变式教学在初中数学课堂的应用——以《一元二次方程》的教学为例

文 豪|浙江省杭州市天杭实验学校

变式指有目的、有计划地对原有题目进行合理的转化.而变式教学，即教师巧妙地利用变式，贯通知识之间的联系，从而提升学生的思维，使其明白事物的本质特征，进而对该事物形成科学概念.下面，笔者以浙教版义务教育教科书《数学》八年级下册第2章《一元二次方程》的教学为例，谈一谈变式教学的实施策略.

一、原题剖析，寻找变式方向

维果茨基的最近发展区理论告诉我们，影响学习最重要的因素是学生已有的知识基础.只有基于学生的知识基础，教师才能进行合理的变式.课堂教学中，教师先要做好铺垫，再为学生的知识构建搭阶梯，用变式将新旧知识联系起来，引导学生的思维向更深层次发展.因此，对以考查基础知识为主的题目进行分析才显得格外重要.学生如果不能深层次地掌握基础知识，也就很难有后期的知识变式.

【例题1】证明代数式x2-6x+19恒大于0.

（一）变式思路

寻求合理的变式，需要从原题出发作剖析.一元二次方程的解法众多，很多学生在学习过程中无法对其进行串联.教师可以采取从特殊到一般再回归特殊的方法，引导学生进行一般性的总结.对这道题来说，可以让学生先使用配方法来解决.待学生学会使用配方法后，教师再将方程变式为含参方程，让学生通过解带有参数的一般化方程，学会分类讨论一元二次方程的解法并总结.然后变回几个不同类型的特殊一元二次方程求解，引导学生巩固所学知识.最后引导学生运用思维导图梳理和总结所学的求解方式.

（二）教学片段

师：你们能不能找到一个恒大于0的代数式？

生1：a2.

生2：a2可能会等于0.

师：那么如何修改呢？

生2：a2加上任意大于0的数字即可，比如a2+2.

师：那么（a+1）2+2呢？

生（众）：一定大于0.

师：为什么？

生3：（a+1）2一定大于等于0，加上2以后一定大于等于2，因此它肯定大于0.

师：很好，你们已经找到了本质规律，那老师再举个例子，-2（a+3）2-7呢？

生（众）：一定小于0.

师：那么对于x2-6x+19，你们能找到其值的范围吗？

生4：不能，这个方程跟我们之前讲的形式不一样，要把它变成含有完全平方的形式.

师：怎么变成含有完全平方的形式呢？

生（众）：可以使用配方法，将这个式子变成含有完全平方的形式.

师生合作配方，最终在教师的引导下，学生总结出配方法的步骤.

（三）教学思考

学会变式，首先要掌握好原题和基础知识.教学不是单纯地帮助学生解决问题，而是要引导学生通过已有的知识经验，发现知识之间的联系.该设计层层递进：由证明代数式的值恒大于0需转化成平方的形式，为变式作铺垫；由怎样转化成平方的形式引出配方法；由如何进行配方引出思考配方法的步骤.如此，既能让学生掌握基础知识，又为后续学习从特殊到一般的变式作铺垫.

二、合理变式，提高思维深度

要想进一步拓宽学生的思维，教师需要合理进行变式，让学生在变与不变中找到知识的本质.教师要敏锐地发现知识点之间的联系，合理地设计变式，完成从特殊规律到一般性结论的转变，引导学生看清问题的本质，并习得方法.

【例题2】已知kx2-3x+1=0，求k的取值范围.

（一）变式思路

这里我们进行变式的第二步：从一般的具体数据过渡到含参方程.此题二次项系数含参，因此其不一定是一元二次方程，也可以是普通的一元一次方程.这与例题1 有所不同，如果直接讲解，学生很可能会因为分不清前提条件而出现错误，忘记进行分类讨论.不少教师在教学反思时，总是认为这是由学生粗心导致的，但事实并不完全如此，出现这种情况还因为教师没有进行合理的变式，没有抓住变式中的不变条件.而通过含参方程的变式，学生能更加深入地理解一元二次方程，学会分类讨论，并且对如何解一元二次方程有更为深刻的认识.

（二）教学片段

变式1：已知关于x的方程x2+5x-k=0.

（1）若此方程有两个不等实根，求k的范围；

（2）若此方程有两个相等实根，求k的范围；

（3）若此方程没有实根，求k的范围；

（4）若此方程有实根，求k的范围.

教师可以将变式1 中的方程变为kx2-3x+1=0，让学生重新回答上述问题.

展开教学时，教师需要重点引导学生发现两个方程之间的不同之处.学生很容易就能发现两个方程虽然都是含参方程，但一个常数项是参数，一个二次项系数是参数.在此基础上，教师引导学生进行分类讨论，指导学生完成分类讨论的步骤，待学生自主整理完成以后，再给出另一道变式练习.

