有关函数单调性在高中数学解题训练中的实践运用

黄倩

【摘 要】  函数是初、高中阶段数学教学中不可忽视的一项重要教学内容，几乎贯穿于整个数学课程体系，是日常学习中的难点之一，也是高考中的一个常考点，备受广大师生的关注.在函数中涉及的知识点也较多，单调性即为其中一个，在高中数学解题训练中，教师可以指引学生运用函数单调性解决问题，让他们充分体会函数知识的重要性和价值.本文针对函数单调性如何在高中数学解题训练中运用做探讨，同时分享一些实践案例.

【关键词】  函数单调性;高中数学;解题教学

函数单调性又称为函数的增减性，指的是当某一函数的自变量在其定义区间内增大或者减小时，函数值也随之增大或者减小，属于函数的一个重要性质，在一些题目的求解中合理应用，具有化繁为简、化难为易的功效.在高中数学解题训练中，教师应强调函数单调性的广泛运用，让学生以深刻理解函数单调性的本质为基本前提，根据实际题目灵活解题，使其快速找到解题的突破口，形成简洁、清晰的解题思路，使他们的整体解题水平更高.

1 运用函数单调性的定义解答题目

定义属于函数单调性的基础性知识，高中生通过学习都了解函数单调性的定义，这是运用函数单调性进行解题的基本方法，不过前提是他们需熟练掌握定义法证明函数单调性的步骤，当遇到带有无理式的函数试题时，要注重无理式的有理化处理.在运用函数单调性解答高中数学试题时，定义法也是一种必须要考虑到的方法，特别是有的题目明确指出要使用定义法，这时学生就要充分掌握运用定义法证明函数单调性，从而高效解題 [1] .

例1   （1）已知函数f（x）=x+ x 2+2 （x∈ R  ），用单调性定义证明函数y=f（x）在 R 上是单调递增函数；（2）已知函数f（x）=ax+ b x （a>0，b>0），尝试判断该函数的单调性，并求出它的单调区间.

解析   学生读完题目以后，发现第一道题目在题干中直接说明要用到函数的单调性进行证明，而第二道题目则是明确要求判断出这一函数的单调性，并求出单调区间，所以均要用到函数单调性知识.

（1）  证明   假设x1，x2∈ R ，其中x1＜x2，

所以f（x1）－f（x2）=x1+ x 21+2 －x2－ x 22+2 =x1－x2+ （x1－x2）（x1+x2）  x 21+2 + x 22+2  ＝（x1－x2）  x 21+2 +x1+ x 22+2 +x2  x 21+2 + x 22+2  ，

由于x1－x2<0， x 21+2 +x1>0， x 22+2 +x2>0， x 21+2 + x 22+2 >0，据此说明f（x1）

（2）  解   因为f（x）=ax+ b x （a>0，b>0）的导数是f′（x）=a- b x 2 = ax 2-b x 2 ，令f′（x）>0，得出x>  b a  ，或x<-  b a  ，所以f（x）的递增区间是 -∞，  b a   ，   b a ，+∞  ，

减区间是 -  b a  ，0 ， 0，  b a   .

2 使用函数单调性解答方程类题目

高中生学习函数单调性这一知识点时，已经学习过基础方程与函数等相关知识，针对求解方程类的题目已经掌握一定的思路和方法，可以自行归纳函数与方程的关系，而且求解方程本身就是一个求解等式的过程，涉及多个数学知识点，相应的求解方法多种多样.在高中数学解题训练中，处理一些比较特殊的方程或者高次方程类的试题时，教师可引领学生使用函数单调性知识进行求解，使其尝试运用新的方法解方程，由此拓展他们的解题思路 [2] .

例2   已知方程x 3+2x+（x+1） 3+1=0，那么该方程的解是什么？

解析   因为题目中提供的方程是一个典型的高次方程，解题难度相对比较大，学生并没有学习过求解高次方程的方法与技巧，假如参照解低次方程的方式过程较为复杂、步骤繁多，容易出现错误情况，不仅影响他们解题的正确度，还不利于他们在数学学习过程树立自信心，这时教师可以提示学生使用函数单调性来解答这一方程题目，让他们把原方程进行变形后结合函数知识进行求解.

