换元探究指对数复合函数含参恒成立问题

纪明亮

【摘 要】  本文从换元角度探究指对数复合函数不等式恒成立问题，先将问题中变量部分变形，使含变量的部分具有相同的结构形式，并作为整体进行换元，简化函数不等式，再构造关于所换元的函数求其最值确定参数范围.

【关键词】  指对数复合函数；恒成立；换元；最值

换元法是高中数学中的重要思想方法，其内.涵是引入新的变量代替原来的某些变量，巧妙设元将问题简化.指对数复合函数含参恒成立问题中函数形式复杂，若其中变量可通过变形化为结构相同，是否能将其看作整体进行换元简化函数形式？换元之后再如何求解？下面具体实例展开探究.

1 换元构造函数

例1   已知函数f（x）=ax ln x－x e  x+ax 2+x.若   x∈（0，+∞），f（x）≤0恒成立，求实数a 的值.

解   因为   x∈（0，+∞），f（x）=ax 2－x 2 e  x+x+ax ln x≤0恒成立，

所以   x∈（0，+∞），x e  x－ax－1－a ln x≥0恒成立，

则   x∈（0，+∞）， e  x+ ln x －a（x+ ln x）－1≥0恒成立.

设t=x+ ln x，x∈（0，+∞），

则t∈ R ，则   t∈ R ， e  t－at－1≥0恒成立.

设g（t）= e  t－at－1，t∈ R ，

则g（t）  min  ≥0.

因为g′（t）= e  t－a，

所以，当a≤0时，g′（t）= e  t－a>0，

则g（t）在 R 上单调递增，

则g（－1）= 1  e  +a－1<0，不符合题意.

当a>0时，令g′（t）= e  t－a>0，则t> ln a，

令g′（t）= e  t－a<0，则t< ln a，

则g（t）在（－∞， ln a）上单调递减，在（ ln a，+∞）上单调递增，

则g（t）  min  =g（ ln a）=a－a ln a－1≥0.

设h（a）=a－a ln a－1，a∈（0，+∞），则h（a）≥0.

因为h′（a）=1－1－ ln a=－ ln a，

所以，令h′（a）>0，得01，

則h（a）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

则h（a）  max  =h（1）=0，故h（a）≥0时，a=1.

评注   利用关系式x= e   ln x 使x e  x－ax－1－a ln x≥0中x e  x= e   ln x · e  x= e  x+ ln x ，得 e  x+ ln x －a（x+ ln x）－1≥0，再设t=x+ ln x进行换元，构造函数g（t）求其最值. 需要注意的是换元之后函数不等式中变量应只有t，且要求出所换元t的范围，它是g（t）的定义域，这样函数g（t）才构造完成，再借助形式简单的函数g（t）来解决恒成立问题.

变式1   已知函数f（x）=x（x  1 x  －1）－a ln x，   x∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立，求实数a的值.

解   因为   x∈（0，+∞），f（x）=x（x  1 x  －1）－a ln x≥0恒成立，

所以   x∈（0，+∞），

e    ln x x  － a ln x x －1≥0恒成立.

设t=  ln x x ，x∈（0，+∞），

则t′= 1－ ln x x 2 ，

令t′>0，得0

t′<0，得x> e ，

则t=x ln x在（0， e ）递单调递增，在（ e ，+∞）上单调递减，

则x= e 时取最大值t max  = 1  e  ，

则t∈ －∞， 1  e   .

设g（t）= e  t－at－1，t∈ －∞， 1  e   ，

则g（t）  min  ≥0.

当a≤0时，

g（－1）= 1  e  +a－1<0，不符合题意.

当0

令g′（t）= e  t－a≥0，得 ln a≤t≤ 1  e  ，

则g（t）在（－∞， ln a）上单调递减，在（ ln a， e   1  e   ］上单调递增，

则g（t）  min  =g（ ln a）=a－a ln a－1≥0.

设h（a）=a－a ln a－1，a∈（0， e   1  e   ］，

h′（a）=1－1－ ln a=－ ln a，

令h′（a）>0，得0

令h′（a）<0，得1

则h（a）在（0，1）上单调递增，在（1， e   1  e   ］上單调递减，

则当a=1时，h（a）取最大值h（a）  max  =h（1）=0，

则h（a）≥0时，解集为（a=1）.

当a> e   1  e   时，则g′（t）= e  t－a<0在 －∞， 1  e   上恒成立，

则g（t）在 －∞， 1  e   上单调递减，

则g（t）  min  =g  1  e   

综上，a=1.

