一道四川预赛试题的解法赏析

李嘉铃

1.预赛试题

题目 （2022年全国高中数学联赛四川预赛第6题）若△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+3c2=7，则△ABC面积的最大值为    .

这是一道只有一个条件的求三角函数面积的最值问题，注意到已知等式中a，b，c均带平方，且a与b是对称的，所以在选择面积的表示方法时就要充分考虑到这些因素，为下一步求最大值做好铺垫.

3.题后反思

这五种解法都包含两个主要方面：面積的表示方法和求最大值的方法.

（1）面积的表示方法.因为三角形的面积公式比较多，而且用同一个公式也有不同的切入点，这就导致了这类题的解法多样，这五种方法就是这样产生的.不同的表示方法也基本决定了后面解题过程的走向和难易程度，所以选一个好的表示方法很重要.

（2）求最大值的方法.这五种方法求最大值的过程看起来都不一样，但基本方法其实有共同之处：都对式子进行放缩，直到得出定值，最后确定等号成立的条件；放缩的方法主要是基本不等式和一些常见结论.所以，解这类题至关重要的是放缩对象的选择和基本不等式的选用，而基本不等式的选用又取决于放缩对象的特点和题中的条件.那么，只要掌握了选择放缩对象的方法，基本就等于掌握了解这类题的钥匙.因为成功的放缩必须保证等号能成立，而基本不等式一般有两大特点：式子具有对称性，等号成立的条件多数是变量相等.注意到条件a2+b2+3c2=7中a和b是对称的，所以，五种解法都把由a和b组成的对称式作为放缩的对象，这样能保证等号成立.

从以上分析可知，选择一种好的表示方法和（在有对称变量的情况下）构造出对称式作为放缩对象就是解这类问题的钥匙.