高中数学项目式学习中的问题驱动探析*——以《等比数列》为例

郝文华|北京师范大学盐城附属学校

伏建彬|徐州高等师范学校

项目式学习以问题为驱动，更强调对“真实而又复杂”问题的探究过程.基于项目式学习的教学活动更注重真实问题情境的设置，并由此引出具有挑战性的数学问题，来驱动教学活动的进展.那么，什么样的问题是“真实的数学问题”，项目式学习中问题驱动的策略是什么？对于上述问题的准确探讨与定位，直接决定着项目式学习的实践路径和质量.

从项目式学习的发展历程来看，作为一套系统的教学模式（广义上来说，项目式学习应具有五重内涵，即作为一种教育理念、教学模式、学习模式、课程形态和学科整合方式），其之所以能够被称之为一个“项目”，是因为其强调对“真实而又复杂”问题的探究过程，强调知识与现实生活之间的紧密联系.当前相关学者研究的案例，也基本都是解决生产生活、科学研究中实际难题的各类项目.这种“真实问题”看似和严谨抽象的数学问题毫无瓜葛，但是在简洁抽象的符号和图形背后，蕴藏着真实的“情境”（即现实情境、数学情境和科学情境）.在教学中，只要从这种“真实情境”中提出的问题是合理的，问题的解决过程符合思维的逻辑性及学生心理、知识的发展规律，即可视其为“真实的数学问题”，继而利用项目式学习进行解决.这也给项目式学习进课堂提供了一个理论支撑点.

基于此，笔者以人教A版普通高中教科书《数学》选择性必修第二册第四章第3节《等比数列》为例，深入探讨项目式学习理念下高中数学教学中的问题驱动策略.

一、基于“真实数学问题”的项目式学习及问题驱动分析

基于对“真实数学问题”的理解，高中阶段数列内容的设置是“真实”而又“合理”的，符合高中数学课程架构的逻辑性以及学生的知识与认知水平.高中数学课程分为必修课程、选择性必修课程和选修课程三类，在必修课程中，学生已经学习了函数的概念、性质和几个基本初等函数，对于研究函数问题的基本方法及应用均有所了解.相较于几个具体的基本函数（幂函数、指数函数、对数函数等），数列是一类相对特殊的函数，是继函数概念之后对具体函数研究的补充，其研究过程及方法，也与基本函数相似，均遵循定义、图象、性质（包括单调性、周期性、最值等）、综合应用的研究过程.由此可见，不论是从课程设置的角度，还是从函数体系内部的逻辑发展角度，数列项目的整体构建均符合“真实数学问题”的基本要求.

（一）项目式学习主线问题驱动分析

在实际生活、生产及科学研究中，我们会接触到各种各样、大大小小的项目，我们做的每一件事都可以被视为某个项目中的一环.数学学习也一样，如果把对函数的探究作为高中数学学习的“特大项目”，那么探究数列就可视为“大项目”，而对等差数列、等比数列的探究就可以视为“小项目”，对其概念及性质的探究就可以看作“微项目”，与此相对应的问题即为特大问题、大问题、小问题、微问题.

在此需要强调的是，项目之大小的界定是相对的，例如，某一章中的小项目可能是某一节中的大项目，某一章中的大项目也可能是某一个研究主题下的小项目.

以“等比数列”为例，由于学生刚刚学习过“等差数列”，实施“等比数列”项目式学习就相对容易，教师可采用如下类比的方式，创设问题情境，引导学生进行项目式学习.

问题1：在必修教材中，我们学习过函数的概念之后，又学习了几类特殊的函数，那么对于数列的学习，是否也遵循这种从一般到特殊的程序呢？

问题2：什么叫等差数列？其通项公式及求和公式是怎么推导的？你们能否用类似的方法研究等比数列？

问题3：等差数列有哪几条性质，等比数列也有类似的性质吗？

问题4：两种数列的判定方法有哪些？

设计意图：这四个问题都是“等比数列”项目式学习中的“大问题”，既从宏观上对这一项目的开展给予指导，也为学生进行项目式学习指明了方向，学生在此大框架下进行问题研究，就不会偏离主题.

问题1 引导学生从数学研究的一般规律中去体会等比数列研究的必要性，以及两个特殊数列的基本关系，也为后面三个问题的提出作铺垫.