评注   利用关系式x= e   ln x 使x（x  1 x  －1）－a ln x≥0中x  1 x  = e   ln x  1 x   = e    ln x x  ，得 e    ln x x  － a ln x x －1≥0，再设t=  ln x x 进行换元并确定其范围，构造函数g（t）求其最值.g（t）在 －∞， 1  e   上的单调性与参数a的取值有关，所以要对参数a的取值进行分类讨论.

变式2   已知函数 f（x）=x ax －x ln x－1，若   x∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立，求实数a的值.

提示   利用关系式x= e   ln x 使x ax －x ln x－1≥0中x ax = e  ax ln x ，得 e  ax ln x －x ln x－1≥0，再设t=x ln x 进行换元并确定

t∈ - 1  e  ，+∞ ，构造函数g（t）= e  at -t-1.g（t） min  =g  1 a  ln  1 a  = 1 a - 1 a  ln  1 a -1≥0，求得a=1.具体过程读者可自行完成.

2 参数分离换元构造函数

例2   已知函数f（x）= e  x（x－ ln x）+ax，若   x∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立，求a的取值范围.

解   因为f（x）= e  x（x－ ln x）+ax≥0，

所以a≥－  e  x（x－ ln x） x =－  e  x x  ln   e  x x .

设t=  e  x x ，则t′=  e  x（x－1） x 2 ，

令t′>0，得x>1，

令t′<0，得0

则t=  e  x x 在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

则t=  e  x x 在x=1时取最小值 e ，则t∈［ e ，+∞）.

设g（t）=－t ln t，t≥ e ，则a≥g（t）  max  .

因为g′（t）=－ ln t－1≤－2<0在［ e ，+∞）上恒成立，

所以g（t）在［ e ，+∞）上单调递减，

则g（t）  max  =g（ e ）=－ e ，

则a≥－ e ，即a∈［－ e ，+∞）.

评注   分离参数并利用关系式x= ln  e  x使a≥－  e  x（x－ ln x） x 中x－ ln x= ln  e  x－ ln x= ln   e  x x ，得a≥－  e  x x  ln   e  x x ，再设t=  e  x x 进行换元并构造函数g（t）求其最值.

变式1   已知函数f（x）=  ln x－x e  x+a x ，若   x∈（0，+∞），f（x）≤ 2 x －1恒成立，求a的取值范围.

解   因为   x∈（0，+∞），

f（x）=  ln x－x e  x+a x ≤ 2 x －1恒成立，

所以   x∈（0，+∞），a≤x e  x－x－ ln x+2= e  x+ ln x －（x+ ln x）+2恒成立.

设t=x+ ln x，x∈（0，+∞），

则t′=1+ 1 x >0，

则t=x+ ln x在（0，+∞）上单调递增，t∈ R .

设g（t）= e  t－t+2，t∈R，则a≤h（t）  min  .g′（t）= e  t－1，

令g′（t）>0，得t>0，

令g′（t）<0，得t<0，

则g（t）在（－∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，

则t=0時，g（t）  min  =g（0）=3，

则a≤3，即a∈（－∞，3］.

评注   分离参数并利用关系式x= e   ln x 使a≤x e  x－x－ ln x+2中x e  x= e  x+ ln x ，得a≤ e  x+ ln x －（x+ ln x）+2，再设t=x+ ln x进行换元并确定其范围，构造函数g（t）求其最值.

变式2   已知函数f（x）=（a－1）x－2（a－1） ln x，若   x∈（0，+∞），f（x）≤  e  x x 2 恒成立，求实数a的取值范围.

提示   利用关系式x= e   ln x 使（a－1）x－2（a－1） ln x≤  e  x x 2 中  e  x x 2 = e  x－2 ln x ，得（x－2 ln x）a≤ e  x－2 ln x +（x－2 ln x），设t=x－2 ln x，确定t∈［2－2 ln 2，+∞），根据t>0，分离参数并构造函数g（t）求其最值.

3 结语

指对数复合函数含参不等式f（x）≥0（≤0）恒成立，其中f（x）含有 e  x和 ln x项，先利用关系式x= e   ln x （x>0）和x= ln  e  x对函数不等式中变量的部分进行变形. 若变量能转化相同组合形式，则将其看作整体，设为变量t，并求出变量t的范围. 第一类问题是换元构造函数g（t），使f（x）=g（t（x）），则f（x）≥0（≤0）恒成立可转化为g（t）≥0（≤0）恒成立，则g（t）  min  ≥0（g（t）  max  ≤0），得到h（a）≥0（h（a）≤0）确定a的范围. 第二类问题是换元分离参数再构造函数g（t），使f（x）≥0（≤0）恒成立a≥g（t）（≤g（t））恒成立，则a≥g（t）  max  （≤g（t）  min   ）. 整个换元过程中是将 e  x和 ln x项分配到函数t（x）和g（t）中进行分步处理，起到了降阶的作用，降低了问题难度.