妙用向量思维，巧解三角形

张东起

【摘 要】  解三角形中的顶点与对边连线的问题是一类比较常见的创新题型，其有效地融合三角函数、解三角形、平面向量以及不等式等众多的相关知识.本文结合一道解三角形的模拟考题，利用平面向量的知识进行探究拓展，以期指导数学教学与解题研究、提高学生的数学核心素养及优化思维品质.

【关键词】  高中数学；余弦定理；平面向量

1 背景

解三角形问题通常会以三角形中的顶点与对边连线巧妙设置条件，有效串联起三角函数、解三角形、平面向量以及不等式等众多的相关知识.求解此类问题时，可以从三角函数、解三角形、平面向量等多种思维角度切入，利用三角恒等变换、正（余）弦定理、平面向量数量积或基本不等式等数学工具做进一步转化，从而方便求解.

2 问题呈现

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC=  π  3 ，D为BC上一点，且AD=1，若BD∶DC=2c∶b，则2b+c的最小值为 .

分析   本题以三角形的内角大小、线段长度及线段比例为问题背景，题目简单明了，考查三角形的面积公式、诱导公式和三角函数恒等变换，可以从解三角形及平面向量等角度切入求解.

3 解法探究

3.1 解三角函数思维

解法1 等面积法

设∠BAD=θ 0<θ<  π  3  ，则∠CAD=  π  3 -θ.

因为AD=1，BD∶DC=2c∶b，

所以 S △ABD  S △ACD  = BD CD = 2c b .

化简得2 sin θ=   3  cos θ，

即 tan θ=    3  2 ，

故 sin θ=    21  7 ， sin    π  3 -θ =    21  14 .

又S △ABC =S△ABD +S △ACD ，

所以 1 2 bc sin   π  3 = 1 2 c sin θ+ 1 2 b sin    π  3 -θ ，

即 2 b + 1 c =   7 ，

所以2b+c= 2b+c   2 b + 1 c   1    7

= 1    7   5+ 2b c + 2c b  ≥ 1  7   5+4 = 9   7  7 .

当且仅当b=c= 3   7  7 时取等号，即2b+c的最小值为 9   7  7 .

3.2 解三角形思维

解法2 余弦定理法

BD= 2ac 2c+b ，CD= ab 2c+b ，

在△ABC中，a  2 =b 2 +c  2 -2bc cos A，则a  2 =b 2 +c  2 -bc.①

又在△ABD和△ACD中，

c  2 =1+ 4a  2 c  2  （2c+b）  2  -2 2ac 2c+b  cos ∠ADB，b  2 =1+ a  2 b  2  （2c+b）  2  -2 ab 2c+b  cos ∠ADC，

化简得（2c+b）  2 -2bc  3 -5b  2 c  2 -2b  3 c+2a  2 bc=0，②

把①代入②得7b  2 c  2 =（b+2c）  2 ，

即   7 bc=b+2c，  2 b + 1 c =   7 ，后面证法同上.

3.3 平面向量思维

解法3 平面向量法

如圖1所示，以AB，AC为邻边构造平行四边形AEDF，

因为 BE EA = BD DC = 2c b ，

所以AE= b b+2c AB，

同理，AF= 2c b+2c AC.

又 AD  =AE  +AF  ，等号两边同时平方得

AD    2 =AE    2 +AF    2 +2AE  ·AF  ，

b  2  （b+2c）  2  AB    2 + 4c  2  （b+2c）  2  AC    2 +

4bc （b+2c）  2  AB  ·AC  =1，

b  2 c  2  （b+2c）  2  + 4b  2 c  2  （b+2c）  2  + 2b  2 c  2  （b+2c）  2  =1，

7b  2 c  2 =（b+2c）  2 ，

7 bc=b+2c，

2 b + 1 c =   7 .

后面证法同上.

4 变式拓展

拓展1   根据原题的解答过程，以三角形面积的范围来设置问题，难度与原题相当.

变式1   已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC=  π  3 ，D为BC上一点，且AD=1，若BD∶DC=2c∶b，则△ABC面积的最小值为 .

