基于理性精神的数学教学实践研究——以“利用空间向量求夹角”为例

华子谦 (江苏省太仓高级中学 215411)

1 问题的提出

在数学教学活动中,尤其是在讲授公式、定理的规律课中,教师往往注重学生对公式的应用,为此自己板书定理的推导过程,再训练学生熟练解题,而常常忽视了学生数学理性精神的培育．理性精神能够给学生探寻真知的动力、认识世界的信念,培养他们求真务实的态度[1]．

因此,高中数学的课堂需要改变教师在课堂中一讲到底的局面,充分让学生去探究,领悟新知识并内化于心．每节课至少要选取一个知识点或知识板块,在精心预设的基础上,交给学生自主学习,通过合作探究、交流展示、大胆质疑等方式生成新的知识,追寻事物的本质、规律及内部联系．

2 理性精神视角下的教学设计思考

对于学生数学理性精神的培育,本文结合“利用空间向量研究夹角问题”课例,从以下三个方面进行思考与设计．

2.1 选点预设,追寻理性精神的晨曦

利用空间向量研究线线角、线面角、面面角的内容及其教育价值是什么?在历年的全国卷中,空间角的求法与计算是常考内容,空间向量的作用是通过建立空间直角坐标系来研究立体几何问题,它是一种有效的工具．事实上,运用综合几何方法完全可以解决相关问题,并且有些问题也不能借助空间向量来求解,如2020年全国二卷理科数学解答题第20题,所以教学目标不能仅仅体现在知识点上,还要体现在思维发展和科学探究精神与方法的培养上,教师应把怎样研究问题放在核心地位．从教学过程中我们可以看出,重点是让学生掌握学习知识的方法,这才是本节课真正的教学意义．

基于以上认识,在本课教学设计中,只将探究线线角作为示例,板演异面直线之间的夹角,梳理探究过程中需要注意的点,如角的位置及范围、直线的夹角与向量夹角之间的关系、结论的统一,让学生在课堂中感受并领悟其探究的过程,使线面角及面面角的探索有理可依、有据可循,并鼓励学生尝试完成线面角及面面角的探索．

2.2 温故知新,追逐理性精神的曙光

利用空间向量研究线线角、线面角、面面角的内容与其他数学内容的联系是什么?我们知道,空间向量的运用是在“平面向量及其应用”和“立体几何初步”的基础之上进行教学的,向量的坐标化使解决平面几何的距离(长度)和角度问题更为有效．类比平面向量解决平面几何度量角的问题的方法,使用空间向量可以更方便地研究立体几何长度和角度等度量问题.基于这样的认识,空间向量的知识结构就清晰了,向量方法的发现根源就明了了．

因此,本节课先复习引入,深化知识,帮助学生找到源头,让学生感受到既然利用平面向量数量积找到向量夹角就可以解决平面几何度量角度的问题,那么立体几何有关度量角度的问题也可以利用空间向量进行解决,这正是弗赖登塔尔所指出的“数学化”再认识．

2.3 类比探究,沐浴理性精神的春光

帮助学生学习空间向量的教学策略可采取四步走的方法:一是启发,通过复习发现可以利用向量来研究平行与垂直关系,由此提出问题;二是示范,以空间向量求线线角问题为例,展示问题探究的方法与过程;三是运用,让学生自己解决问题;四是升华,进行课后思考,用这个方法能发现更多的问题吗?现实生活中有空间向量的应用吗?

3 教学过程设计

3.1 复习回顾向量有关知识(预备知识)

师:在学习本节课之前我们一起来回顾一下我们已经学过的向量夹角有关的公式．

生:学过的有关向量夹角的公式包括两向量数量积的定义、两向量夹角公式和夹角公式的坐标表示．

3.2 新课讲授

师:接下来我们提出一个设想,能否利用方向向量与法向量来研究空间向量的夹角问题呢?我们来做一番探究．

设计意图用思维导图方式,加深学生对知识的理解,为接下来利用方向向量与法向量来研究空间向量夹角问题做铺垫．

·小试牛刀:线线角

定义:过空间任意一点O分别作异面直线a与b的平行线a′与b′,那么直线a′与b′所成的锐角或直角,叫作异面直线a与b所成的角(图1)．

图1

问题1当a与b的夹角不大于90°时(图2),异面直线a,b所成的角θ与a和b的夹角的关系是什么?

图2

生:θ=〈a,b〉时,得cos〈a,b〉=cosθ．

师:当两个向量的夹角不是锐角的时候,我们又能得到什么结论呢?

