数学思想方法在高中数学解题训练中的妙用

刘长山

【摘 要】  在高中教育阶段，数学作为一门逻辑性、抽象性比较强的科目，对师生双方的综合能力均有着较高要求，在平常教学中，教师不仅需帮助学生理解与掌握数学理论知识，还要积极开设解题训练活动，使其学会运用所学知识解决问题，促进学以致用教学目标的实现.除常规解题方法的使用，还要巧妙应用数学思想方法，让学生的解题水平更高.本文针对数学思想方法如何在高中数学解题训练中进行妙用作探讨，并分享部分解题实例.

【关键词】  数学思想方法;高中数学;解题

数学思想方法指的是人们对数学知识本质的理解与认知，从数学知识中提炼出的部分观点，是对数学规律普遍性的揭示，也是数学发展的支撑点，还是解决数学问题的一类方法，包括涉及的解题手段、途径和方式等.在高中数学解题训练中，教师需给予学生正确引导，除讲授理论知识以外，还要传授一些常用的解题技巧，借助各种数学思想方法的妙用，培养他们的解题能力与逻辑思维能力，使其掌握更多解决数学问题的窍门，从而取得理想化成绩.

1 巧妙运用转化思想解答数学试题

转化思想即为处理或者解决部分难度相对较大的数学问题时，通过某些转化手段与方法把难懂复杂的数学问题转化成易懂简单的问题，帮助学生降低解题难度，让他们更好地解答数学试题，使其不断增强解题自信心.在高中數学解题训练中，教师可指引学生巧妙应用转化思想，将一些难以解决、陌生、抽象的数学问题转化成容易解决、熟悉、具体的问题，使其思维得以进化，通过不断地构造与转化找到解题的突破口，让他们快速处理数学难题 [1] .

例1   （1）求解函数y= sin x-1的值域；（2）求解函数y= cos  2x－3 sin x+2的最大值.

解析   学生根据所学知识能够判断出（1）是一道求解三角函数值域的问题，（2）属于求最值类的问题，他们处理这类题目时可以考虑使用转化思想，将三角函数问题转变成普通函数问题进行求解，目的是降低解题的复杂程度，减少错误现象的出现.

具体解题方式如下：

（1）先假设b= sin x，结合三角函数的有界性，能够得出b的范围为 －1，1 ，

由此原函数可转化成一个普通函数y=b－1，能够判断出y的值域是 －2，0 .

（2）因为 sin   2x+ cos   2x=1，所以 cos   2x=1－ sin   2x，

原函数能够替换成y=1－ sin  2x－3 sin x+2，

整理后得到y=－ sin  2x－3 sin x+3.

令 sin x=b，则原函数转化成y=－b 2－3b+3，

结合三角函数的有界性能够判断出b的范围为[－1，1]，

然后把转化后的函数进行配方，最终得到y的值域是 －1，5 ，则y的最大值是5.

2 使用函数方程思想解答数学试题

函数思想即为基于运动变化的视角切入，分析与探究数学问题中各个数量之间的关系，明确变量和常量，据此构建出函数的特征，从变量的运动变化、发展与联系等角度拓展解题思路，最终形成准确的解题方法.在高中数学解题训练中，教师需积极传授函数方程思想，指引学生据此各种数学问题，找出题目中隐性条件，灵活使用函数性质，准确构建函数解析式或者方程，使其逻辑思维能力得到很好的培养和锻炼，让他们的解题思路也有所拓宽 [2] .

例2   在一个三角形中，三条边分别是x，y，z，∠1，∠2，∠3是该三角形的三个内角，它们大小构成一个等差数列，且∠1比∠3的度数小，其中 tan ∠1· tan ∠3=2+ 3 ，∠3对应边z上的高的长度是4 3 ，那么该三角形三条边x，y，z，的长度分别是多少？∠1，∠2，∠3三个内角分别是多少？

解析   从表面上来看这是一道有关三角形和等差数列的问题，其实数列也是一种特殊的函数类型，同方程知识有着紧密联系，处理本题的关键之处在于找准题目中量之间的等量关系，据此建立出相应的方程，最终通过解方程获得相关数据，也就是答案.

具体解题方式如下：根据已知条件 tan ∠1· tan ∠3=2+ 3 ，

能联想到三角形中的恒等式

tan ∠1+ tan ∠2+ tan ∠3= tan ∠1· tan ∠2· tan ∠3，

则 tan ∠1+ tan ∠3= tan ∠2·［ tan ∠1· tan （∠3－∠1）］.

又因为∠1，∠2，∠3是一个等差数列，

则∠2=  π  3 ， tan ∠1+ tan ∠3= 3 × 1+ 3  ，

这表明 tan ∠1和 tan ∠3是方程x 2－ 3+ 3  x+2+ 3 的两个根，

由于∠1比∠3的度数小，

解之得 tan ∠1=1， tan ∠3=2+ 3 ，

即为∠1=  π  4 ，∠3= 5 π  12 ，

据此得到x=8，y=4 6 ，z= 3 +1.

3 使用分类讨论思想解答数学试题

在高中数学解题教学中，部分题目通常存在着多种可能的情况，处理此类题目时就要用到分类讨论的数学思想方法，通过对各种情况的综合以后求得结果，从本质上来看，这是一种逻辑性极强的解题方法，展现出化整为零、积零为整的归类整理方法.具体来说，高中数学教师在指导学生使用分类讨论思想解答数学试题时，应当先确定讨论对象及全体范围，再确定分类标准，然后逐个讨论，最后让他们总结讨论出的所有内容，整合后得到结果 [3] .

例3   已知函数f（x）=（x－k） e  x，（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求f（x）在区间 0，1 上的最小值.

