对新教材中一道习题的深度探究

张良超

【摘 要】  面对新教材，教师课前应该深挖课本案例，提高“借题发挥”的眼光，重视教材，那么教师在习题讲解时就能适时多面展开，有助于拓展学生的数学视野，实现不同的学生在同一个例题上有不同的获得感.

【关键词】  高中数学；解题；深度探究

1 原题再现

原题出处1   新教材北师大版必修第一册137页“5.2.1 实际问题的函数刻画”.如图1所示，在距A城市45 km 的B地发现金属矿.现知由A至某方向有一条直线铁路AX，B到该铁路的距离为27 km .欲运物资于A，B之间，拟定在铁路线AX上的某一地点C筑一公路到B.已知公路运费是铁路运费的2倍，则地点C到A地的距离为多少时，总运费最低？

原题出处2   新教材人教 A 版必修第一册74页“3.1函数的概念及其表示”.如图2所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2 km ，从点P沿海岸正东12 km 处有一个城镇.

（1）假设一个人驾驶小船的平均速度为3 km/h，步行的速度是5km/h ，t表示他从小岛到城镇的时间，x表示此人将船停在海岸处距点P的距离.请将t表示为x的函数.

（2）如果将船停在距P点4 km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到0.1 h ）？

2 习题分析

如图1所示，设地点C到A地的距离为x km ，在直角三角形ABD中，AD=36 km ，

BC=  36－x   2+27  2 ，

2BC+AC=x+2  36－x   2+27  2 .

令m=36－x∈［0，36］，要使总运费最小，

等价于求2BC+AC=－m+2 m 2+27  2 +36的最小值.

人教版设置的两小问主要考查学生基于实际问题建立函数模型的能力（解析法表示函数），

即t=- x 5 + 1 3    x  2 +4 + 12 5 （0≤x≤12），

并运用模型回答现实问题. 由于函数的基本性质是接下来的内容，故这里没有涉及最值问题，当然作为教师可以在章节复习课的时候回归教材，将这一实际问题得到彻底解决，让学生认识数学的应用价值，培养学生数学建模这一核心素养.

3 深度探究

本质上两道习题是同一个问题，即求形如y=ax+b x 2+c （b>|a|，a<0，c>0）的最值问题. 本文以原题1为例，试从不同的角度对问题进行剖析，深挖基本思想、基本方法，供读者参考.

3.1 判别式法

为计算方便，令t= 36－x 9 ∈［0，4］，

于是2BC+AC=9 －t+2 t 2+9  +36，

记z=2 t 2+9 －t，原问题转化为求z的最小值.

移项平方可得z 2+t 2+2zt=4t 2+36.

上式可看作关于t的方程：3t 2－2zt－z 2+36=0，

此方程一定有解，即Δ=4z  2 -4×3（36-z  2 ）≥0.

解得z≥3   3 或者z≤-3   3  （舍去），

当z=3 3 时，t= 3 ∈［0，4］.

综上，地点C到A地的距离为36－9 3 時，总运费最小.

评注   求函数最值可转化为方程有解，进而运用判别式法求最值，但需要注意Δ≥0是方程有根的必要条件，所以需要检验函数取到最值时，自变量的取值是否在定义域内.

3.2 平面几何法

如图3所示，过点B作BD⊥AD于点D，则BD=27 km ，AD=36 km . 由题意，要使总运费最少，只需BC+ 1 2 AC最小即可.

作∠XAY=30 ° ，过点C作CE⊥AY于点E，过点B作BF⊥AY于点F交AX于点C1.

于是有CE= AC 2 ，

则BC+ 1 2 AC=BC+CE，

在三角形BCE中，BC+CE>BE;

在直角三角形BFE中，BE>BF，

即BC+CE>BF.

当点C与C1重合，则BC+CE=BF，

此时∠DBC=∠XAY.

DC1=BD tan 30  ° =9 3  km ，

故地点C到A地的距离为36－9 3 时，总运费最小.

评注   此类加权线段和最值问题涉及的知识点主要有：两点之间线段最短、三角形三边关系、垂线段最短. 此解法起点低，有利于培养学生的逻辑推理和直观想象能力.

3.3 不等式法

由不等式： （a 2+b 2）（c 2+d 2） ≥ ac+bd ，

其中a，b，c，d∈ R ，

取“=”号的条件：ad=bc.

y=x+2  36－x   2+27  2 =x+ 1 2+（ 3 ）  2   36－x   2+27  2 ≥36+27 3 ，

取“=”号的条件：27=（36－x） 3 ，

即x=36－9 3  .

评注   利用柯西不等式求最值的关键是观察所求式或者限制条件，构造出符合柯西不等式的形式.

3.4 三角换元法

只需求z=－t+2 t 2+9 的最小值.

令t=3 tan θ， 则z=－3  tan θ－ 2  cos θ  ，

于是只需求 tan θ－ 2  cos θ =  sin θ－2  cos θ 的最大值.

记A（ cos θ， sin θ）为单位圆上一点，B（0，2），

则  sin θ－2  cos θ－0 =kAB .

当AB与单位圆相切时kAB 最大，且OA⊥AB，OB=2OA=2，

易知θ=∠xOA=30 ° ，此时t= 3 ∈［0，4］，

z min  =3 3 .

评注   数形结合的思想就是依据函数表达式找到其所代表的几何意义，把代数问题转化为几何问题，此解法就是利用直线斜率的几何意义.