问题2a与b的夹角大于90°时(图3),异面直线a,b所成的角θ与a和b的夹角的关系又是什么?

图3

生:θ与〈a,b〉互补时,即θ=π-〈a,b〉,得 cosθ=cos(π-〈a,b〉)=-cos〈a,b〉．

师:那这里有正有负,我们能否将结果统一起来?

设计意图通过教师展示线线角推导过程,让学生感受理性之美,提高其严谨的逻辑推理能力．在探究过程中,教师要首先强调直线所成角θ的范围;其次直线上方向向量的选择会影响向量夹角〈a,b〉与直线夹角θ之间的关系;最后根据直线夹角的范围确定cosθ与cos〈a,b〉的联系．

师:请同学们根据刚刚线线角的推导过程,完成线面角与面面角的推导．

·趁热打铁:线面角、面面角

图4 图5

师:那么法向量一定朝上吗?如果法向量反向,那这个时候又会对结论有什么影响呢?

师:那么我们能总结一下线面角与线线角之间的异同点吗?

生:线线角与线面角的推理过程类似,都是作出法向量与方向向量,寻找法向量与方向向量之间的夹角,都有两种情况,并且线线角与线面角最后都要加上绝对值．不同的地方在于线线角是用余弦来表示,而线面角是用正弦来表示．

生众(总结):据图分析可得

设计意图学生展示线面角推导过程,在数学实践中探索,进一步提高他们的直观想象与逻辑推理能力,接受理性精神的熏陶,加强理性精神的培养．在探究过程中,教师要首先预设出学生可能存在的问题:(1)直线与平面所成角的范围不清晰;(2)受线线角cosθ影响形成思维惯性导致sinθ不敢用;(3)结论无绝对值．

知识点3 二面角(范围θ∈[0,π])

师:那我们继续沿用课堂开始所提到的想法及类比思想来研究如何用空间向量求二面角．

生:首先将二面角转化为二面角的两个面的方向向量,由图6得θ与〈n1,n2〉相等,由此得θ=〈n1,n2〉,故cos〈n1,n2〉=cosθ．

图6 图7

师:还有没有其他情况?你能继续完成推导吗?

师:那这个时候面面角还能像线线角和线面角一样加上绝对值吗?

生:不可以,因为现在夹角范围变成了0°到180°,余弦值有正有负,所以不可以加绝对值．

师:那我们一起来观察一下图象特点,如何判断什么时候取正数呢?

师生(共同归纳):当法向量的方向一进一出时,二面角等于法向量夹角;同进同出时,二面角等于法向量夹角的补角．

设计意图学生完成面面角的推导,教师引导学生观察比较线线角、线面角、面面角之间的异同点,不断发现规律,尝试总结规律．这不仅培养了学生的归纳总结能力,同时滋养了其求真务实、追求真理的理性精神．

4 教学反思

4.1 丰富教学手段,培育学生理性精神

立体几何需要学生具备空间想象能力,因此在课堂中有必要引入像几何画板等数学教学工具,使学生在该部分内容的学习过程中有更形象化、全面化的理解,以便提升他们的学习兴趣,提高学习效率．使其在形成新的学习方式中慢慢养成学习习惯,培育创新为主的探索精神．

4.2 鼓励质疑,提升理性批判精神

在课堂教学中,教师要给学生提供机会来展示自己,鼓励他们提出自己的困惑,营造宽松的教学氛围,丰富他们的学习方式,这样一方面能够帮助学生提高学习兴趣并更好地理解数学知识,另一方面能够让学生形成批判性的理性精神．

4.3 重视思维过程,用类比推导使学生形成理性精神

数学公式都是由数学家以直觉为基础,并在此基础之上大胆猜想并推理证明而来,因此教师在教学过程中可以先提出解题的中心思想,让学生亲身感受推理的过程,领会课堂中所需要的数学思想方法并“再创造”．在本节课中,教师只展示线线角的过程,让学生观察解题过程,类比推导线面角及面面角的公式,让他们有充分的空间进行数学探究,从中发现问题,如夹角范围问题、夹角何时用正弦何时用余弦、为什么要引入绝对值,等等,在独立思考的过程中对问题进行猜测和大胆的假设,最后检验所得的结果,以形成基本的数学认知,树立严谨务实的科学态度,形成理性精神,为日后的数学探究奠定良好的基础．

学生的理性精神需要在这样一个追求真理的氛围中慢慢渗透．通过不唯书、不唯师、只唯实的大胆探究,去感知、领悟新知,养成独立思考的学习习惯,逐步培养数学核心素养及理性精神．