解析   第（1）问可以直接求解，处理第（2）问时，学生需结合数f（x）在不同区间的增减性进行分类讨论，分别求出f（x）的最小值，以免遗漏某些情况，只有这样才能够确保答案的完整与准确.

具体解题方式如下：（1）因为f′（x）=（x－k+1） e  x，能够得到f（x）的递减区间是（－∞，k－1），递增区间是（k－1，+∞）.

（2）这里要用到分类讨论思想.

①当k≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，所以f（x） min  =f（0）=－k；

②当1＜k＜2时，根据（1）中的结果可知f（x）在区间［0，k－1）上单调递减，在区间（k－1，1］上单调递增，则f（x）  min  =f（k－1）=－ e  k－1 ；

③当k≥2时，函数f（x）在区间 0，1 上单调递减，则f（x）  min  =f（1）=（1－k） e .

4 采用特殊一般思想解答数学试题

矛盾的普遍性往往存在于特殊性之中，大部分高中数学试题均是对特殊情况分析和归纳后得到的一般性结论，由于特殊性的数学问题通常直观、简单，认识与把握起来也较为容易，这时可采用特殊和一般的数学思想方法，如果一般情况下成立，那么包含于题目中的特殊情况同样成立.针对高中数学解题教学来说，当遇到一些一般情况下难以求解的数学问题时，教师可以引导学生采用特殊化思想，取一些特殊值或者特殊图形，从而顺利求解 [4] .

例4   判断是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n（n+1）（n+2）恒成立，且把结论证明出来.

解析   处理本道题目如果使用常规方法难度较大，还比较烦琐，结论也很难证明出来，教师可提示学生使用特殊一般思想，按照“特殊到一般，再到特殊”的流程来证明结论，让他们顺利完成题目的解答.

具体解题方式如下：先把n=1，2，3分别代入等式后能够得到a1=6，a1+2a2=24，a1+2a2+3a3=60，则a1=6，a2=9，a3=12，公差d=3，由此证明存在一个等差数列an=3n+3，当n=1，2，3时，该等式成立.

接着，采用数学归纳法证明存在一个等差数列an=3n+3，对于大于3的自然数，上述等式仍然恒成立，假设n=k时等式成立，

即为a1+2a2+3a3+…+kak=k（k+1）（k+2）.

当n=k+1时，

有a1+2a2+3a3+…+kak+（k+1）ak+1 =k（k+1）（k+2）（k+1） 3（k+1）+3 =（k+1）（k 2+2k+3k+6）=（k+1）（k+2）（k+3）=（k+1）［（k+1）+1］［（k+1）+2］.

这表明当n=k+1时，上述等式同样成立，从而证明了题目中的结论.

5 借助数形结合思想解答数学试题

数形结合可谓是数学领域中最古老、使用范围最广的一种思想方法，主要包括以形助数、以数辅形两大方面.对于高中数学解题训练而言，教师带领学生分析数学问题中条件和结论之间的内在关系时，不仅需发掘出抽象数学语言中所蕴涵的代数含义，还要展示出几何的直观性特征，使其以数与形之间的结合点为突破口找到解题思路，把复杂的数学问题变得简单，运用数形结合思想方法的关键在于应把握好题目中数、形之间的关系及转换 [5，6] .

例5   已知在一个平面直角坐标系中有两个图形，一个是椭圆，方程是 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1，另外一个是以原点 0，0 为圆心，以 a 2+b 2 为半径的圆，其中椭圆的短轴长度是2，离心率是  6  3 .求（1）椭圆和圆的方程；（2）如果一条直线和椭圆相交于M，N两点，同圆相交于P，Q两点，且 PQ = 13 ，那么△MON的最大面积是多大？

解析   处理第（1）问时使用常规方法即可，解答第（2）问时要用到数形结合思想，这能够帮助学生简化解题过程.

具体解题方式如下：（1）结合已知信息求出椭圆的方程是 x 2 3 +y 2=1，圆的方程是x 2+y 2=4.

（2）如图1所示，作OH⊥PQ相交于点H，把OP连接起来，在 Rt △OHP中，结合勾股定理求得 OH =  3  2 .

根据图中信息可知，当直线同x轴平行时，△MON的面积最大，如图2所示，这时图中5个点的y值都是  3  2 ，

将其代入椭圆的方程中求得M，N的横坐标分别是－  3  2 ，  3  2 .

所以 MN = 3 ，则△MON的最大面积是 3 4 .

6 总结

综上所述，在高中数学解题训练中，教师要高度重视数学思想方法的妙用，指导学生根据具体题目内容灵活使用转化、函数、分类讨论、特殊一般、正难则反与数形结合等多种多样的数学思想方法，使其在较短时间内找准解题的切入点，优化解题方法与流程，少走弯路，促使他们切实体会到数学思想方法的价值和实用性，最终提高个人解答数学试题的效率.

参考文献：

[1] 陳林.数学思想方法在高中数学解题中的应用[J].数理天地（高中版），2022（21）：85-87.

[2]李军焰.高中数学解题课中数学思想方法教学的策略[J].数理天地（高中版），2022（04）：35-37.

[3]田静.数学思想方法在高中数学解题中的应用[J].新课程教学（电子版），2021（24）：43-44.

[4]纪洋.高中数学解题课中数学思想方法教学的渗透[J].数学大世界（上旬），2021（06）：78.

[5]崔君柱.浅析数学思想方法在高中数学解题中的应用[J].读写算，2021（13）：101-102.

[6]彭雪峰.高中数学解题课中数学思想方法教学的策略[J].数理化解题研究，2021（12）：6-7.