数学知识建构之“数的运算”

江苏省南京市秦淮区第一中心小学 李玉荣

六年级下册数学的总复习，是对小学阶段的数学学习作全面的梳理、反馈、提高，既是对小学数学学习的检验与总结，又是对教与学不足的进一步弥补，还是对今后学段数学学习的铺垫、夯实，有着重要的意义。

“数的运算”是小学数学知识领域板块之一，既是重点，也是部分学生学习的难点。这里“数”的领域主要是指整数、小数、分数。“数的运算”也常在平时的练习与检测中困惑着学生、教师和家长：时而出错、达成率不高；又常被视作“轻微”的小问题忽略，侥幸寄希望于下次计算中“注意或细心”。然而，这看似算不上的“问题”，并非通过一两次“点拨”或“注意”即可杜绝的，即便引领学生通过错题的积累、归类、反馈，也常常难以百分百达成。

在教与学的实践探究中，教师可从以下几个方面关注、尝试、引领学生自主梳理，进一步实现“数的运算”的建构、深化。

一、数的意义

数是对数量的抽象。整数、小数和分数都与生活密切相关，从生活角度、实际情境中感悟并理解其意义，易产生兴趣、加深印象。

整数是用来表示物体具体数量的，如0、1、2等，这样的数属于整数。当整数不能表示事物的数量时，我们需要用小数来表示。如把某物体平均分成10份，取这样的7份表示0.7，这样的一位小数也表示一个数的十分之几；把某物体平均分成100份，取这样的17份表示0.17，这样的两位小数也表示一个数的百分之几；以此类推，小数的意义就不难理解了。

在小数的基础上，我们也可以用分数来表示事物的数量。如把1块圆形蛋糕平均分给3个小朋友，1个小朋友分得的量，需要用分数表示，即把单位“1”（整数“1”、1个物体、1个长度、1个整体等的统称）平均分成若干份（不一定是10、100份），表示这样的一份或几份的数即为分数。

分数可以看作小数解决问题的补充与延伸，尤其解决了平均分中除不尽的问题。学生可以结合具体情境感悟分数。然而，整数、小数和分数三者并非独立存在，而是有一定关联，还可以相互转化，如3=3.0=。

二、算的意义

算的重点在于理解算理、掌握算法。先从“四则运算”来看，即加法、减法、乘法、除法，即整数、小数、分数的加、减、乘、除四种运算。通常，减法可以视作加法的逆运算，除法可以视作乘法的逆运算。

加法意义是运算的起点，将两个或两个以上的数或数量合并成一个数或数量的运算。

既然减法为加法的逆运算，就不难推出减法的意义，即已知两个数或数量的和与其中一个加数（或数量），求另一个加数（或数量）的运算。

乘法的意义中，整数乘法关联着加法，表示相同加数和的简便运算，如“8×5”可以表示5个8相加或8个5相加。小数乘法是求一个数的十分之几、百分之几，或几倍是多少，如“5×0.4”或“5×1.4”。分数乘法中，分数与整数相乘（如）表示求几个相同分数的和的简便运算；一个数与分数相乘（如均可以表述：求一个数的几分之几是多少。

根据除法是乘法的逆运算，整数、小数、分数的除法意义均可以表述：已知2个数积与其中1个因数，求另1个因数的运算，也可以根据不同问题情境具体理解、阐述。

明确“算”的意义，可以帮助我们在解决实际问题时，提供列式的依据。如求一个数的几分之几是多少，可以列式“一个数”ד几分之几”进行解答；也为解方程、解比例时，提供了数量关系的依据。如可以把25%x看作减数，根据“减数=被减数- 差”进行解方程；再如

三、算的方法

（一）一步计算

一步计算（竖式计算）是运算基础，关联着两、三步计算的达成率，十分重要！

首先，整、小数加、减法竖式计算中，要数位对齐（小数点对齐），即计数单位相同时才能加减：从个位算起、满十进一（退一当十）。“对齐”还要体现于计算中步骤、结果的呈现，书写规范、工整之美关乎正确率。

其次，分数加、减算法中，理解、转化使分母相同，即分数单位相同，再进行计算；即需要把分母不同（异分母）利用分数基本性质通分成分母相同，才能计算。

乘法中，整数乘法的每一步算理，将是小数乘法的基础。竖式中，通常数位多的写首行，数位少的写第二行，末尾对齐（末尾有0可以先让非0的数对齐，最后在积的末尾补上同个数0），从第二行数的个位起依次乘第一行从低位到高位的数，积写在第二行所乘数位的下方，最后将乘的积相加，须弄清每一步相乘所得积的含义。