解   由原题的解答过程可得   7 bc=b+2c，

于是有bc≥ 8 7 ，

当且仅当b= 4    7  ，c= 2    7  时取    等号.

又因为S △ABC = 1 2 bc sin A≥ 2   3  7 ，

故△ABC面积的最小值为 2   3  7 .

拓展2   改变角A的大小，问题仍为求三角形边长之和.此题以求边长的线性组合来设置问题，难度与原题相当.

变式2   已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC= 2 π  3 ，D为BC上一点，且AD=1，若BD∶DC=c∶b， 则2b+c的最小值为 .

解   由AD  = b b+c AB  + c b+c AC  ，

则有 b  2  （b+c）  2  AB    2 + c  2  （b+c）  2  AC    2 + 2bc （b+2）  2  AB  ·AC  =1，

整理得b  2 c  2 =（b+c）  2 ，

即bc=b+c， 1 b + 1 c =1，

所以2b+c= 2b+c   1 b + 1 c

=3+ 2b c + c b ≥3+2   2 .

当且仅当c=   2 ，b=   2 +1时取等号.

故2b+c的最小值为3+2   2 .

拓展3   改变线段BD与线段CD的比例关系，问题改为求边长a的最小值.此题的求解用到基本不等式知识，难度有所增加.

变式3   已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC=  π  3 ，D为BC上一点，且AD=1，若BD∶DC=c∶b，则边长a的最小值为 .

解   由AD  = b b+c AB  + c b+c AC  ，

则有 b  2  （b+c）  2  AB    2 + c  2  （b+c）  2  AC    2 + 2bc （b+c）  2  AB  ·AC  =1，

b  2 c  2  （b+c）  2  + b  2 c  2  （b+c）  2  + b  2 c  2  （b+c）  2  =1，

整理得3b  2 c  2 =（b+c）  2 ，即   3 bc=b+c.

因為b+c≥2   bc ，所以b+c≥ 4   3  3 ，

当且仅当b=c= 2   3  3 时取等号.

在△ABC中a  2 =b  2 +c  2 -2bc cos A，则a  2 =（b+c）  2 -3bc，

a  2 =（b+c）  2 -   3 （b+c）≥ 4 3 .

解得a≥ 2 3  3 或a≤ -2 3  3 （不合题意，舍去），

故a的最小值为 2   3  3 .

拓展4   改变线段BD与线段CD的比例关系及AD的长度.问题改为求 cos A的最小值.此题的求解用到基本不等式知识，难度有所增加.

变式4   已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为BC上一点，且AD=a，若BD∶DC=2∶1，则 cos A的最小值为 .

解   由AD  = 1 3 AB  + 2 3 AC  ，

则有 1 9 AB    2 + 4 9 AC    2 + 4 9 AB  ·AC  =a 2 ，

c  2  9 + 4b  2  9 + 4bc 9  cos A=a 2 ，

又a  2 =b 2 +c  2 -2bc cos A，

整理得3c  2 +6b  2 =11a  2 .

因为 cos A= b  2 +c  2 -a  2  2bc = 5b  2 +8c  2  22bc

= 1 22   5b c + 8c b  ≥ 2   10  11 ，

当且仅当b= 2   10  5 c时取等号.

故答案为 2   10  11 .

5 结语

解三角形问题涉及三角形的顶点与对边连线，求解的常见方法有： 利用平面向量加法的平行四边形法则表示向量，然后通过向量的平方转化为向量模长，再结合基本不等式求解.在求解三角形问题时应在熟练掌握正（余）弦定理、三角恒等变换公式等前提下，可以利用平面向量及基本不等式选择合适的求解方法和解题技巧.

参考文献：

[1] 梁治明.巧思维切入 妙角度拓展——一道解三角形题的探究[J].中学数学教学参考（下旬），2021（36）：35-36.

[2]王宏兵.常见思维切入，技巧方法归纳——一道解三角形的突破[J].数學之友，2021（06）：70-71+74.