例谈圆锥曲线离心率取值范围的求解策略

袁继华

【摘 要】  本文以近几年的高考试题和模拟试题为例，谈谈离心率取值范围的常见题型的应对策略，以供参考.

【关键词】  离心率;圆锥曲线;不等关系

1 利用已知条件构建不等式

例1   已知椭圆C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1（a>b>0）的右焦点为F，上顶点为B，直线l：x－y=0与椭圆C交于不同的两点M，N，满足 MF + NF =4，且点B到直线l的距离不小于  2  2 ，则离心率的取值范围是（  ）

（A）  0，  3  2  .     （B）    3  2 ，1 .

（C）  0，  2  2  .    （D）    2  2 ，1 .

解析   設E为椭圆的左焦点，连接ME，NE，则四边形NFME为平行四边形，

所以 NE + NF = ME + MF =2a=4，

所以a = 2，由点B（0，b）到直线l：x - y = 0的距离不小于  2  2 ，

即  b   1+1  ≥  2  2 ，所以b≥1，

所以椭圆的离心率e= c a = 1－  b a    2 = 1－ b 4   2 ≤ 1－ 1 4  =  3  2 ，

所以0

评注   本题利用左焦点E作平行四边形NFME，把条件“ MF + NF =4转化为 ME + MF =2a=4”，根据条件“点B到直线l的距离不小于  2  2 ”构建b的不等式，进而求解.解题时注意椭圆定义的灵活应用.

2 利用图形中几何量的范围构建不等式

例2   已知F1 ，F2 是双曲线C： x 2 a 2 － y 2 b 2 =1 a>0，b>0 的左，右焦点，若双曲线上存在点P满足PF1  ·PF2  =-a 2，则双曲线离心率的取值范围是（  ）

（A）   3 ，+∞ .    （B）   2 ，+∞ .

（C）  3，+∞ .  （D）  2，+∞ .

解析   由题意，取点P为右支上的点，设|PF1| =m，|PF2|=n，∠F1PF2=θ，

根据双曲线的定义知m－n=2a，

在△F1PF2中，由余弦定理可得

cos θ= m 2+n 2－4c 2 2mn ，

又因为PF 1   ·PF 2   =-a 2 ，

所以mn cos θ=-a 2，

即m 2+n 2=4c 2－2a 2，

又因为m≥a+c，n≥c-a，

所以 c+a   2 + c-a   2 ≥4c  2 -2a  2 ，

得c 2≥2a 2，即e≥   2 ，故选   （B） .

评注   涉及焦点三角形问题时，要充分利用圆锥曲线的定义、性质、正弦定理、余弦定理以及平面向量等知识解决问题.本题根据题设，利用双曲线的定义，余弦定理得到关于m，n的等式，关键是性质m≥a+c，n≥c－a的发现难度较大.

3 利用判别式构建不等式

例3   已知椭圆C：x 2+ y 2 b 2 =1（b＞0且b≠1）与直线l：y=x+m交于M，N两点，B为上顶点.若 BM = BN ，则椭圆C的离心率的取值范围是（  ）

（A）  0，  2  2   .   （B）    2  2  ， 1 .

（C）    6  3  ， 1 .   （D）  0，   6  3   .

解析   设直线 l：y=x+m与椭圆C：x 2+ y 2 b 2 =1交于M x1，y1 ，N x2，y2 两点，

联立  y=x+m，x 2+ y 2 b 2 =1，

得（b 2+1）x 2+2mx+m 2-b 2=0，

所以x1+x2=- 2m b 2+1 ，x1·x2= m 2-b 2 b 2+1 ，

Δ=（2m）  2－4（b 2+1）（m 2-b 2）

=4b 2（b 2+1-m 2）>0，

设线段MN的中点为G，

则G － m b 2+1 ， b 2m b 2+1  ，

因为  BM = BN ，所以直线BG垂直平分线段MN，所以直线BG的方程为y=－x+b，且经过G点，

可得 b 2m b 2+1 = m b 2+1 +b，

所以m= b 3+b b 2－1 ，

因为b 2+1-m 2>0，

所以b 2+1-  b 2+b b 2-1    2>0，0

因为e 2=1－b 2，所以  6  3

评注   涉及圓锥曲线与直线位置关系的问题常常转化为方程组解的个数问题，化简后用一元二次方程根的判别式求出参数的取值范围，进而求解.这道题综合性较强，需要联立方程组， 利用判别式构造出b与参数m的不等式，消去参数m，求出b的范围，进而求出答案.

4 利用基本不等式构建不等式

例4   已知椭圆M： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 a>b>0 的左，右焦点分别是 F1 ，F2 ，P为椭圆M上任意一点，且 PF1 · PF2 的最大值的取值范围为  1 2 c 2，3c 2  （c 2＝a 2－b 2），求椭圆的离心率的取值范围.

解析   因为P是椭圆上一点，

所以 PF1 ＋ PF2 ＝2a.

所以2a＝ PF1 ＋ PF2

≥2  PF1 · PF2  ，

即 PF 1  · PF 2  ≥   PF 1  + PF 2   2    2

＝  2a 2    2 ＝a 2 ，

当且仅当 PF1 ＝ PF2 时取等号.

所以 1 2 c  2 ≤a  2 ≤3c  2 ，所以 1 3 ≤e  2 ≤2，

又因为0

所以椭圆离心率e的取值范围是   3  3 ，1 .

评注   涉及最值的问题时，往往考虑能否用基本不等式解决问题.本题根据椭圆的定义给出 PF1 与 PF2 的数量关系，再依据条件结合基本不等式求得最值时的取值，注意等号成立的条件.

5 利用三角函数的有界性构建不等式

例5   已知双曲线 x 2 a 2 － y 2 b 2 =1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率的取值范围是 .

解析   由双曲线定义知|PF1|－|PF2|=2a，

又|PF1|=4|PF2|，

所以 PF1 = 8 3 a， PF2 = 2 3 a，

在△PF1F2中，由余弦定理

cos ∠F1PF2=  64 9 a 2+ 4 9 a 2－4c 2 2· 8 3 a· 2 3 a = 17 8 － 9 8 e 2，

因为点P在双曲线的右支上，

所以∠F1PF2∈ 0，  π   ，

cos ∠F1PF2∈ -1 ， 1 ，

-1≤ 17 8 - 9 8 e  2 <1，即1

所以双曲线的离心率的取值范围是 1， 5 3  .

评注   本题解法利用余弦函数的有界性，构造关于离心率的不等式，首先由双曲线定义和余弦定理建立 cos ∠F1PF2和离心率的函数关系式，根据∠F1PF2的余弦值范围得到答案.