面向高速织机的吸能板壳结构拓扑优化

王 蕊,肖人彬,吴紫俊

(1.武汉纺织大学, a.湖北省数字化纺织装备重点实验室; b.工业雷管智能装配湖北省工程研究中心, 武汉 430020; 2.华中科技大学人工智能与自动化学院, 武汉 430074)

随着高速织机的快速发展,对综框等织机板壳类组件的性能提出了新的要求[1]。传统隔振技术虽然在一定程度上满足减振降噪的性能要求,但是随之而来会导致设备笨重、散热性能变差等一系列问题[2],无法根本上解决板壳结构振动的技术难题。而拓扑优化技术可以在实现结构轻量化的同时使结构更加可靠[3],因此结合先进技术实现对高速织机的振动进行控制成为了纺织行业研究的热点[4]。

粘弹性阻尼材料能有效抑制振动与噪声,它是由高分子聚合物组成,具有高可靠性、吸能减振等功能[5],在航空航天、船舶、汽车等现代化工业领域中广泛应用[6]。粘弹性阻尼层处理方式可分为四大类:自由层阻尼结构、被动约束层阻尼结构、主动约束层阻尼结构以及可控约束层阻尼结构[7]。而其中被动约束阻尼成本低、可靠性高且减振效果好,应用最为广泛[8]。顾赛克等[9]研究了约束阻尼结构力学性能,探讨了设计参数对阻尼性能的影响,并通过实验证明约束阻尼结构能有效降低共振问题且三层约束阻尼结构性能更加好。梁森等[10]提出了一种新型五层夹芯复合材料仪表板的结构设计方法,并分析了粘弹性阻尼层和PMI泡沫材料层相对厚度对仪表盘阻尼损耗因子的影响。尽管传统的约束阻尼铺设方式具有较好的减振性能,但是在此基础上会加重结构的重量并提升生产成本。因此有必要对基于约束阻尼下的板壳结构进行综合设计,在提高阻尼利用率的同时,获得具有更好固有特性和减振能力的轻量化结构。

板壳类结构的吸能减振性能与阻尼材料的分布有着密切的关系[11]。为实现结构承载与吸能的性能要求并且有效实现结构的轻量化[12],学者们在拓扑优化技术的基础上,对阻尼材料的布局设计进行了诸多研究。Kim等[13]为得到最佳阻尼材料布局,对比拓扑优化与其他方法,以模态阻尼比最大化为设计目标。通过定量比较不同方法的模态损耗因子,发现拓扑优化能得到更高的模态损耗因子。吴永辉等[14]基于参数化水平集法分析了阻尼板优化构型与模态应变能分布关系,得出基于基板模态应变能分布设计的构型优化效率较高。陈姗姗[15]引入Helmholtz PDE滤波和投影技术,有效抑制了阻尼结构拓扑优化设计中棋盘格与灰度单元的数据不稳定现象,并应用于潜艇艇体的表面抗振设计,提高了结构减振能力。倪维宇等[16]提出了一种阻尼结构多尺度拓扑优化设计方法,研究了在不同激励频率下阻尼材料的宏微分布。贺红林等[17]基于虚功原理建立了约束阻尼有限元模型,在此基础上基于渐进法采用多目标拓扑优化对阻尼板进行减振优化设计,提高了材料的减振性能。Barbier等[18]利用完全非线性策略和简化策略提出了预定载荷下的结构优化方法,为考虑损伤的结构拓扑优化提供了借鉴。张超等[19]利用拓扑优化对车体阻尼结构进行优化,有效的降低了驾驶室内的噪声。

基于拓扑优化的结构设计,在保证设计效率与精度的同时又可以实现多目标多领域设计[20]。本文将利用结构拓扑优化方法,在研究粘弹性阻尼层结构与板壳结构的动力学特性基础上,建立模态损耗因子最大化的板壳结构设计方法,提高其固有特性与减振的结构设计能力,实现织机类板壳结构的轻量化。

1 粘弹性材料的有限元模型

本文采用约束阻尼结构,如图1所示,其中下标b、c、v分别表示基板、约束层和阻尼层,h表示每层的厚度。相较对于一般线性单元材料,当阻尼材料受到冲击或振动时其内部会产生一定的变形,其变形图如图1(b)所示。等作用力消失后,弹性体内的受到的机械能会暂时存储起来,阻尼结构将会受到振动冲击,随后机械能转化为内能消耗能量,阻尼结构的振幅也随之降低,因此对阻尼结构本构关系建模是必要的。

图1 约束阻尼结构Fig.1 Constraint damping structure

1.1 本构关系复数模型

在力学上约束阻尼材料应变迟滞后于应力产生的迟滞现象,可通过复常数模量模型的表现形式表示其特性,材料本构关系表达式如式(1)所示:

E=E′+iE″=E′(1+iη)

(1)

η=E″/E′

(2)

