现对运筹学理论的正向应用，有助于解决运筹学实践教学中存在的现实问题。

2.1 建立竞赛激励机制，激发学生参赛动力

全国大学生数学建模竞赛通常要求参赛人员以三人为一小组的形式，在三天时间内完成模型的建立与求解，并撰写一篇高质量的建模论文。竞赛时间紧、任务重，容易使学生产生畏难心理，而不敢轻易尝试。可以结合运筹学实践教学情况和学生人才培养方案，建立课内与课外竞赛激励机制，通过增加奖励学分的形式，激发学生的参赛动力，积极创造运筹学理论知识的实践运用平台。

2.2 梳理理论知识体系，促进实践教学落地

俗话说教学相长，教与学是不可分割的两个部分，只有教师善于教，学生才能乐于学。脱离教师的指导，学生的学习就会变成无本之木、无源之水，建模竞赛成绩的获得同样离不开教师的指导。高校教师可以以建模竞赛为牵引，通过分析近年来的全国大学生数学建模竞赛真题，厘清运筹学实践考查重点，进而对运筹学理论知识进行系统性梳理，使学生更加清楚排队论、图论、对策论等理论知识的内涵和外延，为学生在竞赛中灵活运用相关知识解决实际问题奠定坚实基础，更好地促进实践教学落地落实。

2.3 加大实践教学比重，夯实学生实战能力

围绕数学建模竞赛，加大师资日常培养力度，不断提高教师研赛备赛热情，深化实践教学内容和典型案例，充分利用课上课下时间，以课堂案例、综合实验的方式，加强学生对典型建模案例的实践训练，使学生熟练掌握综合运用所学知识和计算机软件解决实际问题的方法和技巧。

此外，还可以结合运筹学实践教学安排，在赛前对参赛学生进行建模强化训练，进一步增强学生的建模实战能力，从而让学生更有信心在竞赛中获得佳绩。

2.4 拓展实践教学形式，完善实践教学模式

实践出真知，学生创新能力的提高离不开形式多样的实践教学内容和形式新颖的实践教学模式，可融合运用课堂案例、综合实验和建模竞赛开展运筹学实践教学。

首先，通过课堂案例夯实学生运筹学理论基础，并引导学生利用计算机软件对案例进行求解；

其次，以典型建模问题为抓手，通过设置综合实验的方式，锻炼学生利用所学知识解决实际问题的能力；

最后，通过激励学生参与数学建模竞赛，将竞赛成绩作为学生实践教学考核的有力补充，进一步提升学生实践能力和创新能力。

通过上述过程，探索建立“课堂案例厉兵秣马，综合实验小试牛刀，建模竞赛实战练兵”的运筹学实践教学模式。通过教师与学生的主动参与和积极作为，逐步将数学建模竞赛打造成运筹学理论的重要实践教学平台。

3 依托建模竞赛真题的运筹学实践案例设计

在结合数学建模竞赛探索运筹学理论正向应用过程的基础上，围绕数学建模竞赛真题实现对运筹学实践案例的反向提炼，有效地丰富运筹学实践教学案例，为培养和提升学生实践创新能力提供案例支撑。

3.1 实践案例设计思路

全国大学生数学建模竞赛是对学生综合能力素质的考验，其赛题通常是在广泛征集各行各业现实问题的基础上，经组委会专家筛选提炼而成，不仅要求学生具备较为深厚的数学和运筹学理论知识，还需要学生拥有宽广的知识面，能在读懂题目的基础上，建立问题的数学模型，进而采用MATLAB、LINGO 等专业软件对模型进行求解。将数学建模竞赛真题直接应用于运筹学实践教学，相对来说难度较大，无法使所有学生都参与进去，大大降低了建模竞赛真题的应用价值。

需要以全国大学生数学建模竞赛历年真题为基础，对照运筹学知识体系，通过缩减数据、减少变量和增加约束等方法对题目进行适当简化，并根据学生的能力水平对案例运用模式进行层次化设置，以增大不同层次学生的参与感，使所有学生都能在运筹学实践环节得到锻炼，从而进一步激发学生的学习热情，并在实践教学过程中不断提升学生的创新能力。基于建模竞赛真题的运筹学实践案例设计与应用思路如图1 所示。

图1 基于建模竞赛真题的运筹学实践案例设计与应用思路

3.2 案例设计示例

在上述设计思路的基础上，以2021 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛C 题[9]为例，对运筹学实践案例进行设计，并简要说明基于所提案例的实践教学方案。C 题是一道综合运用规划论、决策论和启发式方法进行求解的典型赛题，主要分四个问题进行考核，涉及运筹学中的线性规划、目标规划、整数规划、动态规划、运输问题、决策分析等多个理论。在案例设计过程中，既可针对单个理论提炼实践案例，也可综合多个理论对实践案例进行设计。

对于问题一中的原材料供应商优选问题，可从中提炼出决策分析理论的实践案例，让学生依据402 家原材料供应商的历史供货情况，通过设置评价指标，利用层次分析法对供应商的供货能力进行排序，并筛选出最重要的50 家原材料供应商。该案例相对来说比较容易上手，旨在培养学生利用所学知识解决实际问题的能力，对学生创新思维的启发与锻炼主要体现在评价指标的设置方面。

对于问题二中原材料订购方案和转运方案制定问题，可将决策变量设为是否选择某个原材料供应商或转运商，从中提炼出两个0 ～1 整数规划实践案例，让学生在给定原材料供应商和转运商的基础上，依次制定最经济的原材料订购方案及损耗最少的转运方案。两个案例既可独立设置，降低每个实践案例求解的复杂度，又可相互关联、层层递进，实现对学生逻辑思维的锻炼，从而进一步深化学生对整数规划理论的理解。

对于问题三中综合考虑转运成本、仓储成本和转运损耗制定最优原材料订购方案和转运方案的问题，可从中提炼出针对单一成本因素的线性规划实践案例，也可从中提炼出一个综合多因素的目标规划实践案例，多角度全方位提升学生运筹学知识运用能力及动手实践能力。

对于问题四中产能提升及其对应的最优原材料订购方案和转运方案制定问题，可将产能提升和最优方案制定看作最优化决策过程中的不同阶段，从中提炼出一个动态规划实践案例，并发散学生思维，引导学生利用启发式方法进行问题的求解，从而在一定程度上培养学生的创新能力。

在上述实践案例的基础上，可针对学生的能力水平制定层次化实践教学方案。对理解能力和动手能力偏弱的学生，可让其仅进行一两个简单实践案例的求解，以加深对理论知识的理解，如通过对问题二相关案例中最经济原材料订购方案的求解，更好地掌握整数规划模型；对理解能力好、动手能力强的学生，可依托问题一、二、三相关的多个实践案例对其实践能力进行强化训练，并尝试利用启发式方法对实践案例的求解过程进行优化，使其初步具备创新意识；对于综合能力强、创新意识高的学生，可综合运用问题一至四相关实践案例，引导学生发散思维，对问题进行创造性求解，进一步提高创新能力。

4 结束语

将建模思想融入运筹学实践教学环节，并围绕数学建模竞赛，探索运筹学实践教学模式，设计运筹学实践教学案例，对激发学生创新意识、培养学生创新能力具有重要的促进作用。同时，依托数学建模竞赛真题的实践案例设计思路对丰富运筹学实践教学案例、改革运筹学实践教学方法具有重要的借鉴意义，还需持续进行研究。