变式2：已知方程（k-3）x2-3x+1=0 有实根，求k的取值范围.

（三）教学思考

变式教学在日常教学中相当重要，有效合理的变式能带领学生发现条件中的重要信息，尤其在需要分类讨论的题目上，每一种情况进行一种变式，能让学生看清题目的本质.但变式教学不能为变式而变式，即不顾题目的条件和要求，设计出和原题、原知识点没有联系或跨度太大的变式题，也不能像配套练习，即和原题型差不多.真正有效的变式要能够帮助学生串联思路、梳理解题过程，使学生深入思考知识点之间的关联性，并为引导学生自主整理知识点作铺垫.这就需要教师在备课时就能精心设计和准备，吃透知识点.

三、及时连贯，增加知识联系

上一个例题中我们进行了从特殊到一般的变式，这一类变式能带领学生由浅入深地思考，使其看清题目本质并将思维串联.数学知识之间往往有一定的逻辑关联，因此，学生不应散落地点状式地学习知识，而应将其编织成相互关联的逻辑网.知识之间的逻辑关系越强，学生学习起来就越方便.要使知识之间建立起强有力的联系，教师就应及时巩固联系，如从一般的变式再次回到特殊的变式，以有效地促进学生的理解，使其将相关知识点连贯起来.

【例题3】用合适的方法解下列方程：

（1）x2-3x-10=0；（2）3x2+7x+2=0；（3）2x（2-x）=3.

（一）变式思路

通过上述变式练习，学生已经掌握了一元二次方程的四种解法，现在教师需要将四种解法串联，教会学生对比和选择.此时，教师如果直接告诉学生四种方法的差别，就不能帮助学生从本质上理解这四种方法之间的差别和优劣.因此，笔者通过一个变式尝试串联知识点，构建知识网络.

（二）教学片段

笔者在黑板上展示如下三个方程.

（1）x2+2x-3=0；（2）（x+1）2=4；（3）（x-1）（x+3）=0.

师：在这三个方程中选择一个来解，要求不用笔算迅速口答出结果.

生1：选择第三个方程，答案是1或-3.

师：（展示变式）（x-m）（x-n）=0的解是什么呢？m，n是常数.

生1：很明显就是m和n.

生2：选择第二个方程，答案是1或-3.

师：（展示变式）如果方程是(x+m)2=n(n ≥0)，你会怎么来解呢？

生2：可以选择直接开平方.

师：现在还剩下第一个方程没有解答，我们可以怎么做呢？

生3：可以使用因式分解法，直接分解成（x-1）（x+3）=0.

生4：也可以使用配方法或者公式法.

师：对于一般的一元二次方程，在不能因式分解时，我们可以选择配方法.那么，配方法的目的是什么？

生5：配成能直接开平方的形式，然后直接开平方得出x=.

师：那你们觉得是直接用公式好，还是用配方法好呢？

生（众）：公式法.

笔者带领学生进行方法的归纳和梳理，最终将流程图展示在黑板上.

（三）教学思考

解一元二次方程有四种不同的方法，不少教师在讲解时只是告诉学生方法怎么使用，而没有进行知识的串联.其实，方法之间的关联性和差异性可通过变式来串联.教师在平时的备课和研究中，就应敏锐地觉察到不同知识之间的联系性，并通过变式呈现给学生，以此引导学生思考.这就要求教师一定要熟读课本，了解知识结构体系，以便能设计出合理的变式，帮助学生纾解困难.

四、总结提升，延展理解宽度

进行变式教学的最终目的，就是教会学生学习，让学生能够自主梳理出知识点之间的联系.那么，怎样体现学生有没有通过变式学习掌握知识点之间的联系呢？一个很好的方法是画思维导图.很多教师认为学生学会知识就可以了，而忽视了思维导图的作用.其实，不同知识之间、知识与方法之间、知识与学段之间，都有很强的联系.思维导图能够帮助学生编织思维网络，串联知识架构，检验变式教学的成果.因此，笔者在一元二次方程解法的教学结束后，就引导学生整理完成思维导图，以此实现知识的构建与内化.

综上，变式教学是培养学生数学核心素养的重要方式.教师要从对变式教学的研究，过渡到通过变式教学影响课堂教学模式，使学生数学核心素养的培育从理念走向行动.为了让变式教学更高效，教师应：熟读教材，立足课堂，多练习多准备；思考学习模式，锤炼利用变式引导学习的技能；寻找联系知识点的方法，串联更多知识，不断拓宽知识网络，使课堂教学更加专业化、准确化.□◢