一道解析几何分点弦问题的深入探究

安徽省合肥市肥东县城关中学 (231600) 王东海

在解析几何研究中,直线与圆锥曲线相交问题一直是高考及各地模考的热点和难点,这其中分点弦定值问题颇受命题专家的青睐. 事实上,分点弦定值问题就是在扑朔迷离的变化中去寻找分点弦比值之和、差的不变性. 正如张冀宙教授所言: 数学中到处都是变与不变的矛盾统一,数学研究变化,却以找到其中的不变性作为归宿. 寻找并欣赏数学中无处不在的不变性质,是把握数学的钥匙之一.

1 考题呈现

题目(2023 年江苏省高三二模)已知抛物线C:y2=2px(p＞0),过焦点F的直线l交抛物线于M,N两点,交y轴于E点,当点M的横坐标为1 时,|MF|=2.

(1)若直线l的斜率为1,求弦长|MN|.

易得第(1)问C:y2=4x,|MN|=8. 第(2)问可以利用同构方程、直线参数方程、极坐标方程解答,得λ1+λ2=-1.试题平中见奇,内涵丰富,是具有研究性学习价值的好题.

2 背景探究

近年来,命题者开始挖掘高等几何中一些素材来命制高考和模考中的圆锥曲线试题. 本文探讨的模考题的命题背景是高等几何中的极点和极线这块内容. 为了能够阐述清楚,先来探讨一下本题涉及到的概念和性质:

定义1给出线段AB的内分点C和外分点D, 若, 则称C,D调和分割线段AB(或线段AB被C,D调和分割),也称点列A,B,C,D为调和点列.

定义2设两点C,D的连线与圆锥曲线Γ 相交于A,B,若线段AB被C,D调和分割,则称C,D是关于圆锥曲线Γ的一对调和共轭点.

定义3一点P关于圆锥曲线Γ的所有调和共轭点的轨迹为一条直线p,此时称直线p为点P(关于Γ)的极线,点P称为直线p(关于Γ)的极点.

如图1, 此题中焦点F对应的极线恰为准线直线l交准线于S点,则由上述极点极线知识可知,M,N,F,S成调和点列,即有

图1

再化简此式得-2λ1-1=2λ2+1,从而解得λ1+λ2=-1.故而本题的命题背景实际上是极点极线理论的进一步推导.

事实上,掌握了以上命题背景,还可命制类似于考题的试题,比如将y轴换成其它直线,或将抛物线换成其它圆锥曲线等.

3 一般性探究

能否将试题第(2)问中的抛物线推广至一般的抛物线?能否将焦点与准线推广至一般的极点和极线呢?

4 类比探究

5 拓展探究

6 高考溯源

题1(2018 年高考北京卷第19 题)如图2,已知抛物线C:y2=2px(p＞0) 经过点P(1,2), 过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y于N,设O为原点,求证:为定值.

图2

证明设点A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:y=kx+1. 联立直线l和C方程并消去y整理得:k2x2+(2k-4)x+1=0. 则