鉴于粘弹性材料阻尼特性,在受到不同激励以及不同温度下对材料有不同的力学性能影响,故本文采用的模型影响较小的复常数模型,且为提高计算效率本文不考虑频率和温度等相关材料特性。

1.2 粘弹性材料有限元模型

本文采用约束阻尼板其有限元模型示意图如 图2 所示,板壳结构采用四节点二维单元离散,每个节点有7个自由度,分别是基层的位移ub和vb、约束层的位移w以及法向分别绕x轴和y轴的旋转位移θx和θy其节点位移表达式如式(3):

(3)

图2 约束阻尼有限元模型Fig.2 Constrained damping finite element model

式(3)中:

(4)

在阻尼板中可由节点单元4个位移矢量的插值得到任意点位移:

{ucvcubvbwθxθy}T={NucNvcNubNvbNwNθxNθy}Tue

(5)

其中Nuc、Nvc、Nub、Nvb、Nw、Nθx、Nθy分别为uc、vc、ub、vb、w、θx、θy对应的形函数。

1.3 弹性材料动力学模型

在使用有限元方法对带有粘弹性阻尼材料的结构进行分析时,根据Hamilton原理建立无阻尼结构振动的运动微分方程为:

Mü+Ku=0

(6)

式中:u为节点位移矢量;M和K分别是全局质量矩阵和全局刚度矩阵,其表现形式为:

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

其中i=b,c,v表示基层、约束层和阻尼层,Ei、Bi、Ni分别为每层的应变势能、应变转换矩阵以及形函数,Di表示每层的弹性常数矩阵,为其表现形式为:

(12)

由于粘弹性阻尼材料的阻尼系数较小,因此可以假设阻尼结构具有与无阻尼结构相似的共振频率和模态,故本文采用模态应变能法[21]。其中结构的总模态应变能为:

(13)

式中K为复合结构的刚度矩阵,基于模态应变能法求出第r阶模态阻尼比近似为:

(14)

式中:Ebr、Evr、Ecr分别是基层、阻尼层和约束层第r阶模态应变能。

2 优化数学模型及灵敏度分析

通过对约束阻尼结构进行模态分析后,需要分析粘弹性阻尼材料在结构中的分布。在结构拓扑优化中,根据目标函数对设计变量进行灵敏度分析是核心环节,通过灵敏度分析可以确定设计变量对目标函数的影响程度,目标函数自动寻优确定最终最优拓扑构型,获得最佳的阻尼材料分布。

2.1 优化数学模型

本文以约束阻尼材料用量为约束条件,模态损耗因子最大化为优化目标函数,从而达到抑制振动的目的。基于密度法,约束阻尼拓扑优化模型如下:

(15)

式中:xi是设计变量表示约束阻尼材料第i个单元的存在状态。其中1代表结构表面覆盖阻尼材料和约束材料。为了避免计算时刚度矩阵出现奇异解,故本文最小相对密度xmin取值为0.001。n为阻尼单元的总个数,ξr为第r阶模态损耗因子,V是体积约束;Vi表示约束阻尼材料的体积。

2.2 密度插值模型与灵敏度分析

基于阻尼材料的本构关系结合优化模型,对阻尼层与约束层采用SIMP法进行设计变量惩罚,得到整体刚度矩阵与质量矩阵:

(16)

(17)

式中:p为刚度矩阵惩罚因子,q为质量矩阵惩罚因子。

为分析设计变量对结构整体性能的影响,根据结构优化模型,通过目标函数对设计变量求偏导,可得:

(18)

本文针对基于simp方法中常出现的棋盘格以及网格依赖等数值不稳定现象,采用工程中广泛应用的Sigmund所提的敏度过滤技术[22]。该技术在确定中间单元后为其设定一个最小过滤半径rmin,并对该单元过滤半径之内的各个单元引入卷积因子进行加权平均处理,从而使得在中间单元附近的单元敏度值都比较高,反之较低。在不同的区域附近有着不同的情况,即原中心单元的敏度值被过滤区域加权平均敏度值所替代,过滤后的敏度表达式,具体如下:

(19)

(20)

在更新迭代时,本文采用传统OC法对优化模型设计变量进行更新[23]。

(21)

式中:ε为拓扑变量移动极限,n是迭代的步数,n=0.5,D为目标函数、体积约束对设计变量导数的比值:

(22)

3 优化算例

综框结构主要由上下横梁、左右侧板、综丝夹、穿综杆等零部件构成。根据高速织机综框的设计参数要求,构建综框横梁板壳结构的设计域并进行优化设计。本算例选取幅宽为230 cm的O型综框结构为设计目标,横梁的宽度120 mm,考虑综框上下横梁导板约束的影响,本案例仅截取导板到侧挡板之间的结构进行优化,导板到侧挡板之间的距离为480 cm,其结构简图如图3所示。

