高考全国卷中函数的概念及其性质的考向分析

■江苏省东台中学 李遐龄

函数的概念和性质是研究函数的基础,是历年高考常考的内容,主要为选择题或填空题,以中等难度的题目居多,命题的重点是分段函数的求值、不等式等问题。

考向一、函数的概念

主要以研究函数值的求解为主,特别是新定义函数的函数值。

评注:本题是以新定义形式给出背景的创新题,其构思新颖巧妙,设置本题的目的是要求同学们在阅读理解的基础上根据题中提供的信息,建立合理的数学模型,联系所学的知识方法实现信息的迁移转化,借引入新的概念进行抽象与概括,对所学知识有深度的理解,揭示对新知识的本质认识。本题是理性思维的具体体现,应引起各位同学的足够重视。

考向二、函数的定义域

主要研究由对数式、根式及分式的综合构成的函数的定义域,以及抽象函数的定义域问题。

故选B。

评注:在研究函数问题时,必须树立“定义域优先”的观念。函数定义域问题的类型及求法:(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解。(2)抽象函数:①无论是已知定义域还是求定义域,均是指其中的自变量x的取值集合;②对应f下的范围一致。(3)已知定义域求参数范围,可将问题转化,列出含参数的不等式(组),解不等式(组)进而求得参数的取值范围。

考向三、函数的奇偶性

主要是根据函数的解析式判断函数的奇偶性,再利用奇偶性求解参数的值。

(2)由题可知,当x≥0时,f(x)=f(x+2),且f(5)=1,又因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0。因为h(-2 022)+h(-2 023)+h(-2 024)=f(-2 022)+f(-2 023)+f(-2 024)=-[f(2 022)+f(2 023)+f(2 024)],又因为f(2 022)=f(2 024)=f(0)=0,f(2 023)=f(1)=f(5)=1,所以h(-2 022)+h(-2 023)+h(-2 024)=-1。

故选A。

评注:已知函数的奇偶性求参数,主要方法有两个:一是利用f(-x)=-f(x)(奇函数)或f(x)=f(-x)(偶函数)在定义域内恒成立求解;二是利用特殊值求解,奇函数一般利用f(0)=0 求解,偶函数一般利用f(-1)=f(1)求解。用特殊值法求得参数后,一定要注意验证。

考向四、函数的周期性

主要利用函数的周期性求函数值。

评注:利用函数的周期性求函数值的关键:是利用周期性将所求值转化到已知区间上的函数值。

考向五、函数性质的综合应用

主要是函数的单调性、奇偶性与周期性的综合应用等。

例5已知函数y=f(x)的定义域为R,且函数y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称,对于任意的x,总有f(x-2)=f(x+2)成立,当x∈(0,2)时,f(x)=x2-2x+1,函数g(x)=mx2+x(x∈R),对任意的x∈R,存在t∈R,使得f(x)>g(t)成立,则满足条件的实数m构成的集合为( )。

解析:因为函数y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称,所以函数y=f(x)的图像关于原点对称,即函数y=f(x)是奇函数。由对任意的x,总有f(x-2)=f(x+2),即f(x+4)=f(x)恒成立,可得函数y=f(x)的周期是4。又当x∈(0,2)时,f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,则0≤f(x)<1,而f(x)是奇函数,所以当x∈(-2,0)时,-1

故选A。

评注:由y=f(x-1)的特性,结合函数图像平移变换,可得f(x)是奇函数,由f(x-2)=f(x+2)可得函数f(x)的周期,由此探讨出f(x)的值域,再将所求问题转化为不等式mx2+x≤-1 在R上有解的问题即可。