解   把原方程进行变形，得到x 3+x+［（x+1）  3+（x+1）］=0，

因为f（x）=x 3+x在区间 －∞，+∞ 上是一个单调递增函数，还是一个奇函数，

那么能够把原方程转变成f（x）+f（x+1）=0，

即为f（x+1）=－f（x）=f（－x），

由于f（x）是一个单调递增函数，

所以x+1=－x，解得x=－ 1 2 ，即该方程的解是－ 1 2 .

在解答这一方程题目时，通过合理运用函数单调性可以有效简化方程的求解过程，从本质上来讲应用的就是函数单调性的基本概念和性质.

3 采用函数单调性解答不等式题目

不等式作为数学知识体系中的一个关键内容，学生从小学阶段就开始接触基本的不等式知识，随着学习阶段的提升，所研究的不等式知识也越来越深奥，题目难度更是有所增加，对他们的知识应用能力与解题能力的要求也更高.针对高中数学解题训练来说，当遇到一些特殊或比较复杂的不等式题目时，教师可提示学生采用函数单调性进行求解，并结合不等式的分类、换元法、数形结合等处理试题，使其找到更为简便的解法，让他们得到正确结果 [3] .

例3   已知a，b，c∈ R ， a <1， b <1， c <1，请证明ab+bc+ca>－1.

解析   这是一道常见的不等式类试题，如果学生直接运用不等式知识进行证明，虽然也能够把结论证明出来，但是过程异常复杂，容易犯错，比较耗费精力与时间，教师可以提醒他们采用函数单调性来证明，使其找到较为简便的证明方式.

解   可以把a视作变元x，由此构造出函数f（x）=（b+c）x+bc+1，

这时只需要证明x∈（－1，1）时，f（x）＞0恒成立即可，

当b+c=0时，f（x）=1－b 2>0恒成立；

当b+c≠0时，函数f（x）=（b+c）x+bc+1在x∈（－1，1）是单调的，

因为f（1）=b+c+bc+1=（b+1）×（c+1）>0，

f（－1）=－b－c+bc+1=（1－b）（1－c）>0，

综上可以说明f（x）=（b+c）x+bc+1在x∈（－1，1）上的值是恒大于0的，

所以当a，b，c∈ R ， a <1， b <1， c <1，ab+bc+ca>－1恒成立，题目中的结论得以证明.

4 借助函数单调性求参数取值范围

在高中数学课程教学中，函数教学的重要性不言而喻，不仅涉及大量的知识要点，在解题环节也有着广泛运用，除能够用来处理函数自身方面的问题以外，还适用于其他数学试题的求解，不过学生要牢固掌握函数中的变化特征，自然也包括函数的单调性，他们还需具备一定的解题技巧.对此，高中数学教师可以指导学生借助函数单调性处理参数取值范围类的试题，将原问题转变为不等式恒成立问题，让他们精准找到解题的切入点 [4] .

例4    已知存在一个实数a，函数f（x）=（x 2－4）·（x－a）在区间 －∞，－2 与区间 2，+∞ 上均单调递增，那么参数a的取值范围是什么？

解析   审题后可以发现，这是一道典型的求参数取值范围类的题目，处理这类试题的关键之处在于运用题干中提供的已知信息与条件寻找切入点，由于题目中明确指出该函数在以上两个区间内是单调递增的，所以教师可以提示他们借助函数单调性来求参数a的取值范围.

解    由于f′（x）=3x 2－ax－4，且函数f（x）在区间 －∞，－2 与区间 2，+∞ 上均单调递增，

则函数f′（x）=3x 2－ax－4在区间 －∞，－2 与区间 2，+∞ 上的值是大于等于0的，

而且函数f′（x）=3x 2－ax－4的图象开口向上，还经过点（0，4），

再结合题目中给出的已知条件能够得到f′（－2）≥0，f′（2）≥0，解得-2≤a＜2，

综上可得在函数f（x）中参数a的取值范围是 －2，2 .

5 利用函数单调性解复合函数题目

通俗来讲，复合函数就是函数套函数，将几个简单的函数复合成一个相对复杂的函数，而且不一定只含有两个函数，有时甚至会含有两个以上的函数，虽然从题目本身来看显得较为复杂，但是只要掌握一定的窍门，難题也就很快地迎刃而解.对于高中数学解题训练而言，当遇到一些复合函数类的题目时，除使用一些常规方法外，教师可引导学生利用函数单调性找到简便的解题方法，使其把复合函数进行合理的拆分，然后逐个分析它们的单调性，汇总后求解 [5] .