问题2 引导学生利用等差数列的定义方式、公式的推导方式去主动探索等比数列的内容，它们的定义在文字语言的叙述上只有一字之差，符号语言形式也相似：{ an}等差⇔an+1-an=d（常数）（n ∈N*）；{ an}等比⇔=q（常数）（n ∈N*）.类比等差数列求和公式倒序相加的推导方法，结合等比数列的特征，可采用错位相减的方法推得等比数列求和公式.

问题3的设置更具有指向性，几条主要的性质很相似，学生完全可以通过类比完成.例如：在等差数列{ an}中，若m+n=p+q，则有am+an=ap+aq；在等比数列{ an}中，若m+n=p+q，则有am⋅an=ap⋅aq.这是纵向类比.对此，我们还可以进行横向延伸：若m+n+s=p+q+r，则am⋅an⋅as=ap⋅aq⋅ar.不论是纵向类比还是横向延伸，知识产生的逻辑关系都是自然的、合理的、真实的，其他几条性质可类比探究，这种问题解决的过程既具有挑战性又极具研究意义.

问题4的设置，主要是培养学生对数学问题的总结概括能力，这也是项目式学习中的一个重要环节.类比等差数列的判断方法，等比数列的判断可总结为定义法、通项公式法、求和公式法和等比中项法四大类.

上述四个问题是等比数列项目式学习的主线，是驱动项目进展的教学情境，是教师精心设计的研究提纲，也是项目活动中不失教师主导地位的具体表现.

（二）项目式学习展示与评价环节问题驱动分析

“等比数列”自主探究结束后，每个项目组要形成具体的研究成果并相互展示，教师要组织相关成员对各小组成果进行“质量分析”，并适度进行删减、增添、修正.评价形式应丰富多样，可以有学生个人自评互评、组内自评互评、小组互评、教师评价、试题检测等.实际操作中，可选择其中若干种方式进行，但对于每一种评价方式，教师最好给予指导性的驱动问题，例如，对于小组内自评互评，教师可提出以下五个问题.

问题1：你在本次项目活动中承担的主要任务有哪些？喜欢这种学习模式吗？

问题2：你在本次项目活动中提出了哪些富有意义的建议？对自己的表现满意吗？

问题3：通过本次活动，你获取了哪些知识点？略举几例.

问题4：你对本组的研究成果满意吗？有没有需要改进的地方？

问题5：你从本组其他成员那里学到了什么？他们的哪些做法让你感触颇深？

项目式学习的评价是多维的，一般分为结果性评价（如问题3、4）、表现性评价（如问题2、5）、情感态度评价（如问题1）.问题驱动式的项目评价可以是教师提问，可以是组长提问，也可以是学生自己自问自答，这样可以充分调动学生学习的主动性，增强学生学习的成就感及参与意识，锻炼学生独立解决问题的能力.

二、项目式学习驱动问题设计策略

项目式学习将学生置于生活世界的问题情境中，强调要通过合作协同、深度探究来解决复杂的现实问题.问题设计是高中数学项目式学习中的重要环节，也是项目研究顺利开展的驱动器.《普通高中数学课程标准（2017年版2020 年修订）》（以下简称“《课程标准》”）指出，高中数学教学以发展学生学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学的本质.项目式学习方式虽然更加注重体现学生的主体地位，突出学生的合作意识及动手实践能力，但丝毫没有减弱教师对课堂的主导作用，恰恰相反，其对教师的课堂把控、统筹协调，特别是问题情境及问题链的设置等能力要求更高.

（一）注重统筹性和导向性

与传统的教学模式相比，项目式学习虽然把实践活动及问题的解决“交给”了学生，但问题探究的大体方向不能偏离教学主题及研究目标，否则就会严重影响课堂教学效率.问题链的设计应体现项目研究的大体思路，并具有一定的指导意义及可操作性，使研究者可以从问题链中归纳出研究项目的流程.这要求教师在教学设计环节就要注意统筹把握教学内容，先设置若干个（一般3～5个）具有指导意义的“大问题”，即学习活动的主线，引导学生在这几个“大问题”的轨道内逐步开展项目研究，以免偏离研究主题.例如，从单元主题构建的角度来看，对于《等比数列》模块内容的项目式学习探究，可通过如下四个“大问题”展开.

