数学文化融入试题的路径

林琪

《普通高中数学课程标准（2020年修订）》，明确指出数学文化应融入数学教学活动，在教学活动中，教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，认识数学在科学技术、社会发展中的作用.根据数学文化试题背景与数学知识的关联程度，将试题中数学文化的融入方式分为复制式、顺应式和重构式三大类.纵观近年高考，可以发现，数学文化类试题比重逐渐增加，而且每年的高考文化题都充满“数学味”.因此教师应在平时的教学中让学生逐步接触文化类试题，并掌握命题思路.

本文以数列为例，论述数学文化融入试题中的路径.

例1 （2022届云南师大附中适应性考试）《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪裹、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（  ）.

A.10  B.14  C.23  D.26

解析：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出钱数构成递增等差数列an，公差为d，由题意可知a2=17，S5=5a3=100，∴a3=20，d=a3－a2=3，所以公士出的钱数为a5=a2+3d=26.故选D.

评注：本题以古代数学名著《九章算术》中提出的问题为背景，考查了等差数列基本量的关系式，本题注重考查考生的阅读理解、提取信息、数学建模以及通过计算解决问题的能力，属于基础题.

笔者仿照例1，选取等比数列求某项为知识点，寻找素材，以“毕达哥拉斯树”为背景，尝试命题如下：

例2 毕达哥拉斯树是据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形，如图1所示.因为形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”.毕达哥拉斯树以如下方式生长：以边长为1的正方形的一边作为斜边，向外作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为边向外作正方形，得到2个新的小正方形，实现了一次生长；再将这两个小正方形各按照上述方式生长，如此重复下去.则经过10次生长，可形成新小正方形个数为（  ）.

A.128  B.256  C.1024  D.2048

解析：由题意得an+1=2an且a1=2，所以，数列an为等比数列，且该数列的首项和公比均为2，因此，an=2n，因此，则经过10次生长，可形成an=210=1024个新小正方形.故选C.

评注：复制式命制试题往往难度较低，前半部分一般都是以论述的形式，给出背景，对之后的解题影响不大，学生很容易找到数学本质，进行求解.

例3 （2022长沙市模拟，多选题）对于正整数n，φ（n）是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目.函数φ（n）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如φ（9）=6（1，2，4，5，7，8与9互质），则（  ）.

A. 若n为质数，则φ（n）=n－1

B.数列φ（n）单调递增

C.数列nφ（2n）的前5项和等于72

D.数列φ（3n）为等比数列

解析：对于A，若n为质数，则与n互质的数为1，2，3，…，n－1，共n－1个，即φ（n）=n－1.对于B，若n=3则与3互质的数为1，2，即φ（3）=2，若n=4则与4互质的数为1，3，即φ（4）=2，所以数列φ（n）不是单调递增.对于C，n=2n，则互质的为小于2n的所有奇数，所以φ（2n）=2n－1，nφ（2n）=n2n－1，∴nφ（2n）=n2n－1，∴S5=1+1+34+48+516=5716.对于D，n=3n，則与之互质的为1，2，4，5，7，8，…，3n－2，3n－1，所以φ（3n）=23×3n，所以数列φ（3n）为等比数列.故选AD.

评注：本题以数学文化“欧拉函数”为背景，考查数列的通项及求和、判断数列的单调性、等比数列的判断方法等，考查考生的运算能力和逻辑推理能力，属于中档题.且此题为多选题，考察学生考虑问题的全面性和周全性，选项的设置更是引导考生由浅入深考虑问题.另外，多选题考察的知识点更多，更难，学生不易得全分，这也体现了数学的选拔功能.

笔者仿照例3，选取“冰雹猜想”为背景，考察学生对分段数列求值问题，尝试命题如下：

例4 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”），若取正整数m=5，根据上述运算法则得出5→16→8→4→2→1共需经过5个步骤变成1（简称为5步“雹程”）则（  ）.

A.若m=17，则需要12步“雹程”.

B.“冰雹猜想”的递推关系可以为：当n为偶数时an+1=an2，当n为奇数时an+1=3an+1.

C.若对于正整数m，共需8个步骤变成1，则满足条件的所有m构成的集合为20，128.

D.存在连续的两个正整数m1，m2，使得两者的“雹程”一样.

解析：对于A，若m=17，则上述运算法则得出17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1共需经过12个步骤变成1.对于B，根据题意，显然正确.对于C，可采用逆向思维，所有m构成的集合为128，21，20，3，如图2.

对于D，由C可知存在连续的两个正整数，m1=20，m2=21使得两者的“雹程”都是8.因此选ABD.

评注：顺应式命制试题往往难度中等，是某一知识点的性质和应用，往往既考察知识点，也考察建模能力，往往比较灵活，学生也容易失分.

例5 （2020·临沂三模）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F（1）=F（2）=1，F（n）=F（n－1）+F（n－2），（n≥3，n∈N+），此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列an，则数列an的前2019项的和为（  ）.

A.672  B.673  C.1346  D.2019

解析：斐波那契数列各项除以2的余数只有1和0，an为1，1，0，1，1，0，…，1，1，0，是周期函数.∴S2019=（1+1+0）×13×2019=1346，故选C.

评注：本题以“斐波那契”数列为背景，考察周期函数求和.考察学生阅读理解、数学模型能力，学生需要脱去背景，找到实质是利用斐波那契数列的各项除以2的余数特征，得出新数列的周期性，进而求出结果.属于中档题.另外，此题以著名的“斐波那契”数列为背景，增强了学生对数学史的理解，扩宽了学生的眼界.

笔者仿照例5，在斐波那契数列的基础上加以延伸，以“黄金螺线”为背景，结合扇形的弧长公式，尝试命题如下：

例6 斐波那契螺旋线也称黄金螺旋线，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，如图3所示.首先，我们用以斐波拉契数为边长的两个正方形拼成一个长方形，然后再不断以长方形的边长画对应的正方形，同时再在正方形里面画一个圆心角为90°的14扇形，这样所有的弧线连接起来就是黄金螺线了，当这根黄金螺线无限向外延伸时，它所在的这个矩形就无限的接近一个黄金矩形.所以这根螺线看起来是如此的迷人，以至于有人称之为“上帝之眼”.达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线.如图共有7个扇形组成，则整个黄金螺线长度为   .

解析：由题意可知每段黄金曲线与其所在正方形所合成的扇形半径设为an，则数列an满足a1=a2=1，an=an－1+an－2（n≥3），则扇形的长度设为bn，则bn=12πan，则整个黄金螺线的长度为S7=12π（a1+a2+…+a7）=12π（1+1+2+3+5+8+13）=332π.

评注：重构式命制试题往往难度较高，是某一知识点或者方法的迁移，常涉及多個知识点，能较好考察学生阅读理解能力、建模能力.

综上分析可见，文化类试题更多考察到学生的阅读理解能力，无论那种命题方式，都应该学会脱去背景，寻找文化背景后的数学考点.教师应在日常教学中经常渗透此类题，让学生更好的经历数学历程、理解数学知识、感受数学思维、体会数学精神.同时，亦可引导学生关注我国社会的进步与发展，增强民族自豪感，增强爱国情怀，培育和践行社会主义核心价值观，实现数学“以德树人”的教育宗旨.