例5    请判断出复合函数f（x）=3 x 2+1 的单调性.

解析   这是一道明显的函数套函数类试题，虽然函数的解析式不长，但是里面涉及两个函数，学生看到这类题目时，往往一时之间会不知所措，不知道从何处着手，极易陷入困境之中，此时教师可引领他们利用函数单调性来解答这一复合函数题目，先把原函数拆分成两个单独函数，再逐个判断这两个单独函数的单调性，然后综合起来结合函数单调性的特征展开判断.

解   首先根据题意可知该函数的外层函数f（t）=3 t，内层函数是t=x 2+1，其中外层函数f（t）=3 t是一个底数比1大的指数函数，在 R 上单调递增，而内层函数t=x 2+1，是关于y轴对称的偶函数，在区间 －∞，0 上单调递减，在区间 0，+∞ 上单调递增，然后根据复合函数同增异减的原则判断出该复合函数在区间 －∞，0 上单调递减，在区间 0，+∞ 上呈单调递增，由此顺利求得准确结果.

6 应用函数单调性搭配求导来解题

在高中数学解题训练中，可用的数学知识点有很多，除函数的单调性知识以外，还有集合、不等式、三角公式、数列、方程和求导等，其中求导属于数学计算中的一个常用计算方法，含义是当自变量的增量趋向于0时，因变量和自变量的增量之商的极限，不少函数都存在导数.高中数学教师在解题中，可指导学生应用函数单调性搭配求导进行解题，其中求导是分析函数单调性的前提，这是一种比较简单的解题方法，能有效提高他们的解题效率 [6] .

例6   已知函数f（x）= ln x－ax，g（x）= e  x－ax，其中a是一个实数，假如函数f（x）在区间 1，+∞ 单调递减，而且函数g（x）在区间 1，+∞ 上存在最小值，那么实数a的取值范围是什么？

解析   这是一道可导函数类的题目，处理这类试题的解题方程是以求导为基础的，不过教师可指引他们借助函数单调性搭配求导进行解题，帮助他们简化解题思路，使其顺利解答这一试题.

解   由于f′（x）= 1 x -a= 1－ax x ，考虑到函数f（x）的定义域是（0，＋∞），而且函数f（x）在区间 0，+∞ 上呈单调递减，

则a>0，f′（x）<0，得到x> 1 a ，

所以函数f（x）在区间  1 a ，+∞ 上单调递减，

由于函数f（x）在区间 1，+∞ 上单调递减，

所以 1，+∞ 1 a ，+∞ ，

由此得到 1 a ≤1，a≥1.

令g′（x）= e  x－a=0，则x= ln a，

当x< ln a时，g′（x）>0，g（x）单调递减；

当x> ln a时，g′（x）<0，g（x）单调递增；

因为g（x）在区间 1，+∞ 上存在最小值，所以当 ln a>1时，a> e ，

综上，a的取值范围是  e ，+∞ .

6 结语

总而言之，在高中数学解题训练中，函数单调性有着广泛的运用范围，适用于多类数学题目，教师应深刻意识到函数单调性在数学解题中的功能和作用，引领学生结合实际解题需求灵活自如、巧妙恰当地运用函数单调性，使其把抽象化、复杂化的数学题目变得具体化、简单化，降低解题难度，更好地进行自主求解，同时不断培养与提升他们的数学解题能力.

参考文献：

[1] 郝玉奎.函数单调性在高中数学解题中的有效应用[J].高中数理化，2021（22）：17-18.

[2]闻琳.高中数学函数单调性解题技巧——以苏教版高中数学为例[J].理科爱好者（教育教学），2020（04）：68-69.

[3]王世龙.试论函数单调性在高中数学中的学习及应用[J].数理化解题研究，2020（09）：8-9.

[4]路梅芳.函数单调性在高中数学中的学习与运用[J].课程教育研究，2019（44）：164.

[5]柏元兵.函数的单调性在高中数学中的学习与应用[J].高考，2019（12）：80.