问题1：类比等差数列的学习，探究什么是等比数列，其通项公式又是什么？

问题2：如何推导等比数列的前n项和公式？

问题3：根据等比数列的定义及公式，可以得出哪些基本性质？

问题4：利用公式及性质，能否解决教材中的练习与习题？

（二）注重适切性和逻辑性

不论采用什么教学模式，从课堂教学改革与发展的历程来看，课堂教学活动均离不开问题情境的设置.而设计出合理的问题链，则能更好地衔接学生已有的知识经验，激发学生主动探索的兴趣.项目式学习更加强调在真实有效的问题情境中进行探究活动，这就要求教师必须充分挖掘知识产生背后的真实问题，然后结合学生的实际创设具有适切性和逻辑性的问题情境.所谓“适切”，除了具有“适合、贴切”之义外，还强调高度的“关联性”和“适中性”.适切的问题情境，可以让抽象的数学问题形象化，让呆滞的数学结论生动化，让严密的数学逻辑顺畅化，从而使枯燥的项目式学习更加生活化.可以这么说，问题链及情境的设置是否合理，直接影响项目研究的进展和质量.因此，问题情境的设置应基于学生学情、教材内容、思想方法、教学重难点等诸多因素，既要符合知识发展的逻辑规律（学生熟悉的），又要注意问题的数量及问题间的层次关系（逻辑上的关联性），同时还应具有一定的挑战性.

（三）注重界定、拆分与转化

《课程标准》指出，教学情境和数学问题是多样的、多层次的.数学教学情境一般包括现实情境、数学情境和科学情境；数学问题是指在情境中提出的问题，分为简单问题、较为复杂问题和复杂问题.项目设计中的问题界定、问题拆分、问题转化是问题驱动的关键所在.问题的界定，其实就是判断、筛选的过程，即对问题的价值进行判断，筛选出有价值的问题进行教学，避免在无效问题上浪费时间和精力，这是问题驱动下项目式学习的起点.问题的拆分是项目式学习的基本思维，拆分问题就是将一个复杂、笼统、难以解决的“大问题”分解为一个个简单、具体、可操作的“小问题”，化整为零，各个击破.例如，在讲解等比数列的相关概念时，可将“等比数列的基本概念”这一问题拆分如下.

问题1：类比等差数列，应该如何定义等比数列？

问题2：什么是等比中项？它和等差中项有什么区别？

问题3：请写出一个简单的等比数列，并给出其通项公式.

问题4：你能推导出一般情况下等比数列的通项吗？

问题5：类比等差数列，结合通项公式，你能找到等比数列具有哪些性质吗？

拆分问题不是将子问题进行简单罗列，而是要分解出具有层次性、关联性、递进关系的若干便于执行的小问题.这种由浅入深、环环相扣、逐层递进的处理方式能有效降低教学难度，便于学生拾级而上.问题的化归与转化是项目式学习中问题设计的一种基本策略，它是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题进行变换，使之转化为一个简单、易解的问题，进而达成问题解决的一种方法.在项目式学习中，常见的转化类型有：一般与特殊的转化；正与反的转化；常量与变量的转化；数与形的转化；相等与不等的转化；实际问题与数学模型的转化；数学各分支之间的转化等.例如，对于数列的单调性，可从“量”（an+1-an>0 恒成立）与“形”（函数图象上的孤立点）两个不同的角度进行转化理解；对于等差数列的定义，可从文字语言（教材中的定义）及符号语言（an+1-an=d）两个角度进行描述；对于等比数列的判定，可从定义、通项、等比中项及求和公式四个角度相互转化，分析判断.学生会在这种问题转化与化归的过程中，不断拓宽学习思路，提升数学技能和数学素养.

优质的项目式学习都起始于一个真实的好问题，发展于若干个高质量的驱动问题.问题的驱动无对错之分，却有高低之别.因此，在日常教学实践中，教师要在真切观照现实问题的基础上，加强对跨学科核心概念、教学设计方法及学生情感教育的关注，不断探索问题驱动的设计策略，力争创设出真实、贴切、多向、可操作的“脚手架”问题，并借助项目式学习这个工具，提升参与者（教者和学习者）真实的能力和素养.□◢