图3 综框结构Fig.3 Heald frame structure sketch

3.1 算例1

为验证本方法建模与振动特性计算的准确性,与图4典型四边简支模型[21]进行对比。基板与约束板均为铝板弹性模量均为6.89×104MPa,泊松比为0.3,密度为2700 kg/m3。阻尼层剪切模量为0.896 MPa,泊松比为0.49,密度为999 kg/m3。

图4 典型四边简支模型结构Fig.4 Structural sketch of a typical four-sided simply supported model

与该模型保持一致采取80×80的网格划分,其计算结果如表1所示,可以看出本文有限元模型与文献[21]解析解的固定频率值基本一致,误差保持在2.22%以内,验证了本文有限元方法的正确性。

表1 约束阻尼板振动特性结果对比Tab.1 Comparison of vibration characteristics of constrained damping plates

3.2 算例2

本文构建的约束阻尼板结构简图如图5所示,长度为480 mm,宽度为120 mm。为避免出现大量的中间密度单元获得更精细的结构特征,本文过滤半径设为1.3,网格划分为48×12。本案例仅以一阶模态阻尼比进行优化设计。

图5 约束阻尼板壳结构Fig.5 Constrained damping plate shell structure sketch

基板材料采用铝板,其弹性模量为70 GPa,泊松比为0.3,密度为2700 kg/m3。粘弹性层采用宽温域约束阻尼胶片,不考虑温度等影响,其剪切模量为13.38 MPa,泊松比为0.495,密度为1450 kg/m3,约束层其弹性模量为72 GPa,泊松比为0.33,密度为2700 kg/m3。采用两端固定形式,其具体材料参数如表2所示。

表2 约束阻尼板各层材料几何参数和属性参数Tab.2 Constraint damping plate material geometry and property parameters of each layer

本文以全覆盖的约束阻尼使用量40%、50%、60%为约束条件,以一阶模态损耗因子最大化为优化目标,过滤半径设为1.3,刚度惩罚因子与质量惩罚因子分别设置为3和1。图6为不同体积约束下的优化图,可以看出在不同体积约束下均能获得较清晰的拓扑构型。

图6 不同体积约束下的优化结果Fig.6 Optimization results with different volume constraints

由图7可知对比优化前的固有频率优化后均有所减小,但随体积约束的增加也随之增加,所以本方法能在不改变固有特性的前提下,结合拓扑优化技术既能减少阻尼材料,又能达到减振的效果从而验证本方法的有效。

图7 不同体积约束下的优化结果对比Fig.7 Comparison of optimization results under different volume constraints

为了进一步探究惩罚因子的选择对优化结构的影响,本文以体积约束为50%设置了不同的惩罚因子组合,图8为不同惩罚因子组合下的优化结果。由优化结果图8可知,其中不同惩罚因子组合对材料的数量和位置也有一定的影响。从图8 中可以看出质量惩罚因子对拓扑构型影响较小,而优化构型主要受刚度惩罚因子的影响。由图8可知,当p=1几乎没有惩罚的效果,不便于实际工程制造。当p为其他值时,优化后的结构有明显的结构模型符合实际结构设计的要求。并且随着刚度惩罚因子p的增大,拓扑构型逐渐清晰紧凑,但阻尼耗因子随之下降,且随质量惩罚因子q的增加结构的损耗因子也略微下降。因此p值设置2,3都比较合适,q值可相对取小一点,其他情况根据所优化的模型设置合适的惩罚因子,即可获得最佳的拓扑结构。

图8 不同惩罚因子组合下的优化结果Fig.8 Optimization results with different combinations of penalty factors

图9为图8(d)的拓扑优化迭代图,可以看出整体迭代过程稳定,随着迭代步数的增加,灰度单元逐渐减少并最终趋于最优分布的拓扑构型,进一步说明本算法的有效性。

图9 图8(d)拓扑结构优化迭代收敛过程Fig.9 Figure 8(d) topology optimization iterative convergence process

4 结 论

拓扑优化在各个设计领域中都有着广泛的应用前景,是实现结构轻量化提高设计效率的有效手段。本文结合拓扑优化技术对综框类板壳结构进行性能分析和结构优化设计,结论如下:

a)基于可变密度法对其进行优化设计,建立拓扑优化模型,给出了灵敏度过滤的计算方法,以阻尼损耗因子为目标函数采用不同体积约束,并得到相应的拓扑优化构型,论证了设计方法的有效性。

b)根据综框阻尼板实例探讨不同刚度惩罚因子与质量惩罚因子的组合,结果表明通过合适的惩罚因子组合,可以获得最佳的拓扑结构。

c)既提高计算的效率和精度又提高材料的利用率,对降低机械振动、改善车间环境、增强机械系统运行的稳定性和可靠性具有很强的现实意义。但是从所获得的优化构型来看,还是存在部分的灰度单元,结构边界不够光滑,此外可能还有其他约束条件导致了拓扑优化结果的差异,需要进一步寻找更佳的参数组合。