小数乘法，根据积的变化规律，迁移成整数乘法，不难掌握。分数乘法都可以统一为“分数×分数”的方法进行计算。

除法中以整数除法为基础、重点。步骤要点：①从高位算起，有余数可以与低一位的数组合继续除；②除到哪一位，商就写在那一位上面（表示有多少个这样的计数单位）。

小数除法可以迁移为整数除法：其一，除数是整数，按照整数除法计算，商的小数点和被除数的小数点对齐；其二，除数是小数，利用商不变性质，把除数变成整数（被除数需要同时变）再计算。如“19.8÷12”与“19.8÷1.2”，学生可以在竖式计算的过程中，体会其算理及算法。

只要把握好加法、减法、乘法、除法中各自的法则及对其能进行有效迁移，算的方法就不难驾驭了。

（二）多步计算

一般包含：同级及连算、同级及混算、不同级混算（含四则混合运算）。

整数、小数、分数同级及连算或混算，均要按从左到右、依次计算。但分数的连加、连减、加减混合，需要先统一计数单位（通分），再计算；分数连乘、连除或乘除混合，通常把除法转化成乘法，再约分，一次性计算（分子相乘作分子、分母相乘作分母）。这里需要强调“依次”与“一次”计算的不同，“一次性计算”只用于分数乘除混合时，把除以一个数转化成乘以这个数的倒数后，能约分的，先约分再计算。如

整数、小数、分数不同级混算及四则混合运算，顺序易得：①先进行乘除运算，再进行加减运算；②有括号先算括号里的；③同一级的运算，从左到右、依次计算。实践易错，需要递等步骤，准确、规范呈现运算顺序，不要过多或过少。这里的“多”与“少”的相对标准，需要教师引导及示范，通常递等依次呈现：先算的那一步或同时计算的那两步结果，其他步骤不变递下来，也就是过程呈现与运算的顺序能对应、同步。

（三）简便计算

根据教材及延展，简算类型可归纳为“2 3 2”，即加法的交换律、结合律；乘法的交换律、结合律、分配律；减法性质：“连续减去两个数”等于“减去两个数的和”，“减两个数的差”等于“先减第一个数再加第二个数”。如37.56-（12-2.44）=37.56-12+2.44=37.56+2.44-12=40-12=28；除法性质：“连续除以两个数”等于“除以两个数的积”，“除以两个数的商”等于“先除以第一个数，再乘第二个数”。如12.5÷（20÷8）=12.5÷20×8=12.5×8÷20=100÷20=5。学生不仅要知道其分类，还要知道其各类型的含义，且能举实例感悟其简便。

运算定律运用目的是让计算变得简便，尽可能凑整或转化成较小的数，不可以为了“简便”绕弯子，反而增加出现错误的可能性。学生要学会观察算式与运算定律的互逆关联、结构特征。相对困难的运算除了乘法分配律及“减法与除法”的两个性质，还有“变式”方面的简算。如，整数与分母相近（相差1），学生可以利用乘法分配律将整数转化为“分母-1”或“分母+1”进行简算；再如“0.13÷0.25”，可以根据商不变的性质，被除数和除数同时“×4”，将除数转化成1使计算简便。

四、算的误区

首先，想要实现数的运算较高的达成率，离不开基础运算的理解与达成，离不开良好的学习习惯，如书写、表达、草稿等。若能规范，我们会从中受益，也能避免计算过程中看错、算错的现象发生。

其次，平时的运算积累，学生需要积累不同题型、算法，自主归纳、建构，让自己的运算能力不断进阶。如“17-4.8+5.2”区别于“17-（4.8+5.2）”；再如，如果理解透彻、方法得当，我们就不会盲目地“=1”；再如，通过细致观察与分析，我们就会发现，分数除法转化为乘法，相等两种数转化成同一种数，简便计算不再困难。

总之，计算是学好数学的基础，在基本知识、基本方法建构的基础上，没有那么难与可怕。在教的方面，教师可以引导、帮助学生树立信心，运用梳理的计算知识、方法在平时的学习中适当练习、检验；在学的方面，学生可以通过平时的计算练习对梳理的知识及要点进行归纳、建构、固化，以实现计算百分百达成。