谈谈五点作图法

2023-09-13 12:13周启杰
数理天地(高中版) 2023年17期

周启杰

【摘 要】  五点作图法是作正弦型、余弦型函数简图的重要方法,本文通过f x =A sin  ωx+φ 为什么可以用五点法作图,为什么用整体换元方法处理问题,并用运算的角度解释图象变换,说明五点法所蕴涵的思想价值.

【关键词】  五点作图法;整体换元;图象变换

五点作图法是作正弦、余弦函数简图的重要方法,是在学生掌握正弦、余弦曲线图形特征的基础上,选择一个周期中的五个关键点,确定函数图象的基本形状.对于函数f x =A sin  ωx+φ ,利用五点作图法作出其图象的大致形状,借助图象直观分析问题,往往有利于获得解题思路,是解决函数f x =A sin  ωx+φ 具体问题的有效方法,也是五点作图法的价值所在.

为什么可以用五点法作f x =A sin (ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象?

令X=ωx+φ,这样X每取一个确定的值,通过x= X-φ ω ,都有唯一的x与之对应,于是函数y=A sin X 图象上的点与函数f x =A sin  ωx+φ 图象上的点一一对应.由于ω>0,X增大时,x也相应增大,则X增大时,其对应的函数y=A sin X的图象上的点从左向右排列,对应的f x =A sin  ωx+φ 图象上的点也是从左向右排列,其图象形状与正弦曲线类似.当X∈ 0,2 π  时,函数y=A sin X的图象与x∈  -φ ω , 2 π -φ ω  时f x =A sin (ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象相对应;当X∈ 0,2 π  时,函数y=A sin X图象上的五个关键点 0,0 ,   π  2 ,1 ,  π ,0 ,  3 π  2 ,-1 , 2 π ,0 分别对应f x =A sin  ωx+φ  A>0,ω>0  图象上的五个关键点  -φ ω ,0 ,    π  2 -φ ω ,1 ,   π -φ ω ,0 ,   3 π  2 -φ ω ,-1 ,  2 π -φ ω ,0 ,因此可用五点法作f x =A sin  ωx+φ  A>0,ω>0 的圖象.

为什么研究f x =A sin (ωx+φ)(A>0,ω>0 )的性质如单调性、对称性、最值时,往往整体换元,令X=ωx+φ,转化为研究y=A sin X的性质?这是因为二者间的单调区间、对称轴、对称中心、最高(低)点、零点等从左至右是一一对应的,比如,若M是y=A sin X的一个增区间,则f x 有唯一的增区间N与之对应.求f x = sin  -2x+  π  4  的增区间时,令-  π  2 +2k π ≤-2x+  π  4 ≤  π  2 +2k π (k∈ Z ),求得的结果恰恰是f x 的减区间,为什么?令 X=-2x+  π  4 ,则x=- 1 2 X+  π  8 ,当X对应的点从左至右方向从最低点上升到最高点时,相应的x对应的点恰恰是从右至左方向从最低点上升到最高点,恰对应f x = sin  -2x+  π  4  的减区间.

我们知道,由y= sin x的图象经过一系列变换得到函数f x =A sin (ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象,主要有两种途径,一是教材给出的:先平移,后横向伸缩(周期变化),最后纵向伸缩(振幅变化);二是先横向伸缩(周期变化),后平移,最后纵向伸缩(振幅变化).前者平移 φ 个单位长度,后者平移  φ ω  个单位长度.为什么?我们也可以从五点法中找到答案.

对于函数f x =A sin (ωx+φ)(A>0,ω>0),令X=ωx+φ.这样X每取一个确定的值,通过x= X-φ ω 计算x的值时,先计算X-φ,然后计算X-φ与ω的比值.第一步计算X-φ,其实质就是平移变换,在y=A sin X图象上任取点 X,y0 ,即y0=A sin X,点 X,y0 向左 φ>0 或向右 φ<0 平移 φ 个单位,对应的点就是 X-φ,y0 ,而点 X-φ,y0 就是函数y=A sin  x+φ 图象上的点.为什么水平方向的平移法则是“左加右减”?X-φ就能清楚地说明这一点.第二步计算:X-φ与ω的比值,其实质就是横向的伸缩变换,点 X-φ,y0 的横坐标伸长 0<ω<1 或缩短 ω>1 为原来的 1 ω 倍,对应的点就是  X-φ ω ,y0 ,而  X-φ ω ,y0 就是函数y=A sin   ωx+φ 图象上的点.也就是说,函数y=A sin x图象上各点的横坐标向左 φ>0 或向右 φ<0 平移 φ 个单位(纵坐标不变),就得到函数y=A sin  x+φ 的图象;函数y=A sin  x+φ 图象上各点的横坐标伸长 0<ω<1 或缩短 ω>1 为原来的 1 ω 倍(纵坐标不变),就得到函数y=A sin  ωx+φ 的图象.

由于 X-φ ω = X ω - φ ω ,如果通过x= X ω - φ ω 计算x的值,其中 φ ω 是常数,第一步先计算 X ω ,然后再计算  X ω - φ ω .第一步运算的实质就是横向的伸缩变换,在y=A sin X图象上任取点 X,y0 ,即y0=A sin X,点 X,y0 的横坐标伸长 0<ω<1 或缩短 ω>1 为原来的 1 ω 倍(纵坐标不变),对应的点就是  X ω ,y0 ,而  X ω ,y0 就是函数y=A sin ωx图象上的点.第二步运算的实质就是平移变换,点  X ω - φ ω ,y0 就是由点  X ω ,y0 向左 φ>0 或向右 φ<0 平移  φ ω  个单位(纵坐标不变)后对应的点,而  X ω - φ ω ,y0 是函数y=A sin  ωx+φ 图象上的点.也就是说,函数y=A sin x图象上各点的横坐标伸长 0<ω<1 或缩短 ω>1 为原来的 1 ω 倍(纵坐标不变),就得到函数y=A sin ωx的图象;函数y=A sin ωx的图象向左 φ>0 或向右 φ<0 平移  φ ω  个单位(纵坐标不变),就得到函数y=A sin  ωx+φ 的图象.

可以看出,五点作图法与图象变换也有内在的联系,能从运算的角度解释图象变换,运算的过程对应着变换过程,能清楚地说明由函数y=A sin x图象变换到函数y=A sin  ωx+φ 的图象,平移变换和横向伸缩变换的顺序不同,平移的距离也不同.

例   函数f x =2 sin  ωx+φ (ω>0,-  π  2 <φ<  π  2 )的部分图象如图1所示,则φ= .

解析   显然, 3 4 T= 5 π  12 - -  π  3  ,得T= π ,则ω=2.

可以利用特殊点求φ(方法略),也可以利用平移求φ.如图2所示,易知点A的横坐标为  π  6 ,函数f x 的图象可以看作是由函数y=2 sin 2x的图象向右平移  π  6 而得到,于是2 sin 2 x-  π  6  =2 sin  2x-  π  3  ,于是得φ=-  π  3 .

事实上,也可以利用五点法求φ,选择形如“~”的一个周期,把点  5 π  12 ,2 看作五点作图法中的第二个点    π  2 -φ 2 ,2 ,于是   π  2 -φ 2 = 5 π  12 ,得φ=-  π  3 .

体会到五点作图法所蕴涵的思想,就可以利用五点法解决更多的问题.