高中数学教学中函数试题的解题技巧

李静 张军

【摘 要】  在高中数学教学中，函数作为重要的知识内容，包含有三角函数、指数函数、反比例函数以及幂函数等.在高考数学中，函数是重要的考查内容之一，而且题目类型多种多样.因此，在高中数学教学中，要求学生掌握函数解题技巧，有着重要的作用和意义.作为数学教师，需要加强函数解题技巧讲解，结合函数例题引导学生探究，明确解题思路和技巧，逐渐培养学生函数解题思维，进一步提高学生解题能力.本文结合函数例题分析解题技巧，以供参考.

【关键词】  高中数学；函数；解题技巧

1 函数定义域类试题解题技巧

定义域是函数三要素之一，是对应法则的作用对象，指的是函数自变量的取值范围，即对于两个存在函数对应关系的非空集合D、M，集合D中的任意一个数，在集合M中都有且仅有一个确定的数与之对应，则集合D就是函数的定义域.

例1   已知函数f（ 3  sin x cos x+3 sin   2x）的定义域是   π  2 ， 2 π  3  ，那么函数f 2 x－1 + 1 2  的定义域是什么？

解析   这道题主要限制条件就是原函数的定义域是已知的，当对函数式进行转化时一定要等价变形，并注重自变量的取值范围是否发生相应改变，如果出现参数时，要对参数进行分类讨论，以免出现答案不完整或者不正确的情况.

具体解题方式如下：因为函数f（ 3  sin x cos x+3 sin   2x）的定义域是   π  2 ， 2 π  3  ，所以可以假设

t= 3  sin x cos x+3 sin   2x

＝ 3  sin  2x－  π  3  + 3 2 ∈  3 2 ，3 ，

由此求得函數f（x）的定义域是  3 2 ，3 ，

然后让s=2 x－1 + 1 2 ，而f（s）所对应的函数关系仍然是f（x），

由此能够得到s=2 x－1 + 1 2 ∈  3 2 ，3 ，结合这一式子就能够推导出s∈ 1， log  25 ，

从而说明函数f 2 x－1 + 1 2  的定义域就是 1， log  25 .

2 函数单调性类试题解题技巧

函数的单调性又称作函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化之间的关系，当函数f（x）的自变量在其定义域内增大或者减小时，函数值f（x）也随之增大或者减小，就称该函数是在该区间上具有的单调性.

例2   已知函数f（x）= log  9 x+8－ a x  在定义域[1，＋∞）上为增函数，那么a的取值范围是什么？

解析   处理这一题目时，题干中明确指出该函数在这个定义域内是增函数，所以学生就要根据增函数的定义进行列式分析，然后梳理解题过程中要安排几个重要步骤，使其结合增函数的形状展开求解，最终让他们轻松求出a的取值范围.

具体解题方式如下：由于函数f（x）= log  9 x+8－ a x  在定义域[1，＋∞）上为增函数，因此根据增函数的定义能得到在定义域[1，＋∞）上，对于任意的x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），

据此能够得到

log  9 x1+8－ a x1  ＜ log  9 x2+8－ a x2  ，

即为x1+8－ a x1 ＜x2+8－ a x2 ，

则（x1－x2） 1+ a x1x2  ＜0，

因为x1＜x2，故x1－x2＜0，

那么1+ a x1x2 ＞0，化简、变形以后得到

a＞－x1x2 ，

又因为x2＞x1≥1，所以说如果想让a＞－x1x2 恒成立，只需a≥－1即可，

再结合增函数的性质可得1+8－a＞0，故a＜9，综合起来a的取值范围是[－1，9）.

3 函数奇偶性类试题解题技巧

函数的奇偶性在高中数学函数解题中比较常见，对学生的逻辑思维能力有着较高的要求，教师可指导他们按照以下步骤进行：确定函数的定义域；判断定义域是否关于原点对称；如果是，确定f（x）与f（－x）的关系；假如不是，表明既不是奇函数，也不是偶函数；最后得出准确结论 [1] .

例3   请判断函数

f（x）＝  －x 2+x，x>0，x 2+x，   x≤0  的奇偶性.

解析   本题题干简洁明了、主题突出、意图明显，学生需先求出该函数的定义域，再根据定义域是关于原点对称的形式，判断f（x）与f（－x）两者之间的关系，根据关系得出该函数的奇偶性.

具体解题方式如下：根据题意可以知道函数f（x）的定义域是 R ，然后展开分类讨论，

当x＞0时，f（x）=－x 2+x，－x＜0，此时f（x）＝－f（x）；

当x＜0时，f（x）=x 2+x，－x＞0，此时f（－x）＝－f（x）；

当x=0时，f（0）＝－f（0），综合起来可得该函数的定义域是关于原点对称的，并且f（－x）＝－f（x） ，所以说是一个奇函数.

4 函数求最值类试题解题技巧

函数最值分为最小值与最大值两种情况，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值，几何意义是函数图象的最低或者最高点的横坐标就是该函数的最小值或最大值.在高中数学解题教学中，当处理函数求最值类题目时，教师需提醒学生注意函数的定义域，让他们结合具体定义域求出函数的最小值或最大值.

例4   已知函数f（x）是定义在 R 上的奇函数，且满足以下条件：（1）对于任意的x，y∈ R ，都有f（x+y）=f（x）+f（y）；（2）当x＞0时，f（x）＜0，且f（1）=－669，那么函数f（x）在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别是什么？

解析   这是一道典型的求抽象函数最值的问题，由于题目中没有给出具体的函数解析式，通常是通过研究函数的单调性来确定最值，而对于抽象函数單调性的证明，一般是直接采用定义法进行直接证明.

具体解题方式如下：在区间[－3，3]上设x1＜x2，根据条件（1）可得

f（x2）=f［（x2－x1）+x1］

=f（x2－x1）+f（x1），

即为f（x2－x1）=f（x2）－f（x1），

有x2－x1＞0，

根据条件（2）可得f（x2－x1）＜0，

就是f（x2）－f（x1）＜0，

则f（x1）＞f（x2），由此得到函数f（x）在 R 上单调递减，那么f（x）的最大值是

f（－3）=－f（3）=－f（1+2）

=－f（1）－f（1+1）=－3f（1）=2007，

最小值是f（3）＝－2007.

5 函数求值域类试题解题技巧

在处理高中数学函数值域类试题时，一般不直接解决原问题，而是先对问题进行适当的转化与变形，使之成为容易解决的问题，帮助学生准确找到解题的切入点，让他们顺利求出函数的值域 [2] .

例5   求函数f（x）=3+ 2－3x 的值域.

解析   本题直接给出一个函数解析式，求该函数的值域，处理这类试题时，关键之处在于根据函数解析式的不同特点选择相应的解题方法，解答这一题目时可以根据算式平方根的性质先求出函数解析式中根号部分的值域，再求出整个式子的值域，这一方法简洁明了，计算量较少，准确率很高.

具体解题方式如下：由算式平方根的性质得知2－3x≥0，所以综合起来可得3+ 2－3x ≥3，即为函数法f（x）的值域就是[3，＋∞].

参考文献：

[1] 董丛丛.高中数学函数题目的解题技巧浅析[J].神州，2021（05）：190-191.

[2]程志慧.高中数学中函数的解题技巧与方法[J].数学学习与研究，2020（22）：150-151.